信息技術2.0微能力：小學五年級數(shù)學上（植樹問題）在一條線段上植樹問題-中小學作業(yè)設計大賽獲獎優(yōu)秀作品模板-《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》

1、小學五年級數(shù)學上（植樹問題）在一條線段上植樹問題義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）微能力2.0認證-中小學作業(yè)設計大賽目 錄作業(yè)設計方案撰寫：TFCF優(yōu)秀獲獎作品數(shù)學廣角植樹問題一、單元信息基本信息學科年級學期教材版本單元名稱數(shù)學五年級第一學期人教版植樹問題單元組織 方式團自然單元 重組單元課時信息序號課時名稱對應教材名稱1在一條線段上植樹問題(兩端都栽)例 1 (P106)2在一條線段上植樹問題(兩端都不栽，一端栽一 端不栽)例 2 及“做一做”(P107)3在一條首尾相接的封閉曲 線上植樹例 3 及“做一做”(P108)4綜合練習練習二十四 (P109-111)二、單元分析(一) 課標要

2、求通過觀察、操作及交流活動，探索并認識不封閉線路和封閉線路上的間隔 排列和棵數(shù)之間的簡單規(guī)律，并能將這種認識應用到解決類似的實際問題之中。課標指出，在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，體 會數(shù)學基本思想和思維方式。嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的問題，并運 用一些知識加以解決，探索分析和解決問題的有效方法，了解解決問題方法的 多樣性。(二) 教材分析1、知識網(wǎng)絡2、內容分析本單元的主要學習內容是植樹問題以及用植樹問題的方法解決生活中的實 際問題。向學生滲透一些重要的數(shù)學思想方法，讓學生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出 其中的數(shù)學模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實際問題，教 材

3、將“植樹問題”分為兩端都栽、兩端都不栽、以及環(huán)形情況，方陣問題等幾 個層次，通過教學向學生滲透復雜問題從簡單入手的思想。3、教材分析數(shù)學廣角植樹問題，通過現(xiàn)實生活中的一些常見的實際問題，滲透有 關植樹問題的一些思想方法，然后再應用植樹問題的思想方法來解決生活中一 些簡單的實際問題，培養(yǎng)學生探索并解決實際問題的能力。教材安排了三道例 題。例1教學兩端都種的情況；例2教學兩端都不種的情況；然后在做一做中給 出了只種一端的情況，讓學生自己類推；例3教學封閉路線的植樹問題。本單元學習的是有關數(shù)學廣角的“植樹問題” ，主要探討的是關于在一條 線段植樹的問題，只栽一端、只栽中間、兩端都栽等。教材以學生比較

4、熟悉的 植樹活動為線索，讓學生選用自己喜歡的方法來探究栽樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間 的關系，經(jīng)歷猜想、試驗、推理等探索過程，并啟發(fā)學生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)其中的 規(guī)律，再利用規(guī)律回歸生活，解決生活實際問題。數(shù)學的思想方法是數(shù)學的靈 魂，本冊安排“植樹問題”的目的就是向學生滲透復雜問題從簡單人手的思想。4、學情分析植樹問題這部分內容是建立在學生具備了平均分、除法的基本知識和一些 解決簡單問題的基本經(jīng)驗基礎上進行教學的。雖然在生活中植樹問題的情況非 常普遍，但都沒有抽象為數(shù)學問題來進行思考，本單元教學的目的是要讓學生 體驗知識的形成過程和感悟數(shù)學思想方法，建立數(shù)學模型，并運用植樹問題的 知識解決簡單的實際問題。

5、從學生的思維特點看，五年級學生仍以形象思維為主，但抽象思維能力也 有了一定的發(fā)展，具備了一定的分析綜合、抽象概括等數(shù)學活動經(jīng)驗，而這部 分內容本身要求學生有很高的數(shù)學思維能力，教師要有效的進行引導，學生也要進行有效探究。三、單元學習與作業(yè)目標1、讓學生通過觀察、猜測、試驗、推理等多種活動，初步體會解決植樹問 題的思想方法 (模型思想) ，掌握植樹問題的基本數(shù)學模型，經(jīng)歷構建數(shù)學模型和應用數(shù)學模型的過程，培養(yǎng)學生從實際問題中探索解決問題有效方法的能 力。2、學生要學會根據(jù)實際問題情境，從簡單的情況入手分析，在解決問題的 分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學規(guī)律，經(jīng)歷建立數(shù)學模型的過程，幫 助學生

6、積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，提高學生解決實際問題的能力。3、能根據(jù)植樹問題的數(shù)學模型，將生活中類似的問題進行分類，會熟練地 解決生活中的實際問題。4、讓學生在作業(yè)的過程中，獲得成功的體驗，體驗學習數(shù)學的樂趣，培養(yǎng)學生愛護環(huán)境的意識。四、單元作業(yè)整體設計思路充分考慮不同層次學生的學習現(xiàn)狀，設計不同層次，不同梯度的作業(yè)，滿 足學生學習數(shù)學的個性化的需求。作業(yè)設計遵循小學生學習數(shù)學知識的認知規(guī)律，按由易到難的思路進行分 層設計，每課時均以闖關游戲的形式進行設計：第一、二兩關為“基礎性作業(yè)” (面向全體，體現(xiàn)課標，題量2-4大題，要求學生必做) ；第三關勇攀高峰 即“拓展性作業(yè)” (體現(xiàn)個性化，探究性、實踐性

