25 解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性定理

1、2.5 解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性定理考察的解 對(duì)初值的一些基本性質(zhì)解對(duì)初值的連續(xù)性 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性 解對(duì)初值的可微性 內(nèi)容:1yxG解可看成是關(guān)于的三元函數(shù)滿足 解對(duì)初值的對(duì)稱性:前提解存在唯一Q:當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí),對(duì)應(yīng)的解是如何變化的? 當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí),方程的解變化是否也是很小呢？ 初值問題的解不單依賴于自變量 ,同時(shí)也依賴于初值 .初值變動(dòng),相應(yīng)的初值問題的解也將隨之變動(dòng).2按解的存在范圍是否有限,又分成下面兩個(gè)問題:Q1:解在某有限閉區(qū)間a,b上有定義,討論初值 的微小變化對(duì)解的影響情況,稱為解對(duì)初值的連續(xù)性.內(nèi)容包括:當(dāng)初值發(fā)生小的變化時(shí),所得到的解是否仍在a,b上有定

2、義以及解在整個(gè)區(qū)間a,b上是否也變化很小?Q2:解在某個(gè)無限閉區(qū)間 上有定義,討論初值 的微小變化是否仍有解在 上有定義,且解在整個(gè)區(qū)間 上變化也很小?這種問題稱為解的穩(wěn)定性問題,將在第五章中討論.3定義2.5設(shè)初值問題解對(duì)初值的連續(xù)依賴性初值問題45證明則由解的唯一性知,即此解也可寫成:且顯然有:6引理 如果函數(shù) 于某域G內(nèi)連續(xù),且關(guān)于y 滿足利普希茨條件(利普希茨常數(shù)為L(zhǎng)),則對(duì)方程 的任意兩個(gè)解 及 ,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式 .其中 為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。證明則7于是因此兩邊取平方根即得8定理2.8 (解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理)條件: I. 在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部L-條

3、件; II. 是(1)滿足 的解,定義 區(qū)間為a,b.結(jié)論: 對(duì) , 使得當(dāng)時(shí),方程(1)過點(diǎn) 的解 在a,b上也有定義,且 方程90思路分析：10記積分曲線段S：顯然S是xy平面上的有界閉集.第一步:找區(qū)域D,使 ,且 在D上滿足Lips.條件.yxG(見下圖)由已知條件,對(duì) ,存在以它為中心的圓 ,使 在其內(nèi)滿足Lips.條件,利普希茨常數(shù)為 .根據(jù)有限覆蓋定理,存在N,當(dāng) 時(shí),有 對(duì) ,記則以 為半徑的圓,當(dāng)其圓心從S的左端點(diǎn)沿S 運(yùn)動(dòng)到右端點(diǎn)時(shí),掃過的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域Dba110120第二步:證明 在a,b上有定義.假定 利用引理2及 的連續(xù)性可得:13第三步:證明在不等式(*)中將區(qū)間c,d換成a,b即得.14根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連續(xù)性,顯然有:解對(duì)初值的連續(xù)性定理?xiàng)l件: 在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部Lips.條件;方程結(jié)論:在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.,作為 的函數(shù)15定