幾何畫板迭代詳解之：函數(shù)迭代

1、幾何畫板迭代詳解之：函數(shù)迭代佛山市南海區(qū)石門中學謝輔炬【多項式f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e求根】【分析】多項式求根的迭代式是x二x-學丄。n+1nf(x)n步驟】新建參數(shù)a=-0.1,b=-0.1,c=l,d=2,e=-l,n=5。新建函數(shù)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e，畫出它的圖像。在圖像上任取一點A,度量A的橫坐標x。A4.計算xa-陽A計算f(xA5.f(xA-冊)單擊【圖表】【繪制點】。得到點BA度量B的橫坐標x。B選中點A,和參數(shù)n,按住Shift鍵，單擊【變換】菜單【深度迭代】,彈出迭代對話框，單擊點B。結(jié)果如圖1所示。圖1圖2選擇迭代像，單擊【變換】菜單

2、【終點】，得到迭代的終點C,度量C點的橫坐標x。C觀察表格可知，顯示方程的一個近似根是0.42。拖動A點，改變它的位置。觀察表格可知道方程的另外一個近似根是3.41。如圖2所示。MIRA】步驟】在平面上取一點a,度量a的橫坐標xA和縱坐標yA。新建參數(shù)a=0.4,b=Q,99875。(b取得盡量接近1)3.新建函數(shù)f(x)=ax+)X。1+X2計算f(xA)byA,f(f(xA)byA)-xA。注意這里用的是函數(shù)嵌套。順次選擇這兩個結(jié)果，單擊【圖表】【繪制(X,y)】。得到點B。順次選擇點B和三個計算結(jié)果:f(XA)+byA,f(f(XA)+byA)-XA,xA。單擊菜單【顯示】【顏色】【參數(shù)

3、】，單擊確定。發(fā)現(xiàn)B點的顏色變了，其實B點已經(jīng)隱藏起來，看到的是同一位置上的另外一個點B。新建參數(shù)n=1500，選擇A點和參數(shù)n作深度迭代。AnB【HenonMap(埃農(nóng)映射)】【步驟】在平面上取一點A,度量A的橫坐標xA和縱坐標yA。新建參數(shù)a=1.2,b=0.4計算(l-ax2)+y,by。順次選擇這兩個計算結(jié)果，點擊【圖表】【繪AAA制(x,y)】，得到點B。選擇點B,并依次選擇(1-ax2)+y,by和XA，單擊菜單【顯示】【顏AAAA色】【參數(shù)】，出現(xiàn)顏色參數(shù)對話框，單擊確定。得到點B。新建參數(shù)n=1500，選擇點A和參數(shù)n,作深度迭代，A亠B。因為M集和朱麗亞集其實是復數(shù)平面迭代，

4、我們先來復習一下復平面的一些知識。若Zk=xk+iyk,卩=P+iqZ2=(x2一y2)+(2xy)xi,Z2+y=(x一y+p)+(q+2xy)xiKkkkkKkkkk則上+1=%上2y/+p，丫艮+1=2%上丫艮+q，聰明的你應該知道怎么表示復平面上的點的平方了吧。好了，那么什么是Julia集和Mandelbrot集合，他們之間的區(qū)別是什么呢？考慮Zk+二zj+p,給定復數(shù)初值z,卩，得到無窮復數(shù)序列ZJJulia集：固定p，Jp=Z0|序列Zk有界Mandelbrot集：固定Z0，MZ=p|序列Zj有界【Mandelbrot集合】【步驟】在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察

5、區(qū)域。在線段AD上取一點E,點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，使得E點能夠在AD上運動。作E點關(guān)于Y軸的對稱點E，然后連接EE。在EE上取一點G,度量x,y。GG在平面上取一點F,度量x,y。計算xF2-yF2+xG和2xFyF+y，F(xiàn)FFFGFFG順次選擇這兩個度量結(jié)果，單擊【圖表】【繪制（x,y）】。得到點H。新建參數(shù)n=100,選擇點F和參數(shù)n,作深度迭代，F(xiàn)nH。選擇迭代像，單擊【變換】【終點】，得到迭代終點I。度量I的橫、縱坐標，并計算x，y,，選擇這三個結(jié)果和點g（注意是點G）,單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】，得到G。選中G,單擊【作圖】【軌跡】。隱藏線段EE，選擇剛才的軌跡，按右

6、鍵，單擊追蹤軌跡。把F點移至原點。點擊動畫按鈕，則可以得到M集，適當調(diào)整窗口大小。JuliaSets朱麗亞集】【步驟】1.在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區(qū)域。在線段AD上取一點E,點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，使得E點能夠在AD上運動。作E點關(guān)于Y軸的對稱點E，然后連接EE。在EE上取一點G,度量x,y。GG在平面上取一點F,度量x,y。計算xF2-yF2+xG和2xFyF+y，F(xiàn)FFFGFFG順次選擇這兩個度量結(jié)果，單擊【圖表】【繪制（x,y）】。得到點H。新建參數(shù)n=100,選擇點F和參數(shù)n,作深度迭代，F(xiàn)nH。選擇迭代像，單擊【變換】【終點】，得到迭代終點I。度

7、量I的橫、縱坐標，并計算x，y，xy，選擇這三個結(jié)果和點f（注意是點F）,單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】，得到F。選中F,單擊【作圖】【軌跡】。隱藏線段EE，選擇剛才的軌跡，按右鍵追蹤軌跡。點擊動畫按鈕，則可以得到Julia集，調(diào)整窗口大小。牛頓迭代法】【步驟】在平面上以原點為中心，建立一個矩形ABCD作為觀察區(qū)域。在線段AD上取一點E,點擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，使得E點能夠在AD上運動。作E點關(guān)于Y軸的對稱點E，然后連接EE。在EE上取一點G,度量x,y。GG2XX2-y2在平面上取一點F,度量XF,yF。計算3B+3(X2+y2)2，BB2y2Xy亍-3(X2：y2)2順次選擇這兩個度量結(jié)果，單擊【圖表】【繪制BB(x,y)】。得到點H。新建參數(shù)n=100,選擇點F和參數(shù)n,作深度迭代，F(xiàn)nH。選擇迭代像，單擊【變換】【終點】，得到迭代終點I。度量I的橫、縱坐標，