數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)材料

1、知識框架t數(shù)列的分類數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式-函數(shù)角度理解概念數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列數(shù)列兩個(gè)基本數(shù)列等比數(shù)列i等差數(shù)列的定義an-an=d(n_2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式anai(n-1)d等差數(shù)列的求和公式S.=(a1+an)=nat+n(n-1)d22等差數(shù)列的性質(zhì)ana=apaq(mn=pq)等比數(shù)列的定義=q(n工2)anJ.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a.qng.anq=ai(1qri)(q知)等比數(shù)列的求和公式Sn=1q1-qna.(q=1)i等比數(shù)列的性質(zhì)anam=apaq(m+n=p+q)公式法分組求和數(shù)列求和錯(cuò)位相減求和裂項(xiàng)求和倒序相加求和累加累積歸納猜想證明數(shù)列的應(yīng)用分期付款其他能在高考

2、中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+1=a+d及an+1=qan(d，q為常數(shù))例1、已知an滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解/an+1-an=2為常數(shù)an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列/an=1+2(n-1)即an=2n-11例2、已知an滿足andan，而ai=2，求an=?希12解=-是常數(shù)亞2二話是以2為首項(xiàng)，公比為+的等卜威列二.帆=2*(-)11-1=遞推式為an+1=an+f(n)11例3、已知an

3、中a1,an-an2，求an.24n11111解：由已知可知and-an()(2n+1)(2n-1)22n-12n+1令n=1,2,，(n-1),代入得(n-1)個(gè)等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可文檔大全1廣1(nN)有a3anj2，求an.解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3(an-an-1)因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=(3X1+2)-1=4-an+

4、1-an=43-an+1=3an+2-3an+2-an=43即an=23-1解法二：上法得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=4-3,2a4-a3=43，,an-an-1=4把n-1個(gè)/an=23n-1-1說明對于遞推式如訴心可兩邊除以嚴(yán)，得許+A引輔助數(shù)列I(“晉),得也二后用qqqqnqq(5)遞推式為an.2=pan1qan思路：設(shè)an.2二pan1qan,可以變形為：an.2-an(and-:an),(cl+p=p就是張廠2+B)j-Cl陸，則可從門R解得4隊(duì)IP=想于是an+1-aan是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。0+分析小a*解在仏遞

5、推式為an+1=pan+qn(p,q為常數(shù))【例5】己知aj中，町二an+1=Tan+(3)叫求張略解在亦三耳+cp的兩邊乘以計(jì)嚅o2n+1-an+1=-&憐+1,令=2壯2bn1丄一(6-bnj)由上題的解法，得：g=3-2()“TOC o 1-5 h z3bn1、n1、nann=3()2()22321【例6】已知數(shù)列枝J中，=a2=2,an+3=-an+1+-an,求an2p=VJ213J=許1+評兩邊減去玄葉an+lJ是公比為首項(xiàng)為勾F二啲等比數(shù)列。計(jì)+-+十門廠1+/1-(冷)h_1(6)遞推式為S與an的關(guān)系式，iCn=1)L-Sp(n2)此類型可利用:關(guān)系;數(shù)列求和的常用方法：1、

6、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列(如果祐,等差，g等比，那么:anbn?叫做差比數(shù)列)即把每一項(xiàng)都乘以b/的公比q，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾試用n表示an。項(xiàng)，可求和。適用于數(shù)列-、an，aHH(其中l(wèi)a/等差)Sh+i=4-11Sn1-Sn-(an-an1)(n-222解1)由Sn=4-an-y得可裂項(xiàng)為：11(-丄)an，an*dana佔(zhàn)an十a(chǎn)nan+?n4等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：上式兩邊同乘以2的等差數(shù)列。2n+1得2n+1

