違背基本假定的情況自相關(guān)性

1、第4章 違背基本假設(shè)的情況信14.2 序列相關(guān)性(Serial Correlation)序列相關(guān)性實際經(jīng)濟問題中的序列相關(guān)性序列相關(guān)性的后果序列相關(guān)性的檢驗解決自相關(guān)的方法2 如果模型的隨機誤差項違背了不相關(guān)的基本假設(shè)的情況，稱為序列相關(guān)性。 普通最小二乘法（OLS）要求模型的隨機誤差項序列不相關(guān)或相互獨立(正態(tài)假設(shè)下)。注意：自相關(guān)現(xiàn)象不是指兩個或兩個以上的變量之間的相關(guān)關(guān)系，而指的是一個變量前后期數(shù)值之間存在的相關(guān)關(guān)系。3一 序列相關(guān)性41 序列相關(guān)的概念對于模型 隨機誤差項不相關(guān)的基本假設(shè)表現(xiàn)為： 如果出現(xiàn) 即對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是完全互相獨立，而是存在某種相關(guān)性，則認為

2、出現(xiàn)了序列相關(guān)性。5如果僅存在 稱為一階序列相關(guān)，或自相關(guān)。這是最常見的一種序列相關(guān)問題。 自相關(guān)往往可寫成如下形式： 其中， 被稱為一階自相關(guān)系數(shù)。在其他假設(shè)仍成立的條件下，序列相關(guān)即意味著6 二 實際經(jīng)濟問題中的序列相關(guān)性7為什么會出現(xiàn)序列相關(guān)性？下面通過兩個例子加以說明。例如，建立行業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型，以產(chǎn)出量為被解釋變量，資本、勞動、技術(shù)為解釋變量，選擇時間序列數(shù)據(jù)作為樣本觀測值。于是有： 在該模型中，政策因素等，沒有包括在解釋變量中，但它們對產(chǎn)出量是有影響的，該影響被包含在隨機誤差項中。如果該影響構(gòu)成隨機誤差項的主要部分，則可能出現(xiàn)序列相關(guān)性。如果政策因素對前一年產(chǎn)出量的影響是正的，后一

3、年的該影響往往也是正的。于是在不同的樣本點之間，隨機誤差項出現(xiàn)了相關(guān)性，這就產(chǎn)生了序列相關(guān)性。8 再如，以絕對收入假設(shè)為理論假設(shè)、以時間序列數(shù)據(jù)作樣本建立居民總消費函數(shù)模型： 消費習慣沒有包括在解釋變量中，其對消費量的影響被包含在隨機誤差項中。如果該項影響構(gòu)成隨機誤差項的主要部分，可能出現(xiàn)序列相關(guān)性。因為消費習慣對消費量的影響是具有內(nèi)在聯(lián)系的。前一年是正的影響，后一年往往也是正的影響。于是在不同的樣本點之間，隨機誤差項出現(xiàn)了相關(guān)性，這就產(chǎn)生了序列相關(guān)性。 91 遺漏關(guān)鍵變量時會產(chǎn)生序列的自相關(guān)性2 經(jīng)濟變量的滯后性會給序列帶來自相關(guān)性3 采用錯誤的回歸函數(shù)形式也可能引起自相關(guān)性4 蛛網(wǎng)現(xiàn)象可能

4、帶來序列的自相關(guān)性5 因?qū)?shù)據(jù)加工整理而導致誤差項之間產(chǎn)生自相 關(guān)性產(chǎn)生序列自相關(guān)的原因主要有以下幾個方面：10 11三 序列相關(guān)性的后果121 參數(shù)估計量非有效 OLS參數(shù)估計量仍具無偏性 OLS估計量不具有有效性 在大樣本情況下，參數(shù)估計量仍然不具有漸近有效性，這就是說參數(shù)估計量不具有一致性 13 2 變量的顯著性檢驗失去意義 在關(guān)于變量的顯著性檢驗中，當存在序列相關(guān)時，參數(shù)的OLS估計量的方差增大，標準差也增大，因此實際的 t 統(tǒng)計量變小，從而接受原假設(shè) 的可能性增大， 檢驗就失去意義。 采用其它檢驗也是如此。143 模型的預測失效 區(qū)間預測與參數(shù)估計量的方差有關(guān)，在方差有偏誤的情況下，

