山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件09隨機變量的函數(shù)的分布

1、我們已討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論: 我們先討論兩個隨機變量的函數(shù)的分布問題，然后將其推廣到多個隨機變量的情形. 當(dāng)隨機變量X1, X2, ,Xn的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù) Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m的聯(lián)合分布?一、離散型分布的情形例1 若X、Y獨立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函數(shù).解: X+Y =r X=1, X+Y =r X=2, X+Y =r X=r, X+Y =r 且諸X=i, X+Y =r ,i=1,2, ,r互不相容例1 若X、Y獨立，P(X=k)

2、=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求Z=X+Y的概率函數(shù).于是有: =a0br+a1br-1+arb0 由獨立性 此即離散 卷積公式r=0,1,2, 解：依題意 例2 若X和Y相互獨立,它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布, 證明Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布.由卷積公式i=0,1,2,j=0,1,2,由卷積公式即Z服從參數(shù)為 的泊松分布.r =0,1，例3 設(shè)X和Y相互獨立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布. 回憶第二章對服從二項分布的隨機變量所作的直觀解釋: 我們給出不需要計算的另一種證法:同樣，Y是在n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)

3、的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p. 若X B(n1,p),則X 是在n1次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗中A出現(xiàn)的概率都為p. 故Z=X+Y 是在n1+n2次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗中A出現(xiàn)的概率為p，于是Z是以（n1+n2，p）為參數(shù)的二項隨機變量，即Z B(n1+n2, p).例4 設(shè)X和Y的聯(lián)合密度為 f (x,y),求Z=X+Y的密度. 解: Z=X+Y的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線x+y =z 左下方的半平面.一、連續(xù)型分布的情形 化成累次積分,得 固定z和y,對方括號內(nèi)的積分作變量

4、代換, 令x=u-y,得變量代換交換積分次序由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得Z=X+Y的概率密度為: 由X和Y的對稱性, fZ (z)又可寫成 以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式. 特別，當(dāng)X和Y獨立，設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為: 這兩個公式稱為卷積公式 .下面我們用卷積公式來求Z=X+Y的概率密度為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域 例5 若X和Y 獨立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度 .解: 由卷積公式也即為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域 如圖示:也即于是用類似的方法可以證明: 若X和Y 獨立

5、, 結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論可以推廣到n個獨立正態(tài)隨機變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論. 若X和Y 獨立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2). 有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.更一般地, 可以證明: 例如，設(shè)X、Y獨立，都具有正態(tài)分布，則 3X+4Y+1也具有正態(tài)分布. 從前面例4可以看出， 在求隨機向量(X,Y)的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布時，關(guān)鍵是設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為(X,Y)在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布. 若每一個問題都這樣求，是很麻煩的. 下面我們介紹一個用來求隨機向量(X,Y)的函數(shù)的分布的定理 .對二維情形,

6、表述如下：2.假定變換和它的逆都是連續(xù)的;3. 假定偏導(dǎo)數(shù) 1. 設(shè)y1=g1(x1,x2), y2=g2 (x1,x2)是 到自身的一對一的映射, 即存在定義在該變換的值域上的逆變換: x1=h1(y1, y2), x2=h2(y1, y2) （ i=1,2, j=1,2 ） 存在且連續(xù);定理 設(shè)(X1,X2)是具有密度函數(shù) f (x1,x2)的連續(xù)型二維隨機變量,4假定逆變換的雅可比行列式 則Y1,Y2具有聯(lián)合密度 w(y1,y2)=|J | f(h1(y1,y2), h2(y1,y2) （*） 即 J (y1,y2)對于在變換的值域中的(y1,y2)是不為0的.例6 設(shè)(X1,X2)具有

7、密度函數(shù) f (x1,x2). 令 Y1= X1+X2，Y2= X1-X2試用f 表示Y1和Y2的聯(lián)合密度函數(shù). 故由(*)式,所求密度函數(shù)為解: 令y1= x1+x2, y2= x1-x2，則逆變換為 有時，我們所求的只是一個函數(shù)Y1= g1(X1,X2)的分布 . 一個辦法是： 對任意 y, 找出Y1 y在(x1,x2)平面上對應(yīng)的區(qū)域g1(X1,X2) y，記為D.求出Y1的分布函數(shù).PY1 y=然后由 另一個辦法是配上另一個函數(shù)g2(X1,X2)，使(X1,X2)到(Y1,Y2)成一一對應(yīng)變換, 下面我們用一例來說明.找出(Y1,Y2 )的聯(lián)合密度函數(shù)w(y1, y2), 最后, Y1

8、的密度函數(shù)由對w(y1, y2)求邊緣密度得到：w(y1,y2)=|J | f(h1(y1,y2), h2(y1,y2) (*) 然后利用定理, 按例7 設(shè)(X1,X2)具有密度函數(shù)f (x1, x2),求Y=X1X2的概率密度. 按(*)式得Y和Z的聯(lián)合密度為解: 令Y= X1X2, Z= X1，它們構(gòu)成(x1,x2)到(y,z)的一對一的變換, 逆變換為: x1=z, x2=y/z 雅可比行列式為:所配函數(shù) 按(*)式得Y和Z的聯(lián)合密度為再求Y 的概率密度此即求兩個r.v 乘積的密度函數(shù)公式 將定理推廣到n維隨機變量，我們可求得n維隨機變量函數(shù)的分布，見教材124頁.三、M=max(X,Y

9、)及N=min(X,Y)的分布 設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù).又由于X和Y 相互獨立,于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為: 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz) 由于M=max(X,Y)不大于z等價于X和Y都不大于z，故有 分析：P(Mz)=P(Xz,Yz) 類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是下面進行推廣 即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)

10、=1-P(Nz)=1- P(Xz)P(Yz) 設(shè)X1,Xn是n個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為 我們來求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù).(i =0,1，, n) 用與二維時完全類似的方法，可得 特別，當(dāng)X1,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時，有 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為: FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n 若X1,Xn是連續(xù)型隨機變量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)后，不難求得M和N的密度函數(shù).留作課下練習(xí). 當(dāng)X1,Xn相互獨立且具有

11、相同分布函數(shù)F(x)時，有 FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n 需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互獨立且具有相同分布函數(shù)F(x)時, 常稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實用價值. 下面我們再舉一例，說明當(dāng)X1,X2為離散型r.v時，如何求Y=max(X1,X2)的分布.解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)記1-p=q例8 設(shè)隨機變量X1,X2相互獨立,并且有相同的幾何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .n=1,2,解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1)n=1,2, 那么要問，若我們需要求Y=min(X1,X2)的分布，應(yīng)如何分析？留作課下思考 我們介紹了如何求r.v函數(shù)的分布.但有時我們無法精確求出此分布. 當(dāng)這個積分無法精確求出時，一個可取