7、an+i=2nan+2則23是公差為2nan=2+(n-1)2=2n1、若等差數(shù)列l(wèi)a,的首項(xiàng)a10,公差d：0，則前n項(xiàng)和Sn有最大值。(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最大二anan41蘭02q(ii)若已知Sn=pnqn，則當(dāng)n取最靠近的非零自然數(shù)時(shí)Sn最2p大；2、若等差數(shù)列的首項(xiàng)內(nèi)c0，公差d0，則前n項(xiàng)和Sn有最小值fan-0若已知通項(xiàng)an，則Sn最小二an一0(ii)若已知Sn=pn2qn，則當(dāng)n取最靠近-的非零自然數(shù)時(shí)Sn最2p小;數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn(即ai-32an=f(n)求務(wù),用作差法：a=0(n=1)3nSn-Sn,(n一2)

8、廠nn|f(1)，(n=1)已知aja2_an=f(n)求an,用作商法：a.=ff(n)(n仝2)。if(nT)，已知條件中既有Sn還有an，有時(shí)先求Sn，再求an；有時(shí)也可直接求an。若ani-an=f(n)求an用累加法：an=(anan4)(an4anR川(a2ai)ai(n一2)。已知=f(n)求an,用累乘法:an業(yè)-aniJI皂a(n亠2)。anan-Aan-2ai已知遞推關(guān)系求an,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地，(1)形如an二kanjb、akanjb(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an；形如二kan_i-kn的遞推數(shù)列都可

9、以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an。形如an仏的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。nkanJ+bk形如anan的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項(xiàng)。(理科)數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)遇到ananJ=d或也=q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可an4能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一

10、個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：111；11(-11)；n(n1)nn1n(nk)kvnnk，421)kk-12k-1k1an111111kk1,k1)kk2(k-1)k一k-114(n=1)2n1(n_2)n(n1)(n2)2右）1(n1)(n2)(n1)!丄1n!(n1)!練習(xí)數(shù)列an?滿足SnSnd=a3a4，求an=2(行_眉1)（注意到an.Snd-Sn代入得:、解題方法:求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

11、:1、公式法2、由Sn求an(n=1時(shí)，a1二Sn一2時(shí)，an二Sn-Snj)3、求差（商）法11解：n=1時(shí)，一a12如：n滿足*a2=215,n_2時(shí)，1a12：1乜-”2得:2a222丄3=22“an2a=2時(shí)n12?an=2n5二a1=14:1-:2又S4，二Sn是等比數(shù)列，Sn=4nn2時(shí)，an=SnSn.nJ=34、疊乘法例如：數(shù)列an中，a1a1nr=3，=，求ann+1解:a2a3an二12n1-?a1a2and23n又ar=3，二an=-3n5、等差型遞推公式由an-a=f(n)，a1=a0，求an，用迭加法n2時(shí)，a?a1=f(2)a3a?=f(3)兩邊相加，得：a.a.=

12、f(n)4ana1弘=4Snan實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2文檔大全an-a1=f(2)f(3)f(n)(an1)-an二a。f(2)f(3)f(n)練習(xí)數(shù)列an/,ai=1,an=3nann_2，求a.1(an=13n-1)26、等比型遞推公式an二candc、d為常數(shù)，c0，c=1，d=07、倒數(shù)法例如：a1=1，an=n，求anan+2可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)anx=Canx=an=canC_1X由已知得：丄二旦！2=1丄a12an2a.111.an1an2.為等差數(shù)列，丄=1,公差為-ana12令(c-1)x=d，.x=c-1an二1n_1an是首項(xiàng)為a1c1J,c為公比的等比數(shù)列c一1-an旦C一1a

13、C_1n-1c-anfa1+旦|c-1ndcc-12.數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以練習(xí)下公式對求和來說是有益的。數(shù)列Bn滿足a1=9，3an1an=4,求a.1+2+3+實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2文檔大全I(xiàn)3+2孑+爭+11=-n(n+1)1+(n3+n-1)2G+l)+(2n_1)=n+j“+Wn+l)【例8】求數(shù)列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n項(xiàng)的和。1解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+n=-n(n1)2個(gè)奇數(shù)，12最后一個(gè)奇數(shù)為：1+n(n+1)-1x2=n2+n-1