5、使得預測估計不準確，預測精度降低。所以，當模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時，它的預測功能失效。15四 序列相關(guān)性的檢驗161 基本思路序列相關(guān)性檢驗方法有多種，但基本思路是相同的。首先采用普通最小二乘法估計模型，以求得隨機誤差項的“近似估計量”： 然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關(guān) 性，以達到判斷隨機誤差項是否具有序列相關(guān) 性的目的。172 圖示法由于殘差 可以作為 的估計，因此如果 存在序列相關(guān)，必然會由殘差項 反映出來，因此可利用 的變化圖形來判斷隨機誤差項的序列相關(guān)性。 (1)繪制 的散點圖 (2)按照時間順序繪制回歸殘差項 的圖形18192 解析法(1) 回歸檢驗法以 為被解釋變量，以各種

6、可能的相關(guān)量，諸如以 等為解釋變量，建立各種方程： 20 具體應(yīng)用時需要反復試算。 回歸檢驗法的優(yōu)點是： 一旦確定了模型存在序列相關(guān)性，也就同時知道了相關(guān)的形式； 它適用于任何類型的序列相關(guān)性問題的檢驗。 對各方程估計并進行顯著性檢驗，如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關(guān)性。21(2) 馮諾曼比檢驗法馮諾曼比檢驗法在于構(gòu)造統(tǒng)計量 該統(tǒng)計量被稱為馮諾曼比。當樣本容量足夠大時(大于30)，該統(tǒng)計量近似服從正態(tài)分布。計算該 統(tǒng)計量的值，將它與具有正態(tài)分布的理論分布值進行比較，如果大于臨界值，表示不存在序列相關(guān)，如果小于臨界值，表示存在序列相關(guān)。 22(3)自相關(guān)系數(shù)法誤

7、差序列 的自相關(guān)系數(shù)定義為自相關(guān)系數(shù)的取值范圍是-1,1，當 時，表明誤差序列存在正相關(guān)，當 時，表明誤差序列存在負相關(guān)。在實際應(yīng)用中，誤差序列的真實值未知，用其估計值 代替，得自相關(guān)系數(shù)的估計值為(4.10)23(4.11) 作為自相關(guān)系數(shù) 的估計值與樣本量有關(guān)，需要做統(tǒng)計顯著性檢驗才能確定自相關(guān)性的存在。通常采用下面的DW檢驗代替對 的檢驗。24（3）D.W.檢驗 D.W.檢驗是杜賓（J.Durbin）和沃特森(G.S. Watson)于1951年提出的一種檢驗序列自相關(guān)的方法(小樣本情形)。25D.W.檢驗只能用于檢驗隨機誤差項具有一階自回歸形式的序列相關(guān)問題。隨機誤差項的一階自回歸形式

8、為檢驗步驟（僅適用于一階自相關(guān)的檢驗）(1) 為了檢驗序列的相關(guān)性，構(gòu)造假設(shè)26 (2) 計算D.W.統(tǒng)計量的值 (4.13)27說明：DW的表達式可以近似為結(jié)合(4.11)式又可以寫成(4.17 )28于是得到D.W.的取值范圍D.W.值與 的對應(yīng)關(guān)系如下表1(1，0)0(0，1)1D.W.誤差項的自相關(guān)性4(2,4)2(0,2)0完全負自相關(guān)負自相關(guān)無自相關(guān)正自相關(guān)完全正自相關(guān)29 根據(jù)樣本容量n和解釋變量數(shù)目p查D.W.分布表 得到臨界值 和 ；(4) 按照下列準則考察計算得到的D.W.值，以判斷模型的自相關(guān)狀態(tài)。3031 D.W.的取值范圍為 D.W. 0時，模型存在完全一階正相關(guān) D