7、，題量1-2大題，讓學生有選 擇的完成) 。作業(yè)設計做到有趣味性，科學性，發(fā)揮作業(yè)對數(shù)學知識鞏固的效果和教育的作用。五、課時作業(yè)第一課時：在一條線段上植樹問題 (兩端都栽)作業(yè)概述由于學生是第一次接觸“植樹問題” ，這部分內容學生一定會很感興趣。 但是根據(jù)教學經(jīng)驗，對于學生而言很難理解和不容易掌握。為了讓學生更好地 理解教學內容，對教材及生活實例進行了整合，結合學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗，設置一下練習題的題目，具體題目數(shù)量安排如下所示：第一關 初窺門徑基礎夯實1、作業(yè)內容算一算：為改善我國中小學生的營養(yǎng)狀況，以利青少年健康成長，國家在 校中小學開展學生飲用奶計劃。5名同學課間領取牛奶，每兩人之間距離為

8、1米，這個領奶隊伍全長是多少米？2、時間要求：約5分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖先用5-1=4，求出有4個間隔，再根據(jù)在一條線段上植樹問題第一種情況的 數(shù)學模型來解答：如果兩端都站了同學，間隔數(shù)=人數(shù)-1，共有4個間隔，每隔 間隔距離為1米，那么14=4 (米) ，這個領奶隊伍長度為4米。設計意圖：引導學生解決問題的分析、思考過程、逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同情境的規(guī)律， 激發(fā)學生的好奇心和求知欲，增強學習興趣。在實際生活中滲透有關植樹問題 的思想方法，通過現(xiàn)實生活中常見的一些實際問題，借助線段圖等手段發(fā)現(xiàn)規(guī) 律，抽取其中的數(shù)學模型，

9、解決實際問題。第二關 小試身手舉一反三1、作業(yè)內容練一練：在6米的擺放區(qū)域每隔1.2米擺放一套桌椅，一共可以擺放幾套桌椅呢？2、時間要求：約5分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖在6米的擺放距離上，把每套桌椅看做一棵樹，兩端都有，桌椅之間的距離 即間隔長度為1.2米，先用61.2求出有5個間隔，再根據(jù)在一條線段上植樹問 題的第一種情況的數(shù)學模型來解答：如果兩端都植樹，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，即桌椅 為5+1=6 (套) 也就是題目中的桌椅套數(shù)?？疾樵谝粭l線段上植樹問題的第一種 情況兩端都栽，正確區(qū)分植樹棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關系。設計意圖：

10、結合學生平時做值日擺放桌椅為問題，在教室內固定的長度下，如何等距 離擺放桌椅，使之等距整齊美觀。引導學生探索植樹問題的最常見的最基本的 情況，在一條直線上當兩端都栽的時候，棵樹和間隔數(shù)之間的關系是什么呢？ 通過學習明確了棵樹比間隔數(shù)多1，棵數(shù)=間隔數(shù)+1。本題旨在讓學生通過設計 學生們每天經(jīng)歷的勞動值日擺放課桌椅的方法，創(chuàng)設具體的情境，從而把學生 的學和生活緊密聯(lián)系在一起，引發(fā)想象激發(fā)學習熱情，加深學習內容的認知深 度。用實際情況判斷加深理解得以鞏固。第三關 勇攀高峰應用拓展1、作業(yè)內容想一想：運動會上，同學們在操場一側跑道上舉著彩旗，每隔2米就有一名 學生，一共41名學生舉著彩旗，那么這條跑

11、道一側有多長？2、時間要求：約10分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析本題主要著力解決的是棵樹、間隔距離與總長之間的關系。在不封閉道路 上植樹，兩端都植的情況下，“總長度= (棵樹-1) 間隔距離” 。根據(jù)題意， 每兩名同學之間的距離就是間隔距離，間隔距離是2米，41名同學之間就有40 個間隔，得到總長度=402，總長度就是80。解答：41-1=40 (個)402=80 (米)答：條跑道一側長度為80米。設計意圖：在練習中強化提高，通過觀察利用分割點數(shù)和栽樹的棵樹一一對應起來， 發(fā)現(xiàn)并初步總結出栽樹的棵樹和間隔數(shù)之間的關系。解決植樹問題作為

12、滲透數(shù)學思想和方法的一個學習支點。此題旨在使學生 通過身邊的生活繼續(xù)強化一一對應的數(shù)學思想，進一步形成栽樹的棵樹與間隔 數(shù)之間的關系。拓展了植樹問題數(shù)學模型的逆向應用。鞏固學生對數(shù)學模型的 理解和靈活運用。在指導學生學習數(shù)學的過程中，幫助學生養(yǎng)成逆向思維習慣是非常重要的。 因此，本練習重視“長度= (棵樹-1) 間隔距離”，并通過操場上練一練，突 出“一一對應”思想及逆向思維的思想，把間隔數(shù)、栽樹的棵數(shù)和長度距離結 合起來。之后讓學生把得到的規(guī)律應用于實際問題中。第二課時：在一條線段上植樹問題(兩端都不栽，一端栽一端不栽)作業(yè)概述根據(jù)所學的知識，解決實際問題，是數(shù)學學習的價值所在。通過練習題可

13、 考查學生對植樹問題的掌握情況，促進其思維的發(fā)展。本課時練習題設計依據(jù)學生的思維規(guī)律，循序漸進地安排了三個梯度的練 習。包含在一條線段上三種植樹問題的簡單題目、復雜的植樹問題和植樹問題與其他問題相結合的綜合題目，練習題的題目類型和題目數(shù)量安排如下所示：第一關 初窺門徑基礎夯實1、作業(yè)內容(1) 想一想，填一填。學校計劃在一條長70m的小道一旁栽樹,每隔5m栽一棵 有( )個間隔。如果兩端都栽，那么共需( )棵樹苗;如果兩端都不栽樹，那么共需( )棵樹苗;如果一端栽樹,那么共需( )棵樹苗。(2) 畫一畫，寫一寫。在下面不同的路線上均勻植樹，一共植5棵樹，請按照要求畫出5棵樹 (畫 一個點表示一

