3-1 一維單原子晶格的振動

1、第三章 晶格振動主要目的： 搞清材料熱性能有關(guān)的物理概念，學(xué)習(xí)分析問題的方法。對象： 晶體大量原子的熱振動及在晶體中的傳播（格波）等。1方法： 易 難 間斷 連續(xù) 間斷（依原子間距和波長的比較而定） 利用已熟知的連續(xù)波波動方程及其解的結(jié)論 一維 三維（推廣） 經(jīng)典 量子（修正） 23 .1 一維單原子晶格的振動 一、物理模型3二選坐標系選第0個原子的平衡位置為坐標原點，第n個原子平衡時為 X0nna, 它的位移記為Un， 位移后： Xn=na+Un Un：第n個原子的絕對位移，向右為正，向左為負。 三分析受力 近似：近鄰作用近似：僅考慮最近鄰原子間的相互作用； 簡諧近似.4當溫度不太高時，原子

2、間的相對位移較小，互作用勢能在平衡點a處泰勒展開式中可只取到二階項。記a+=R ,則： (3-1)（類似于 EW 為單位正電荷的受力）二原子間的互作用力為5在平衡位置a處，勢能為極小值 ，其一階導(dǎo)數(shù)為0, 其二階導(dǎo)數(shù)大于零(并以表示)， 0 。 (3-2)即在近鄰近似和簡諧近似條件下，原子間的相互作用力與相對位移成正比，滿足胡克定律。這時原子間的相互作用力稱為彈性力或簡諧力，稱為彈性系數(shù)，或恢復(fù)力系數(shù)。6此時可以把一維單原子鏈等效為用彈性系數(shù)為的彈簧把質(zhì)量為m的小球連結(jié)起來的長鏈，如上圖所示，圖中的k=。四列方程 在近鄰近似條件下，第n個原子分別受到第（n-1）個原子及第（n+1）個原子的作用

3、力， 設(shè)二力系數(shù)相同，則可表示為 fn-1= （Un - Un-1） fn+1= （ Un - Un+1）7解釋：由于坐標軸向右為正方向，f, Un 均向右為正?？紤]到方向性，以 上二式均 Un在前。由牛頓定律，第n個原子的運動方程為(3-4)8即第n個原子的加速度不僅與Un有關(guān)，且與 Un-1,Un+1有關(guān)，這意味著原子運動之間的耦合,由于對每一個原子都有一個類似的方程，n共可取N個值，故該式實為N個方程組成的方程組，可有N個解，而此時晶體的總自由度也為N。 五解方程 設(shè)a, 相鄰原子的相位差小 可把晶體看作是連續(xù)媒質(zhì).na x a x x 為小量 Un(t)=U(na,t) U(x,t)

4、Un+1(t)=U(na+a,t) U(x+x,t)9把這些關(guān)系式代入式（34），得令 v02= a2/m, 則上式成為(3-6)這是熟知的波動方程，v0 是波速度。10有特解：U(x,t)Aei( q x t ) (3-7)它是一個簡諧波，q=2/是波矢。從物理上講，“連續(xù)” 波長原子間距;如果 a，不連續(xù)。必須直接求解方程（34）。設(shè)試探解：Un(t)=Aei( q n a t ) (3-8)對應(yīng)于連續(xù)情況下的解式（37），這里僅以na代替X，這也是一個簡諧行波，稱它為一個格波?？梢?，一個格波是晶體中全體原子都參與的一種簡單的集體運動形式。 11六定解條件玻恩卡曼 （Born-Karman

5、）周期性邊界條件目標：求出q=? 因：晶體的固有熱學(xué)性質(zhì)（例如：熱容量）應(yīng)由晶體的大多數(shù)原子的狀態(tài)所決定；邊界上的原子數(shù)要比內(nèi)部原子數(shù)少很多；近鄰近似。這樣，就可以以方便為原則來選擇邊界條件，而基本上不影響晶體的固有性質(zhì)。 12玻恩卡曼設(shè)計了一種特殊的邊界條件：假設(shè)在有限晶體之外有無限多個和這個有限晶體完全相同的假象晶體，它們和實際晶體彼此毫無縫隙地銜接在一起，組成一個無限的晶體。這樣就保證了有限晶體的平移對稱性。這實際上是一個循環(huán)條件，下圖給出了它的一維示意圖。把有限晶體首尾相接，從而就保證了從晶體內(nèi)任一點出發(fā)平移Na后必將返回原處，實際上也就避開了表面的特殊性。 13 0 N 2N 3N