9、.W. 4時，模型存在完全一階負相關(guān) 當D.W.值在2左右時，模型不存在一階自相關(guān)32 （1）從判斷準則看到，存在一個不能確定的D.W.值區(qū)域，這是這種檢驗方法的一大缺陷。 （2）D.W.檢驗雖然只能檢驗一階自相關(guān)，但在實際計量經(jīng)濟學問題中，一階自相關(guān)是出現(xiàn)最多的一類序列相關(guān)； （3）經(jīng)驗表明，如果不存在一階自相關(guān)，一般也不存在高階序列相關(guān)。 所以在實際應(yīng)用中，對于序列相關(guān)問題一般只進行D.W.檢驗。注意：33五 解決自相關(guān)的方法34如果模型被檢驗證明存在序列相關(guān)性，則需要發(fā)展新的方法估計模型。最常用的方法是廣義最小二乘法、迭代法、一階差分法和廣義差分法35 1、廣義最小二乘法（GLS） 對于

10、模型如果存在序列相關(guān)，同時存在異方差，即有(5.1)對稱正定陣36 設(shè) 用 左乘(5.1)兩邊，得到一個新的模型：該模型具有同方差性和隨機誤差項互相獨立性。即（5.2）37 于是，可以用OLS法估計模型(5.2)，得（5.3） 這就是原模型(5.1)的廣義最小二乘估計量，是無偏的、有效的估計量。38 如何得到矩陣 ？ 仍然是對原模型(5.1)首先采用普通最小二乘法，得到隨機誤差項的近似估計量，以此構(gòu)成矩陣的估計量 ，即392 迭代法設(shè)一元線性回歸模型的誤差項存在一階自相關(guān)(4.18)(4.19)(4.20)(4.19)式表明誤差項 存在一階自相關(guān)，(4.20)式表明 滿足隨機擾動項的基本假設(shè)。

11、40根據(jù)回歸模型(4.18)式，有(4.21)用(4.18)式減去乘以 的(4.21)式，則有令則(4.22)式變成(4.22)(4.24)(4.23)41模型(4.24)式有獨立隨機誤差項，它已滿足線性回歸模型的基本假設(shè)，用普通最小二乘法估計的參數(shù)估計量具有通常的優(yōu)良性。(4.23)式中要用到 ，并計算 ，然后用(4.24)式作普通最小二乘回歸。如果誤差項確實是(4.19)式的一階自相關(guān)模型，通過以上變換，模型(4.24)式已經(jīng)消除自相關(guān)，迭代結(jié)束。423 一階差分法(原模型存在完全一階正自相關(guān) ) 一階差分法是將原模型 變換為 其中 (4.26)43 由于 不存在序列相關(guān)，該差分模型滿足應(yīng)

12、用OLS法的基本假設(shè)，用OLS法估計可得到原模型參數(shù)的無偏的、有效的估計量。即使對于非完全一階正相關(guān)的情況，只要存在一定程度的一階正相關(guān)，差分模型就可以有效地加以克服。44 模型(4.27)為廣義差分模型，該模型不存在序列相關(guān)問題。采用OLS法估計可以得到原模型參數(shù)的無偏、有效的估計量。 廣義差分法可以克服所有類型的序列相關(guān)帶來的問題，一階差分法是它的一個特例。如果原模型存在： 可以將原模型變換為： (4.27)4 廣義差分法455 隨機誤差項相關(guān)系數(shù) 的估計 應(yīng)用廣義差分法，必須已知不同樣本點之間隨機誤差項的相關(guān)系數(shù) 。實際上，人們并不知道它們的具體數(shù)值，所以必須首先對它們進行估計。 常用的

13、方法有：迭代法、杜賓兩步法。 (1) 迭代法其基本思路是采用普通最小二乘法估計原模型，得到隨機誤差項的“近似估計值”，然后利用該“近似估計值”求得隨機誤差項相關(guān)系數(shù)的估計量。 46（2）杜賓（durbin）兩步法 該方法仍是先估計 ，再對差分模型進行估計。第一步，變換差分模型為下列形式： 采用OLS法估計該方程，得各前的系數(shù) 的估計值 。 47第二步，將估計的 代入差分模型 采用OLS法估計，得到參數(shù) 的估計量48例題分析在研究我國人均消費水平的問題中，把全國人均消費金額記作 ，人均國民收入為 ，收集到1980-1998年數(shù)據(jù)。計算出DW0.873，查DW表，n=19，k=2， ，得 ，由DW