14、棵樹) ，然后寫出棵數(shù)與間隔數(shù)的關系。兩端都栽：棵樹與間隔數(shù)關系是 ( )兩端都不栽：棵樹與間隔數(shù)關系是 ( )一端栽另一端不栽：棵樹與間隔數(shù)關系是 ( )2、時間要求：約5分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4 、作業(yè)分析與設計意圖(1) 先用705求出有 (14) 個間隔，再根據(jù)在一條線段上植樹問題的三 種情況的數(shù)學模型來解答：如果兩端都植樹，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，共需(15) 棵樹 苗；如果兩端都不植樹，棵數(shù)=間隔數(shù)-1，共需(13 )棵樹苗；如果一端植一端 不植，棵數(shù)=間隔數(shù)，共需(14 )棵樹苗。(2) 考查在一條線段上植樹問題的三種情況，正確區(qū)

15、分植樹棵數(shù)和間隔數(shù) 之間的三種關系。兩端都栽：棵樹與間隔數(shù)關系是 (棵數(shù)=間隔數(shù)+1)兩端都不栽：棵樹與間隔數(shù)關系是 (棵數(shù)=間隔數(shù)-1)一端栽另一端不栽：棵樹與間隔數(shù)關系是 (棵數(shù)=間隔數(shù)) 設計意圖：數(shù)學六大核心素養(yǎng)中提到：數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學 語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)。這兩道題通過想、畫、 填的方式，一方面考查學生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效 方法的能力；另一方面考查學生對化繁為簡、幾何直觀等數(shù)學思想和植樹問題 數(shù)學模型的體會和理解情況。第二關 小試身手植樹問題建模1、作業(yè)內容 選一選(1) 3路公共汽車行駛路線全長8千米，每相鄰

16、兩站的距離是1千米。一共有幾個車站？正確的算式是 ( ) 。A. 81 B. 81-1 C. 81+1(2)一根木頭長12m,要把它平均鋸成5段,每鋸下一段要5分鐘,鋸完一共要 花多少分鐘?這道題屬于哪種類型？ ( )A. 一端栽的植樹問題B. 兩端都栽的植樹問題C. 兩端都不栽的植樹問題(3) 為迎接元旦，學校準備在教學樓前60米的道路兩旁擺放鮮花(靠墻一 端不放),相鄰兩盆花之間的距離3米，一共需要 ( ) 盆花。A. (603+1) 2=42 B. 6032=40 C. (603-1) 2=382、時間要求：約5分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評

17、價4、作業(yè)分析與設計意圖(1) 根據(jù)題意可知，這條線路的兩端都有車站，根據(jù)兩端都栽的植樹問題-棵數(shù)=間隔數(shù)+1可得：全長間距+1=站數(shù)，進而解得 81+1=9 (個) 。 故選：C(2) 根據(jù)題意得出此題屬于兩端都不栽的植樹問題，鋸的次數(shù)=段數(shù)-1；一根木頭，要把它平均分成5段，共鋸了5-1=4次，每鋸下一段需要5分鐘，即鋸 一次要5分鐘，則鋸完一共要花54=20 (分鐘) 。故選：C(3) 根據(jù)題意得出此題屬于一端栽樹的植樹問題，先求出60米里面有幾個3米，再根據(jù)植樹問題中一端不栽時，植樹棵數(shù)=間隔數(shù)，求出道路一旁擺放鮮 花的盆數(shù)，進而乘2求出兩旁擺放的盆數(shù)即可。故選：B設計意圖：運用植樹問

18、題的數(shù)學模型解決生活中的類似問題，把植樹問題進行拓展應用，使學生能舉一反三，觸類旁通，并讓學生體會到數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián) 系。從不同的層次，考查學生靈活運用植樹問題的數(shù)學模型解決實際生活中問 題的能力。第三關 勇攀高峰應用拓展 (任選1題完成即可過關)1、作業(yè)內容(1)一輛汽車勻速前進,開出15m后迎面遇到一棵樹，以后每隔15m都有一棵 樹，60秒后,遇到了第20棵樹。遇到第45棵樹時，用了多少秒?(2)在田徑比賽的400m跨欄賽跑中，共設有10個欄架,相鄰兩個欄架之間的 距離的長度相等。從起跑線到第一個欄架要跑45m,最后 一個欄架與終點相距40m。相鄰兩個欄架之間的距離是多少米?2、時間

19、要求：約10分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖(1) 本題關鍵是分清間隔數(shù)與棵數(shù)的關系。根據(jù)題意，在不封閉的道路上 植樹，只一端植樹的情況下，間隔數(shù)=棵數(shù)，所以20棵樹就有20個間隔，遇到第 45棵樹就有45個間隔，用6020求出汽車行駛每個間隔的時間，然后乘45即可。解答：602045=135 (秒)答：遇到第45棵樹時，用了135秒。(2) 本題考查了植樹問題，知識點是：間隔數(shù)=栽樹的棵數(shù)-1；間距=總長度間隔數(shù)。因此先求出第一個欄架與最后一個欄架之間的跑道長，即10個欄架的距離是：400-45-40=315(米)；再求出間