14、2因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為(2)、分解轉(zhuǎn)化法對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?】求和S=1(n2-1)+2(n2-22)+3(n2-32)+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+n3)=-il3Ctt+D(n-1)士(宀)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。例10、求和：Sn=3C：6C：III3nC；例10、解Sn=0C0+3C：+6C：+川+3nC；又緒=弘C：+3(n-1)C+0蹲相加，且運(yùn)用C：=c：“可得2Sn二3n(C：+C：+C：)-3n*2nSn=3n

15、2n-1、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.例11、求數(shù)列1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和.解設(shè)S=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.當(dāng)x=1時(shí)，=，n=x=0時(shí)，S=1.當(dāng)xm0且xm1時(shí)，在式兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn.12x(1-x11-1)n由公式知S履二一1+(2葉1卅1-x1-xl+x-(2n+l)xn+(2n-=-裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形

16、式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案文檔大全1n(n+k)knn+k11解依題意，i殳6)7=呵+口叮)d二f(n)n(n+l)(n+2)2nn+1n+2石占窩訂后例12、求和+-+1-53-75-9此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)次函數(shù)的圖像開口向下當(dāng)藍(lán)=-(1)=f(k)二當(dāng)1+k為偶數(shù)時(shí)二三時(shí)以最九當(dāng)1+k為奇數(shù)時(shí)，fl=匕害時(shí)最大。1,一1*53*75*9(2n-1)(2n3)母和1111帝和+-+八(2n-l)(2n+3)111(2n-l)(2n+3)_42n-l2口十多a10Si=Sk(I豐k),.dv0故此二2時(shí)fG)最大，f(n)中，此N1111111111a4l53759

17、2n-32n+12n-12n+3_lri111.4l32n+l2n+3Jn(4n+5)3(2n4-l)(2n+3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?3】等差數(shù)列an的首項(xiàng)ao0，前n項(xiàng)的和為S,若S=Sk(I豐k)問n為何值時(shí)Sn最大？.方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列an前n項(xiàng)和為S,若S3+S6=2Sg,求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及推理能力。解依題意可知1。如果q=1，則S3

18、=3a1,S6=6a1,Ss=9a1。由此應(yīng)推出a1=0與等比數(shù)列不符。qz1.(1-q3)|坷(lq)2坷(lq)“)整理得q3(2q6-q3-1)=0/qz0.2q6-q3-l=0q；=l舍.A.6B.6（1）2C.62nD6或6（1）2或62心二、填空題1已知數(shù)列n*中，a1=-1,an10n=a“1-,則數(shù)列通項(xiàng)an=。2.已知數(shù)列的Sn=n2+n十1，貝Ua$十a(chǎn)9+a10十a(chǎn)“十a(chǎn)12=。3.三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且a,c,b成等比數(shù)列，則a:b:c=。三、解答題1已知數(shù)列的前n項(xiàng)和S3-2n，求an此題還可以作如下思考：33336S6=S3+qS3=(1+q)S。S9=S?+qS6=S(1+q+q),由S3+S=2S可得2+q3=2(l+q+q6),2q6+q3=0m1V4換元思想【例15】已知a,b,c是不為1的正數(shù)，x,y,zR+,且112有屮=c3n-+-xzy求證：a,b,c順次成等比數(shù)列。證明依題意令a=b=c=kx=1ogak,y=logbk,z=logck.112112H.+二一,.L+=X2ylo&klogcklogbk故件+獸彈即1護(hù)心洶邁klgklgk2b=aca,b,c成等比數(shù)列(a,b,c均不為0)數(shù)學(xué)5（必修）第二章：數(shù)列一、