14、1.39，可知殘差序列 不存在自相關(guān)，一階差分法成功地消除了序列自相關(guān)性。差分法的回歸標準差為29.34，大于一步迭代的標準差 小于 的標準差 ，因而差分法的效果低于迭代法的效果。55對 的回歸方程為將 代入，還原為原始變量的方程56年份序號x_ty_te_tx_ty_te_t19801460234.75-12.1119812489259.26-0.82924.5115.0719823525280.584.133621.328.5819834580305.974.485525.393.6819845692347.15-5.3311241.18-7.4319856853433.537.75161

15、86.3814.6419867956481.368.6910347.833.46198781104545.45.3514864.03-1.57198891355687.5133.19251142.1127.881989101512756.2730.4715768.77-1.091990111634797.0815.7412240.8-12.531991121879890.66-2.2224593.59-17.8119921322871063.39-15.24408172.73-15.619931429391323.22-52.24652259.83-43.6619941539231736.32

16、-87.12984413.1-47.119951648542224.59-22.7931488.2753.0919961755762627.0651.07722402.4665.9319971860532819.3626.21477192.3-28.619981963922958.1810.7339138.83-16.9357Model Summary (d)ModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the EstimateDurbin-Watson10.9910.9810.98029.338571.569d. Linear Regression

17、 through the OriginANOVAModel Sum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression762,593.891762,593.89885.960.000Residual14,632.77817860.752Total777,226.671858CoefficientsModel Unstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1X20.4650.0160.99129.7650.000以上對例2.2數(shù)據(jù)的分析中，使用了一步迭代法、二步迭代法和差

18、分法，這三種方法各有利弊。一步迭代法的DW1.372，略小于臨界值 ，沒有徹底消除誤差項的自相關(guān)性，但是回歸標準差從31.75減小到26.96，說明一步迭代的效果是顯著的。再進行二步迭代后，DW1.701，完全消除了自相關(guān)性，但是回歸標準差僅從一步迭代的26.96減小為二步迭代的26.4，改進不大。差分法的DW1.569，徹底消除了自相關(guān)性，但回歸標準差29.34，高于一步迭代的標準差26.96。由此可以認為選用一步迭代回歸模型是可行的。59 異常值：這些觀測值與其他數(shù)據(jù)遠遠分開，可能引起較大的殘差，極大地影響回歸擬合的效果 一 關(guān)于因變量y的異常值 二 關(guān)于自變量x的異常值4.3 異常值與強

19、影響點60有影響的觀測值1. 如果某一個或某一些觀測值對回歸的結(jié)果有強烈的影響，那么該觀測值或這些觀測值就是有影響的觀測值 2. 一個有影響的觀測值可能是 一個異常值，即有一個值遠遠偏離了散點圖中的趨勢線 對應(yīng)一個遠離自變量平均值的觀測值 或者是這二者組合而形成的觀測值， 61有影響的觀測值(圖示)不存在影響值的趨勢有影響的觀測值存在影響值的趨勢62一 關(guān)于因變量y的異常值在殘差分析中，認為超過 的殘差為異常值。由于普通殘差 的方差 不等，用 作判斷會帶來一定的麻煩，可以引入標準化殘差和學生化殘差，以改進普通殘差的性質(zhì)。標準化殘差學生化殘差63標準化殘差使殘差具有可比性， 的相應(yīng) 觀測值即判定

20、為異常值。學生化殘差可以進一步 解決方差不等的問題，比標準化殘差又有所改進 當觀測數(shù)據(jù)中存在關(guān)于y的異常觀測值時，普通殘差 、標準化殘差、學生化殘差都不再適用，這是由于異常值把回歸線拉向自身，使異常值本身的殘差減少，而其余觀測值的殘差增大，這時回歸標準差 也會增大，因而“ ”準則不能正確分辨出異常值，改用刪除殘差。64刪除殘差的構(gòu)造思想：在計算第i個觀測值的殘差時，用刪除掉這第i個觀測值的其余n-1個觀測值擬合回歸方程，計算出第i個觀測值的刪除擬合值 ，這個刪除擬合值與第i個值無關(guān)，不受第i個值是否為異常值的影響，由此定義第i個觀測值的刪除殘差為刪除學生化殘差的觀測值即判定為異常值。65二 關(guān)