20、隔數(shù)是：10-1=9 (個) ，所以相鄰兩個欄架之間的距離是：315(10-1)=35(米)。解答：400-45-40=315(米)315(10-1)=35(米)答:相鄰兩個欄架之間的跑道長是35米。設計意圖:尋求解決問題的方法和策略比獲得一個結論本身要重要。 這兩個小題的 設計不重復，有一定的層次性，運用逆向思維求間隔長和距離，尤其是第2題， 不僅是逆向思考求距離，還考查了學生綜合應用知識的能力，有一定的思維飛 越，可以打破學生的固定思維，讓學生了解植樹問題還有很多類型，同時也為 學生今后學習“解決問題”這個領域的知識打下堅實的基礎。第三課時 在一條首尾相接的封閉曲線上植樹作業(yè)概述為了培養(yǎng)學

21、生的數(shù)學思維能力和解決問題的實踐能力，循序漸進地設計了 三個梯度的練習：第一是基于典型“植樹問題”概念模型的基本習題；第二是 考驗逆向思維“植樹問題”的深入習題；第三是結合實際應用場景的“植樹問題”的綜合習題。習題的題目類型和題目數(shù)量安排如下表所示：第一關 初窺門徑基礎夯實1、作業(yè)內容畫一畫，寫一寫(1) 如果在一條長80米的路的一側每隔10米栽一棵樹，一端栽一端不栽， 一共要栽 ( ) 棵樹。請在下圖中畫出樹 (畫一個點代表一棵樹) ，然后寫出 棵數(shù)和間隔數(shù)的關系 ( ) 。(2) 如果在正方形池塘周圍栽樹 (每個頂點也要栽樹) ，池塘的周長是80 米，如果每隔10米栽一棵，一共要栽 ( )

22、 棵樹？請在下圖中畫出樹 (畫一個點表示一棵樹) ，然后寫出棵數(shù)和間隔數(shù)的關系 ( ) 。2、時間要求：約5分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖第1題是復習舊知，第2題是在正方形周圍栽樹，也是在封閉圖形上植樹， 樹的棵數(shù)=間隔數(shù)，8010=8 (棵) ，所以應該填8。設計意圖：本題是作為課本例題的補充，主要是讓學生明白在圓上的植樹問題規(guī)律， 同樣適用于其它封閉圖形。在封閉圖形上植樹問題和一端栽樹一端不栽植樹問 題中樹的棵數(shù)和間隔數(shù)都是一一對應的關系，本關就是考查學生對化繁為簡、 幾何直觀、一一對應的數(shù)學思想和植樹問題數(shù)學模型的體會

23、和理解情況。第二關 小試身手舉一反三1、作業(yè)內容 選一選(1) 一個長是200米，寬是100米的長方形養(yǎng)魚塘，現(xiàn)在要在四周栽樹，四 個角上都要栽，共種25棵柳樹，每相鄰兩棵樹間隔 ( ) 米，才能都種上。A.23 B.24 C.25(2) 把13根橡皮筋連接成一個圈，需要打 ( ) 個結。A.12 B13 C142、時間要求：約5分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖第1題在長方形四周上栽樹，可以用：樹的棵數(shù)=間隔數(shù)，所以可以列式： 2002+1002=600 (米) 60024=25 (米) 。答案為B。第2題橡皮筋的根數(shù)和打的結

24、數(shù)是一一對應關系。答案為B。設計意圖：利用第一層次 “已知總長度和每隔米數(shù)求樹的棵數(shù)”，反過來設計“已知 長度和栽種數(shù)求兩數(shù)間隔”的問題， 目的是通過“一正一反”的練習，使學生 加深理解“植樹問題”中“間隔距離” 、“植樹數(shù)量”和“總長度”之間的關 系，探究其中的規(guī)律，抽取其中數(shù)學模型，然后再利用規(guī)律和模型解決不同的 植樹問題。第三關 勇攀高峰應用拓展作業(yè)內容解決生活中的問題(1) 5 (1) 班同學在操場做游戲，大家圍成一個三角形，每邊有18人，三 角也上都要有同學，共有多少人在做游戲？(2) 小華要爺爺出一道趣味題，爺爺給他念了一個順口溜：湖邊春色分外嬌，一株杏樹一株桃，平湖周圍四千米，八

25、米一株都栽到，漫步湖畔美景色，可知桃李各多少？2、時間要求：約10分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖第1題中的學生圍成三角形做游戲，可以同樣看成封閉圖形上的植樹問題， 樹的棵數(shù)=間隔數(shù)，18-1=17 (個) ，173=51 (人) 。第2題植樹線路是封閉的，所以棵數(shù)和間隔數(shù)相等。因為“一株杏樹一株桃”， 所以桃、杏的棵數(shù)相等。40008=500 (棵) 5002=250 (棵) 。設計意圖：這兩題是一種“在封閉式圖形中的植樹問題”的實際案例。學生可以在前 兩層次題的理解上，著手本問題，動手畫一畫，列式計算，感知該種問題的數(shù) 學

26、模型。學生日常生活學習中經(jīng)常會出現(xiàn)這種涉及需要規(guī)劃類似“植樹問題” 的案例，本關體現(xiàn)了數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，有效促進學生思維活動的體驗， 提高了學生分析問題和解決問題的能力。第四課時 綜合練習作業(yè)概述根據(jù)所學的知識，解決實際問題，是數(shù)學學習的價值所在。通過練習題可 考查學生對植樹問題的掌握情況，促進其思維的發(fā)展。本課時練習題設計依據(jù)學生的思維規(guī)律，循序漸進地安排了三個梯度的練 習。包含三種植樹問題的簡單題目、復雜的植樹問題和植樹問題與其他問題相 結合的綜合題目，練習題的題目類型和題目數(shù)量安排如下表所示。第一關 初窺門徑基礎夯實1、作業(yè)內容繼共享單車之后，我國共享汽車也隨之普及，共享汽車不僅省錢

