數字信號處理辦法研究生課程

1、第四章 功 率 譜 估 計 4.1 引言 4.2 經典譜估計 4.3 現代譜估計中的參數建模 4.4 AR模型譜估計方法 4.5 最大熵譜估計方法4.1 引 言功率譜定義估計質量評價功率譜估計的方法功率譜估計的應用1、功率譜的定義信號的功率譜和其自相關函數服從一對傅里葉變換關系 對于平穩(wěn)隨機信號，服從各態(tài)歷經定理，集合平均可以用時間平均代替令l=n+m, 則 2、估計質量評價無偏性：一致性：3、功率譜估計的方法經典譜估計方法間接方法：BT法直接方法：周期圖法現代譜估計方法參數法：ARMA模型法（AR模型、MA模型、ARMA模型）非參數法：諧波分解法、多分量法4、功率譜估計的應用在信號處理的許多

2、場所，要求預先知道信號的功率譜密度(或自相關函數)；常常利用功率譜估計來得到線性系統(tǒng)的參數估計；從寬帶噪聲中檢測窄帶信號。 4.2 經 典 譜 估 計BT法周期圖法改進的周期圖法4.2.1 BT法BT法是先估計自相關函數, 然后進行傅里葉變換得到功率譜。有偏自相關函數估計的誤差相對較小，是一種漸近一致估計：4.2.2 周期圖法 周期圖法的定義如下: 1. 周期圖與BT法的等價關系 令 m=k-n, 即k=m+n，則 利用有偏自相關函數的BT法和周期圖法是等價的。 2. 周期圖法譜估計質量分析 1) 周期圖的偏移 式中 上式在頻域表示為： 式中 周期圖的統(tǒng)計平均值等于它的真值卷積三角譜窗函數，因

3、此周期圖是有偏估計，但當N時，wB(m)1，三角譜窗函數趨近于函數，周期圖的統(tǒng)計平均值趨于它的真值，因此周期圖屬于漸近無偏估計。 2) 周期圖的方差 為分析簡單起見， 假設x(n)是實的零均值的正態(tài)白噪聲信號，方差是x2，即功率譜是常數x2 ，其周期圖用IN()表示，N表示觀測數據的長度。 用這種方法估計的功率譜在2x附近起伏很大，故周期圖是非一致估計，是一種很差的功率譜估計方法。 圖 4.2.2 白噪聲的周期圖 4.2.3 經典譜估計方法改進Bartlett平均周期圖法窗口處理法平均周期圖Welch法（修正的周期圖求平均法）1. Bartlett平均周期圖法 主要思想：對序列x(n)進行L次

4、獨立觀測或將其分成L段，計算每組觀測數據的周期圖，再將L個周期圖加和后求平均。 假設隨機信號x(n)的觀測數據區(qū)間為：0nM-1，共進行了L次獨立觀測，得到L組記錄數據，每一組記錄數據用xi(n), i=1, 2, 3, ,L表示； 或對長為N的數據x(n)分成L段，每段有M個數據，N=LM，第i段數據表示為xi(n)= x(n+iM-M)。 第i組的周期圖用下式表示： 估計方法： 將得到的L個周期圖進行平均，作為信號x(n)的功率譜估計， 公式如下： 估計效果分析： 平均周期圖的估計方差是周期圖的方差的1/L，L越大方差越小，功率譜越平滑；相應的，M越小，偏移越大，分辨率越低；估計的均方誤差

5、也減少； 以分辨率的降低換取了估計方差的減少，估計量的方差和分辨率是一對矛盾。圖 4.2.3 平均周期圖法 2、窗口處理法平均周期圖主要思想：用一適當的功率譜窗函數W(ej)與周期圖進行卷積，來達到使周期圖平滑的目的的。 式中 -(M-1)nM-1 估計方法：那么 又 偏移分析： 估計效果分析：可得 周期圖的窗函數法仍然是有偏估計, 其偏移和wB(m)、w(m)兩個窗函數有關。 如果w(m)窗的寬度比較窄，M比N小得多，這樣|m|p 4.4 AR譜估計的方法AR譜估計方法可歸結為求解AR模型系數或線性預測器系數的問題。AR模型參數估計方法：信號預測誤差最小原則（或預測誤差功率最?。┳韵嚓P法（L

