山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件24數(shù)學(xué)期望

1、 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了. f (x)xoxP(x)o 然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.某型號電視機(jī)的平均壽命18000小時(shí)200小時(shí) 因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望和方差 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是概率論中最重要的概念之一. 它的定義來自習(xí)慣上的平均概念.我們從離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望開始.一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 1

2、、概念的引入： 某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機(jī)變量. 如何定義X的平均值呢？ 某電話交換臺每天8:00-9:00收到的呼叫數(shù)X是一個隨機(jī)變量. 如何定義X的平均值即該交換臺每天8:00-9:00收到的平均呼叫數(shù)呢？我們來看第一個問題.若統(tǒng)計(jì)100天, 例1 某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機(jī)變量. 如何定義X的平均值呢？32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中 每天的平均廢品數(shù)為這個數(shù)能否作為X的平均值呢？可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出

3、一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品) 一般來說,若統(tǒng)計(jì)n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率和概率的關(guān)系 不難想到，在求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個確定的數(shù). 我們就用這個數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值 .這樣做是否合理呢？ 不妨把小張生產(chǎn)中出廢品的情形用一個球箱模型來描述:22300031112200033111 有一個箱子，里面

4、裝有10個大小，形狀完全相同的球，號碼如圖. 規(guī)定從箱中任意取出一個球，記下球上的號碼，然后把球放回箱中為一次試驗(yàn). 記X為所取出的球的號碼(對應(yīng)廢品數(shù)) . X為隨機(jī)變量，X的概率函數(shù)為2230003111對試驗(yàn)次數(shù)(即天數(shù))n,及小張的生產(chǎn)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)他不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)n0,n1,n2,n3 , 并計(jì)算與進(jìn)行比較.2230003111則對X作一系列觀察(試驗(yàn))，所得X的試驗(yàn)值的平均值也是隨機(jī)的.由此引入離散型r.vX的數(shù)學(xué)期望的定義如下: 對于一個隨機(jī)變量，若它可能取的值是X1, X2, , 相應(yīng)的概率為 p1, p2, , 但是，如果試驗(yàn)次數(shù)很大，出現(xiàn)Xk的頻

5、率會接近于pk，于是可期望試驗(yàn)值的平均值接近定義1 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的概率函數(shù)是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,也就是說,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和.如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望例1 某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門. 若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解: 設(shè)試開次數(shù)為X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE(X) 于是二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f (x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0 x1x2q,p+q=1.為了補(bǔ)償乙的不利地位

6、，另行規(guī)定兩人下的賭注不相等，甲為 a, 乙為b, ab. 現(xiàn)在的問題是：a究竟應(yīng)比b大多少，才能做到公正？解：設(shè)甲贏的錢數(shù)為X，乙贏的錢數(shù)為Y，依題意解：設(shè)甲贏的錢數(shù)為X，乙贏的錢數(shù)為Y，為對雙方公正,應(yīng)有依題意E(X)=bp+(-a)q, E(Y)=aq+(-b)pbp-aq=aq-bp=0, 故 期望與風(fēng)險(xiǎn)并存數(shù)學(xué)家從期望值來觀察風(fēng)險(xiǎn)，分析風(fēng)險(xiǎn)，以便作出正確的決策 例如，有一家個體戶，有資金一筆，如經(jīng)營西瓜，風(fēng)險(xiǎn)大但利潤高(成功的概率為0.7，獲利2000元)； 如經(jīng)營工藝品，風(fēng)險(xiǎn)小但獲利少(95會賺，但利潤為1000元)究竟該如何決策？所以權(quán)衡下來，情愿“搏一記”，去經(jīng)營西瓜，因它的期望值高于是計(jì)算期望值：若經(jīng)營西瓜，期望值E1=0.72000=1400元而經(jīng)營工