27、，而且有 助于緩解交通堵塞，減少空氣污染。某公司準備在一段長900米的商業(yè)街一旁投 放一批共享汽車，每兩輛車之間要隔50米，該公司提出如下三種方案，請把下 面的方案和對應的算式連起來。2、時間要求：約5分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖先用90050求出有18個間隔，再根據(jù)在一條線段上植樹問題的三種情況的 數(shù)學模型來解答：如果兩端都植樹，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；如果兩端都不植樹，棵數(shù) =間隔數(shù)-1；如果一端植一端不植，棵數(shù)=間隔數(shù)?？疾樵谝粭l線段上植樹問題的三種情況，正確區(qū)分植樹棵數(shù)和間隔數(shù)之間 的三種關系。如若有學生考慮到商業(yè)街是環(huán)

28、形的封閉圖形，則更是學生思維拓 展的契機，把封閉圖形上的植樹問題與一端植一端不植溝通聯(lián)系，就能使植樹 問題的模型趨于完善，概括為四種情形。設計意圖：習題通過開放性設計，分別引導學生探索植樹問題的四種情形，這四種情 形有什么聯(lián)系和區(qū)別？本題旨在讓學生通過設計“共享汽車”擺放方法，從而 把學生的思維引向深處，溝通四種情形的本質屬性，無論哪種情形，都能用“ 一一對應”的思想統(tǒng)領。也進一步讓學生明白每種情形所屬的特質，要根據(jù)實 際情況判斷間隔數(shù)與點數(shù)的多少。第二關 小試身手舉一反三作業(yè)內容“植樹問題”有幾種類型？ 每種類型中棵數(shù)和間隔數(shù)有什么關系？2、時間要求：約10分鐘3、評價設計評價主體內容正確書

29、寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖解決植樹問題作為滲透數(shù)學思想和方法的一個學習支點。此題旨在引導學 生用畫線段圖、示意圖、表格或思維導圖的方式來輔助思考 (可參見如下設計) ，不 必拘泥于形式，從中滲透“數(shù)形結合”的思想。設計意圖：在指導學生學習數(shù)學的過程中，幫助學生養(yǎng)成畫圖的習慣是非常重要的。 因此，本課時練習要重視畫圖的方法，并通過學生動手畫一畫，突出“一一對 應”思想及其“化繁為簡”思想，把間隔數(shù)和栽樹的棵數(shù)對應起來。之后讓學 生把得到的規(guī)律應用于實際問題中。另外，由于植樹問題的模型是現(xiàn)實世界中一類相近問題的拓展，它源于現(xiàn)實，又高于生活。所以，在現(xiàn)實中有著

30、廣泛的應用價值。學生在前面三課時中已經(jīng)體會現(xiàn)實生活中的許多不同事件 (如隊列問題、 公交站問題、敲鐘問題等) ，這些問題都含有與植樹問題相同的數(shù)量關系，它 們都可以利用植樹問題的模型來解決，所以引導學生有條理地對植樹問題進行 整合，有框架地梳理，為高階思維能力打下堅實基礎。本題引導學生以構建植樹問題的模型，思考植樹問題有哪幾種類型，每種 類型中間隔數(shù)與棵數(shù)有什么聯(lián)系，用思維導圖形成思維“縮減”與“濃縮” ， 使學生感悟到數(shù)學建模的重要意義。第三關 勇攀高峰20棵樹植樹問題1、作業(yè)內容有20棵樹，若每行四棵，問怎樣種植，才能使行數(shù)更多?同學們，你知道嗎？ 這是數(shù)學史上有名的20棵樹植樹問題。幾個

31、世紀以來一直享譽全球，不斷給人 類智慧的滋養(yǎng)，聰明的啟迪。這個問題由于結果的開放性，引起了國內外數(shù)學愛好者對它的興趣。請你看看下面幾種廣為流傳的設計圖譜，相信你會設計出更多行的結果！2、時間要求：約10分鐘3、評價設計評價主體內容正確書寫認真按時完成積極思考總星數(shù)自我評價家長評價4、作業(yè)分析與設計意圖通過對同一問題多種解決方案的探索,拓展學生思維，使其不局限于本次所 學知識，培養(yǎng)學習者的創(chuàng)造力和知識的綜合運用能力，建立已有知識之間的聯(lián) 接，促進智力的發(fā)展。這種作業(yè)可以避免學生形成思維定式，把解決問題的方法局限在所教授的 內容上，打通數(shù)學與生活之間的關聯(lián)。設計意圖：利用開放性問題引起學生對生活中

32、問題的關注，不局限學生思想的作用， 激發(fā)學生的主觀能動性，敢于思考敢于嘗試，拓展學生思維，培養(yǎng)學生的應用 意識和解決實際問題的能力。六、單元質量檢測作業(yè)( 一) 單元質量檢測作業(yè)內容一、填空題1.五年級同學要在一條長1600米的公路一側栽樹，每隔8米栽一棵(兩端都 栽)，一共要栽多少棵？我可以先選一個簡單的數(shù) ( ) 米，再畫圖看看。因為是兩端都栽，所以可以這樣畫圖：我選的 ( ) 米中，有 ( ) 個間隔，栽樹 ( ) 棵。1600 米中，每隔 8 米的話，一共有 ( ) 個間隔，兩端都栽，所以一共要栽 ( ) 棵。2.在下面路線上均勻栽樹，一共植6棵樹，請按照要求畫出6棵樹，然后寫出棵樹與