6、可等效視為： （N，0）, （N+1，1） 14于是一維晶格振動的邊界條件就可寫成 UnUn+N （39） 把式（39）代入式（38），可得到 ei(q n a t) = ei (n+N) a qt, eiq N a=1， qNa = 2m（m=0,1，2）得（310）式（310）15結(jié)論： 1. 格波的波矢q不連續(xù); 2. q點的分布均勻, 相鄰q點的間 距為 2 (a); 3. 2q =Na/ m16七、討論（一）格波由（38）表示的是一個格波，它是 簡諧行波，又稱為簡正格波，簡正模式。格波相速度vp（等相位面移動的速度） 設(shè)t1時刻，n1a處振動，某一確定的相 位面到t2 時刻傳到n2a

7、處，則 q n1a t1 = q n2a t2 ， q(n2n1)a=(t2t1) 設(shè) n2a n1a = x , tt1 =t則 vp =x /t =(n2an1a) /(t2t1) = q 17說明： 波速v0, 相速vp, 群速（能速） vg=ddq 在很多情況下可不同，在無色散的真空中三者相同。（二）色散關(guān)系 本來色散關(guān)系是指vp間的關(guān)系， 因 vp = q 也可以用q 之間的關(guān)系來表征色散關(guān)系。若q 間為線性關(guān)系，則vp為常數(shù)，即各種頻率的波在該媒質(zhì)中傳播時不發(fā)生色散，否則發(fā)生色散。18把式（38）代入式（34）并用尤拉公式整理得到 （311）式m稱為截止頻率。 （3-11）1920

8、上式又可改寫為 所以，不是q的線性函數(shù)，或說vp不是q的線性函數(shù) 有色散。 21（三）長波近似 當a時，即相應(yīng)于當?shù)那闆r， 則q= 2，q0 .sin (q/)(qa/2 ) ,由上式 vp=/q = v0 -無色散 這正是連續(xù)媒質(zhì)中彈性波的色散關(guān)系。 （四）q的取值 式（311）表明， 是q的周期函數(shù)，周期為 (2/a), 即m為整數(shù) （313）22 相同時，由式（38）可知波矢q和q+(2/a)所描述的原子位移情況完全相同。 (3-14)這一點在從波形上也易于理解， 例如 q（/2a）和q=q+(2/a)=(5/2a)分別對應(yīng)波長為 （2/q）4a和 (2/q)=(4/5)a 23圖35

9、兩種波長的格波描述一維不連續(xù)原子 的同一種運動24它們所描述的原子位移情況完全相同。這說明若對波矢的取值范圍不加限制，則描述同一種晶格振動的格波波矢并不唯一確定。為此通常把它限制在一個周期范圍內(nèi)（即一個倒格子元胞范圍內(nèi)）?。?3-15) 這正是一維晶格的第一布里淵區(qū)。格波頻率是波矢q的周期函數(shù)，周期為（2/a），正好為一維原子鏈的最短倒格矢，（3-13）式可寫為 (q)= (q+Kh) 倒格子平移對稱性 （316） 其中Kh為倒格矢。25 由式（311）還可知： (q)= （q）倒格子反演對稱性 關(guān)于色散關(guān)系的倒格子平移對稱性和反演對稱性的這兩個結(jié)論對三維晶格也是適用的。說明： 1. q和q對應(yīng)相同的，但q和q代表 了不同的格波，與唯一性不 矛盾。 2. q的不唯一性是由晶體的不連續(xù)性所致。 26（五）格波數(shù)（模式數(shù)） 對一維單原子鏈而言即為在第一布里淵區(qū)中波矢q的取值數(shù)在q空間，q點均勻分布，相鄰q點間的“距離”為（2/Na），而q的取值范圍是第一布里淵區(qū)，它的大小為（2/a）,所以允許的q取值總數(shù)為(3-18) 這里N是原子總數(shù)，對于單式格子也就是初基元胞的總數(shù)。 27普遍結(jié)論： 允許的q值總數(shù)等于組成晶體的初基元胞數(shù) 。 在一維單原子鏈情況下，每