21、于自變量x的異常值在式 中，杠桿值 表示自變量的第i次觀測值與自變量平均值之間距離的遠近，是調(diào)節(jié) 方差大小的杠桿，較大的杠桿值的殘差偏小，這是因為大杠桿值的觀測點遠離樣本中心，能夠把回歸方程拉向自身，因而把杠桿值大的樣本點稱為強影響點。 強影響點并一定是y值的異常值點，因而并不總會對回歸方程造成不良影響。但對回歸效果通常有較強的影響。66由于強影響點并不總是y的異常值點，因而不能單純根據(jù) 的大小判斷強影響點是否異常。為此，引入庫克距離來判斷強影響點是否為y的異常值點。庫克距離反映了杠桿值 與殘差 大小的一個綜合效應(yīng)。根據(jù)(3.22)式， ，則 的平均值為67這樣，如果杠桿值 就認為是大的。用庫

22、克距離來判定的一個粗略標準是：當 時，認為不是異常值；當 時，認為是異常值。用SPSS計算出的是中心化的杠桿值，即自變量中心化后生成的帽子矩陣的主對角線元素：可以證明 ，中心化杠桿值 的平均值是68例題分析以例3.2的北京開發(fā)區(qū)的數(shù)據(jù)為例，作異常值的診斷分析。分別計算普通殘差 ，學生化殘差 ，刪除殘差 ，刪除學生化殘差 ，杠桿值 ，庫克距離 ，見下表。69序號x1x2yeiSREie(i)SRE(i)chiiDi1253548554-832-2.34-1491-3.040.3751.447220896.3208.675.050.16784.250.160.0430.00136750.33.1-

23、33.5-0.08-38.1-0.070.0543E-044100120872815126.80.376252.80.3620.4320.047552516391052-458-1.03-529-1.040.0680.056682533583427501.51.305767.91.3480.280.3017120808.5442.8146.90.326163.70.3130.0360.004828520.370.1296.50.218111.80.2090.070.00397671.1122.2120.70.272138.20.2610.060.0041053228621400-697-1.6

24、1-836-1.730.10.17211751160464950.209104.10.2010.0210.0011240862.87.5-151-0.34-169-0.320.040.00513187673224.2-145-0.32-164-0.310.0520.00514122901.8538.9195.20.431215.80.4160.0290.0071574354624439582.61316133.810.3391.55570從表中看到，絕對值最大的學生化殘差為 2.631，小于3，因而根據(jù)學生化殘差診斷認為數(shù)據(jù)不存在異常值。絕對值最大的刪除學生化殘差為 ，因而根據(jù)學生化殘差診斷認

25、為第15個數(shù)據(jù)為異常值。其 位于第三大，庫克距離 位于第一大。由于第15個數(shù)據(jù) ，因而從杠桿值看第15個數(shù)據(jù)是自變量的異常值，同時 ，這樣第15個數(shù)據(jù)為異常值的原因是由自變量與因變71量異常兩個原因共同引起的。 診斷出異常值后，要判斷引起異常值的原因。異常值原因異常值消除方法1.數(shù)據(jù)登記誤差，存在抄寫錯誤重新核實數(shù)據(jù)2.數(shù)據(jù)測量誤差重新測量數(shù)據(jù)3.數(shù)據(jù)隨機誤差刪除或重新觀測異常值數(shù)據(jù)4.缺少重要自變量增加必要的自變量5.缺少觀測數(shù)據(jù)增加觀測數(shù)據(jù)，適當擴大自變量取值范圍6.存在異方差采用加權(quán)線性回歸7.模型選用錯誤，線性模型不適用改用非線性回歸模型72對引起異常值的不同原因，需要采取不同的處理方法。對本例數(shù)據(jù)，刪除第15組數(shù)據(jù)，用其余14組數(shù)據(jù)擬合回歸方程，發(fā)現(xiàn)第6組數(shù)據(jù)的刪除學生化殘差增加為 ，仍然存在異常值現(xiàn)象，因而認為異常值的原因不是由于數(shù)據(jù)的隨機誤差。此數(shù)據(jù)存在異方差，用加權(quán)最小二乘回歸。權(quán)數(shù)為 ，用SPSS計算出加權(quán)最小二乘回歸的有關(guān)變量值如下表。73序號x1x2yeiSREie(i)SRE(i)chiiDi1253547.79553.96-890-1.14883-1165.