33、間隔數(shù)的關系。 (要求：畫一個點表示一棵樹)兩端都栽： 棵數(shù)與間隔數(shù)關系是： ( )只栽一端： 棵數(shù)與間隔數(shù)關系是： ( )兩端都不栽： 棵數(shù)與間隔數(shù)關系是： ( ) 在橢圓形花壇周圍栽：棵數(shù)與間隔數(shù)關系是： ( )二、選擇題3.時鐘五時敲5下,8秒敲完。那么九時敲9下,要用多少秒?在此題中，可以把 ( ) 看作“樹” ，把 ( ) 看作“間隔”。A.敲一下 B.1秒 C.敲兩下之間的時長4.把10根彩帶接成一根長彩帶，需要打幾個結？本題屬于 ( ) 的植樹問題。A. 兩端都載 B.兩端都不載C.一端栽一端不栽 5.有12個同學圍成一圈做擊鼓傳花游戲，每相鄰兩個同學之間的距離都是2米，同學們圍

34、成的這一圈有 ( ) 米。A.22 B. 24 C.26三、解答題 (選做一題)6.如下圖，每兩個白色正方形中間是一個灰色長方形。其中長方形有95個， 那么正方形有多少個？7.文明創(chuàng)建，公園要在600米的小路上擺放垃圾桶，每100米放一個，共要 放幾個？ (兩端都放)，如果將每兩個垃圾桶之間再擺5盆花來美化環(huán)境，又需要 多少盆花？(二) 單元質量檢測作業(yè)屬性表序號類型對應單元 作業(yè)目標對應學習水平難度來源完成時間了解理解應用1填空題1易改編20 分鐘2填空題1中改編3選擇題2中原創(chuàng)4選擇題2、3易原創(chuàng)5選擇題2、3中原創(chuàng)6解答題2、3、4中改編知識備份（根據(jù)實際情況刪減）概念被認為是兒童智力的

35、基本組成部分，對基本概念的獲得與兒童整體智力發(fā)展密切相關（Bruce, Bracken,1998），在數(shù)學領域亦是如此，兒童對數(shù)學概念的理解是進行數(shù)學問題解決和交流的前提和基礎，例如，兒童理解定量的相關概念，如“多”、“少”、“很多”、“較少”可以讓而兒童掌握量的比較并進行描述(Barner, Chow & Yang, 2009)；掌握空間概念能夠讓兒童對數(shù)軸上的數(shù)字關系以及空間物理對象之間的關系進行感知并交流和討論(Ramani, Zippert, Schweitzer, etal.,2014)，同時，早期兒童的數(shù)學學習是操作性的，但是這種操作是建立在對基本數(shù)學概念理解基礎之上的，當兒童不能

36、準確理解數(shù)學概念時，也無法掌握更進一步的數(shù)學內容(Barner, Chow & Yang, 2009)，因此，數(shù)學概念的理解是兒童進行數(shù)學交流的前提和保障。一、3-6 歲兒童數(shù)學概念理解能力的現(xiàn)狀水平（一）3-6 歲兒童數(shù)學概念理解能力的整體 表現(xiàn)為了解 3-6 歲兒童在基本概念理解上的整體表現(xiàn)，對 433 名兒童在各個題項上的答題正確率進行統(tǒng)計，結果如表 5-2-1 所示：表 表 5-2-1 3-6 歲兒童在基本概念理解上的表現(xiàn)測試項目 分量表題項總數(shù) 平均答對題數(shù) 1 項目通過率 2顏色 11 10 90.9%數(shù)字/計數(shù) 19 16 84.2%量/大小 13 10 76.9%比較 10 7

37、 70%形狀 20 15 75%基本概念理解 73 60 82.2%由表 5-2-1 可知，3-6 歲兒童在基本概念上理解上的整體表現(xiàn)較好，整體通過率為 82.2%。在各分量表上而言，兒童在顏色理解上的表現(xiàn)最優(yōu)，通過率為90.9%，其次為數(shù)字和量通過率為 84.2%，76.9%，兒童在形狀和比較上的表現(xiàn)稍微較弱，通過率僅為 75%和 70%。具體來說，兒童在顏色這一概念上的理解能力非常好，其中對黑色、白色、綠色、藍色、黃色、粉色 6 中顏色的識別率最高，其正確率在 95%以上，其次為紅色、紫色和橙色，正確率在 90%左右，再次為灰色，正確率為 82.4%，兒童在褐色理解的表現(xiàn)上不佳，正確率進位

38、 79.7%。兒童在數(shù)字/計數(shù)上理解總正確率 84.2%，其中對 “數(shù)字 1,2,3,4”的理解識別理解率最高，正確率均在 95%左右；其次對 5-9 數(shù)字的理解正確率要高于數(shù)字10 以上的，但是“數(shù)字 9”和“數(shù)字 6”的正確率稍微偏低，在 85%左右；兒童對兩位數(shù)的理解正確率要低于“個位數(shù)”，并且數(shù)字的增大，兒童的正確率降低，“數(shù)字 95”、“數(shù)字 41”、“數(shù)字 27”的理解正確率會顯著低于其他數(shù)字，在70%左右。在圖形計數(shù)方面，隨著量的增多，兒童的正確率下降，兒童對“一頭熊”、“三朵花”的正確率要高于“六只鴨子”和“九只蜜蜂”，其中“九只蜜蜂”的正確率最低，為 75.1%。兒童在量/大