6、evison遞推法）Burg法協(xié)方差法修正協(xié)方差法（前后向線性預測最小二乘法）最大熵原則最大熵譜估計方法1、 自相關法列文森（Levinson）遞推 估計方法：自相關法的出發(fā)點是選擇AR模型的參數使預測誤差功率最小；采用Levison-Durbin遞推方法求解Yule-Walker方程得到AR模型參數。 預測誤差功率為 假設信號x(n)的數據區(qū)間在0nN-1范圍，有P個預測系數，N個數據經過沖激響應為api(i=0,1, 2, , P)的濾波器， 輸出預測誤差e(n)的長度為N+P， 因此應用下式計算: 預測誤差功率最小，得到 采用Levinson-Durbin遞推法求解Yule-Walker

7、方程： 由k=1開始遞推，遞推到k=p，依次得到a11,21，a21,a22, 22，ap1,ap2,app,2p。 AR模型的各個系數以及模型輸入白噪聲方差求出后， 信號功率譜用下式計算： 圖 4.5.1 利用列文森遞推法計算功率譜的流程圖 性能分析：該方法需要基于有限的觀測數據估計自相關序列，當數據長度較短時，估計誤差會比較大，AR參數的計算就會引入很大的誤差。從而導致功率譜估計出現譜線分裂與譜峰頻率偏移等現象。2、 伯格（Burg）遞推法 估計方法：直接由時間序列計算AR模型參數的方法，求前、后向預測誤差平均功率最小時的反射系數kp，進而求AR模型參數ak和2w。 設信號x(n)觀測數據

8、區(qū)間為：0nN-1，前向、后向預測誤差功率分別用p,e和p,b表示，預測誤差平均功率用p為 其中，前向、后向預測誤差公式分別為 求預測誤差平均功率p最小時的反射系數kp，令 基于反射系數kp，由Levinson-Durbin遞推關系求AR模型參數ak和2w，進而求得功率譜Pxx圖 4.5.2 伯格遞推法流程圖 性能分析：該方法避免了采用有限數據估計自相關函數的計算，適合短序列參數估計，克服了L-D遞推中的某些缺點，計算量小。但對正弦信號的譜估計，仍存在某些譜線分裂與頻率偏移現象。3、 協(xié)方差法與修正協(xié)方差法（1）. 協(xié)方差法 估計方法：利用使預測誤差功率最小的方法求模型參數 該公式中使用的觀測

9、數據均已得到，不需要在數據兩端補充零點， 因此比較自相關法去掉了加窗處理的不合理假設。 性能分析： 適用于非平穩(wěn)信號；一些實驗結果說明它的分辨率優(yōu)于自相關法，另外對于純正弦信號數據，可以有效地估計正弦信號的頻率。 （2）. 修正協(xié)方差法（前后向線性預測最小二乘法）： 估計方法：修正協(xié)方差法使用前向和后向預測誤差平均值最小的方法， 估計AR模型的參數，進而估計信號的功率譜。 前向和后向預測誤差功率pe、pb分別用下式表示： 預測誤差平均功率最小 性能分析： 該方法去掉了Burg法所用的Levinson的約束條件，估計得到的譜在譜線分裂和頻率偏移時較Burg法有較大改善；該方法也適用于非平穩(wěn)信號。

10、 幾種方法的比較：自相關法可以用Levinson遞推算法，運算量小，但分辨率受窗長度的限制；協(xié)方差法，去除了自相關法加窗處理的不合理假設，分辨率高，運算量較大；修正協(xié)方差法，分辨率高，在譜線分裂和偏移上較Burg法有較大改善，運算量大；Burg算法，可用改進的Levinson遞推算法，分辨率高，但對正弦信號存在譜線分裂和偏移現象。 例 已知信號的四個觀察數據為x(n)=x(0), x(1), x(2), x(3)=2, 4, 1, 3， 分別用自相關法和協(xié)方差法估計AR（1）模型參數。 解（1） 自相關法： (2) 協(xié)方差法: 4、 關于AR模型階次的選擇對于白噪中的AR信號，其階次的選擇應折

11、衷考慮。如選擇AR模型，其階次應加大，較低的階次會使譜估計產生偏移， 降低分辨率。信噪比愈低，平滑作用愈嚴重，愈需要高的階次， 因此信噪比低應選高的階次。階次愈高，分辨率愈高；但階次太高，會使估計誤差加大，譜峰分裂。圖 4.5.3 AR模型階次太小時的平滑作用最終預測誤差（FPE）準則 阿凱克信息論準則自回歸傳遞函數準則（CAT） 4.5 最大熵譜估計 估計思想：采用最大熵原則，外推自相關函數方法估計信號功率譜。它基于將已知的有限長度自相關序列以外的數據用外推的方法求得，而不是把它們當作是零。 1. 利用最大熵的原則外推自相關函數 按照Shannon對熵的定義， 當隨機變量X取離散值時，熵的定義為 式中