39、小上的理解情況略低于數(shù)字/計數(shù)上的表現(xiàn)，總正確率為 76.9%，說明兒童已經(jīng)能夠掌握量、大小等概念。具體來說，兒童對最大、最小、最細、最長概念的理解情況要優(yōu)于對最深、最淺、最密的理解。兒童在比較概念上的理解程度較差，在此項目上的通過率為 70%，具體來看，兒童對“配成一對”、“完全匹配”、“某物體最像”、“讀的不是書”等概念的理解還存在一定的困難，尚不能從否定方面或者事物特征的某一方面做出選擇和分辨差異。兒童對形狀理解的正確率為 75%，略優(yōu)于對比較的理解。具體來說，除了對“菱形”、“斜線”、“曲線”、“角”這四個概念的圖形辨認率比較低之外，兒童對二維圖形的理解辨認能力要優(yōu)于三維圖形，其中二維

40、圖形中，“圓形”、“正方形”、“五角星”、“心形”、“三角形”、“長方形”的正確率最高，其次為“排成一隊”、“排成一行”、“對號”、“橢圓形”。在三維圖形中，兒童對“柱子”、“三棱錐”、“圓柱體”的理解水平要高于“立方體”、“圓錐體”?？傮w來說，Breaken 基本概念難度的設計是由易至難、循序漸進的，兒童回答正確題目的越少，所獲得概念的難度就越低。因此，從上述結果表明，3-6 歲小班兒童在比較上的整體理解能力偏差，正確通過率僅為 50%，具體來說，兒童在“不一樣”、“不同”、“不一樣多”幾個概念的理解能力略高，正確率在 60%以上，其次是“相似”、“一樣大”、“一樣”、“一對”，正確率均在5

41、0%左右，兒童在“完全匹配”、“讀的不是書”、“兩條船最像”等幾個概念的理解上存在較大的困難，其正確率僅為 30%左右。小班兒童對形狀理解的正確率為 65%，具體來說，小班兒童能夠理解絕大多數(shù)的二維平面圖形，例如在 “圓形、正方形、三角形、長方形、五角星、心形”上的正確率為 90%左右，但對“橢圓形”“菱形”的識別率不高。同時，在二維圖形中，兒童對“斜線”、“曲線”、“角”等幾個概念的理解還存在很大的困難，特別是“曲線”和“斜線”，兒童的正確率僅為 20%左右。相對于平面圖形來說，兒童對三維立體圖形的理解能力稍微偏弱，但 50%上的兒童能夠識別并正確識別“三棱錐”、“圓柱體”、“柱子”、“立方

42、體”等幾何形體，而對于“圓錐體”的理解存在困難。最后，小班兒童能夠對一些形狀用語做出理解和判斷，例如對“排成一隊”、“排成一行”、“對號”等正確率也較高。在顏色中，除了“褐色”和“灰色”的正確率在 80%以上，其余顏色正確率均在 90%以上，95%左右，因此，中班兒童已經(jīng)能夠數(shù)量理解并辨識各種顏色。在計數(shù)上，除了在“數(shù)字 95”的正確率為 69.3%之外，其他數(shù)字的識別以及對圖片數(shù)字的計數(shù)的正確率都在 80%以上。在量的理解上，中班兒童已經(jīng)能夠正確理解大小、粗細等概念，但在“水最淺”、“船最寬”、“網(wǎng)最密”上的正確率較低。在比較概念上，中班兒童理解能力稍微較弱，總正確率為 60%，具體來看，中

43、班兒童能夠基本理解“不一樣、不同、不一樣多”等三個比較概念，其正確率在 80%左右，但對于“相似、一樣大”稍微較弱，通過的正確率在 70%左右，而在“一樣、讀的不是書、配成一對、兩條船最像”不佳，其正確率在 60%左右。對于“完全匹配”這一概念的理解和掌握則存在困難，其正確率不足 50%。在形狀上，除了“菱形”的正確率為 51.2%之外，中班兒童已經(jīng)能夠完全理解和掌握各種平面幾何圖形的名稱和概念，其項目通過的正確率均為 90%以上，但在二維空間概念上，對“斜線”、“曲線”、“角”這三個二維概念的理解和掌握上存在很大的困難，尤其“曲線”的正確率僅為 20%，“斜線”與“角”的正確率也不足 50%

44、。在三維立體圖形的概念中，兒童準確的理解“柱子”、“三棱錐”，其正確率為 80%以上，對“立方體”、“圓柱體”的理解偏差一點，在 60%左右，還不能較好的理解“圓錐體”的概念，其正確率不足 50%。數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數(shù)學的思維形式。3-6 歲的學前兒童，通過日常生活經(jīng)驗，他們對數(shù)字、模式、形狀、數(shù)量、大小等逐漸形成了一套相對復雜的數(shù)學概念，而這些數(shù)學概念正是日后正式數(shù)學學習的基礎。因此，對數(shù)學概念的理解與掌握則成為數(shù)學學習的首要任務，也是進行數(shù)學交流的前提和保障。兒童在不同概念維度上的表現(xiàn)并不一致，首先，從兒童整體概念的理解水平上看，顏

45、色的理解能力顯著高于其他概念，這是由于顏色概念是人類發(fā)展較早的概念之一，已有研究表明，4 個 月 的 嬰 兒 已 經(jīng) 能 夠 分 辨 紅 黃 藍 綠 四 種 顏 色 (Bornstein, Kessen &Weiskopf,1976)，因此在顏色概念的理解和表達上會顯著高于其他內容；其次是數(shù)字/計數(shù)概念，趙振國（2008）通過對 3-6 歲兒童數(shù)感能力發(fā)展研究得出，在數(shù)感的六個組成部分中，數(shù)符號的辨認和比較是表現(xiàn)最優(yōu)的(趙振國,2008)，這與本研究的結果相一致；再次是量和形狀概念，早期兒童的數(shù)學內容是與關于數(shù)、量、形分不開的，而量與形的相關概念也是最早起源于日常生活(黃瑾,2016)，因此，

46、兒童也較為能夠掌握相應的概念。在五種基本概念中，兒童對比較的理解能力相對較弱，一方面是因為，比較的概念是與量的相對性聯(lián)系在一起的，而量的相對性對學前兒童來說是較為抽象的概念(黃瑾,2016)，所以兒童還不能準確的判斷和了解，另一方面，比較概念的傳遞性，是通過較為抽象的專業(yè)詞匯實現(xiàn)的，例如“哪兩塊拼圖是完全匹配的、哪兩只鞋子能夠配成一對、哪兩只動物是相似的”，而兒童的詞匯水平也是影響理解的重要因素之一(閆夢格,李虹,李宜遜等,2020)，因此，雖然有相應的圖片幫助兒童去呈現(xiàn)相應的概念，但是由于對專業(yè)性詞匯的理解不夠，也就表現(xiàn)出在比較概念上的相對較弱?？傊?，3-6 歲兒童在不同概念體系之間的理解能

47、力并不均衡，在顏色概念理解上的表現(xiàn)最優(yōu)，其次為數(shù)字/計數(shù)、量/大小、形狀，比較概念的理解水平最低。形狀中僅能理解二維平面圖形，例如“圓形、三角形、正方形”等，對三維立體圖形的理解中存在較大困難；在比較中，僅能理解“不一樣、不同”等單維層次概念的比較，對數(shù)學化、邏輯化程度較高的概念，如“完全匹配、讀的不是書”還不能理解。中班兒童在數(shù)字/計數(shù)上的表現(xiàn)較小班兒童有了顯著提升，例如，在數(shù)字概念上，除了較大數(shù)字理解的正確率較低之外（例如“95”、“53”、“41”），已經(jīng)能夠完全理解數(shù)字和符號；但是在比較和量/大小概念上的表現(xiàn)依然不佳。而到了大班，對數(shù)量概念的理解正確率為 100%，其他各維度的概念的理

48、解正確率也都在 90%左右。從兒童在概念具體內容上的整體表現(xiàn)，以及不同年齡班在各個具體概念內容上的表現(xiàn)來看，概念的“數(shù)學專業(yè)化”、“概念的邏輯化”程度是影響兒童概念理解的主要因素，例如，數(shù)學專業(yè)化的表現(xiàn)為數(shù)量上的增加“數(shù)字95,47”，概念邏輯性表現(xiàn)為“哪兩個盒子是不一樣的？”等，這一結果也從數(shù)學概念的角度解釋了，專業(yè)的數(shù)學詞匯、數(shù)學概念成為兒童數(shù)學學習的困難和挑戰(zhàn)的原因之一（Azlina, Siti & Roziati.,2004）。除了“概念的抽象程度”影響之外，概念的表現(xiàn)形式與兒童對概念的熟悉程度，也是影響兒童理解能力的重要因素之一，例如，在數(shù)量概念上，無論哪個年齡班，兒童對“一頭熊、三

49、朵花”的理解正確率高達 95%以上，但即使到了大班，也有兒童在“六只鴨子、九只蜜蜂”的點數(shù)上面出現(xiàn)錯誤，這一結果也說明了物品的數(shù)量與排列方式也是兒童數(shù)字概念的影響因素之一(郭龍丹,黃瑾,2016)。此外，兒童對概念的熟悉程度也是影響其理解正確率的主要原因，例如，在量的概念理解上，無論是哪個年齡段兒童都能夠準確理解 “最大、最小、最長、最短、最寬、最細”等幾個概念，但是對“深淺、疏密”理解正確率較低，這可能是由于兒童的具體形象性的思維方式有關，一方面，兒童大小、長短、寬細是兒童能夠直覺感知到的物體屬性(黃瑾,2016)，而深淺相對于具體的物品來說，更具抽象性，因此兒童對其的理解能力就相對較弱；另

50、一方面，兒童早期數(shù)學認知的學習經(jīng)驗最早是來源于日常生活的(周欣,趙振國,陳淑華,2009)，兒童對物品的熟悉程度也是兒童概念理解的重要因素之一，而深淺、疏密并不是熟悉物品的主要屬性，因此對其概念的理解能力也偏弱。關于不同年齡班兒童在概念理解上的整體表現(xiàn)的結果顯示，小班兒童對基本概念的理解情況偏低，整體通過率未達 70%，其中在比較概念的通過率僅為 50%；到了中班，兒童對基本概念的理解能力顯著提升，整體通過率達到了80%，這種提升尤其體現(xiàn)在數(shù)字/計數(shù)方面和形狀方面，除了對比較概念理解能力相對較低之外，其他概念的正確率均在 70%上；到了大班，兒童的整體通過率高達 93.1%，說明大班兒童已經(jīng)能夠完全理解各個維度上的基本概念。從整個學前階段數(shù)學概念發(fā)展水平來看，小班兒童整體略低，中班兒童有了顯著提升，到了大班已經(jīng)能夠完全掌握五個維度上的基本概念，各個年齡段兒童的發(fā)展水平呈現(xiàn)顯著梯度提升，方差分析的也結果顯示，不同年齡班兒童在各個概念理