數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)

1、2015計(jì)算方法復(fù)習(xí)會(huì)高斯消去法；會(huì)矩陣三角分解法；會(huì)Cholesky分解的平方根法求解方程組會(huì)用插值基函數(shù)；會(huì)求Lagrange,會(huì)計(jì)算差商和Newton插值多項(xiàng)式和余項(xiàng)會(huì)Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩陣，譜半徑，收斂性會(huì)寫非線性方程根的Newton迭代格式;斯蒂芬森加速會(huì)用歐拉預(yù)報(bào)校正法和經(jīng)典四階龍格庫(kù)塔法求解初值問題會(huì)最小二乘法多項(xiàng)式擬合會(huì)計(jì)算求積公式的代數(shù)精度；（復(fù)化）梯形公式和（復(fù)化）辛普生公式求積分；高斯-勒讓德求積公式第1章、數(shù)值計(jì)算引論（一）考核知識(shí)點(diǎn)誤差的來源類型；絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限，相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字；誤差的傳播。（二）復(fù)習(xí)要

2、求了解數(shù)值分析的研究對(duì)象與特點(diǎn)。了解誤差來源與分類,會(huì)求有效數(shù)字;會(huì)簡(jiǎn)單誤差估計(jì)。了解誤差的定性分析及避免誤差危害。（三）例題例1.設(shè)尸0.231是精確值*=0.229的近似值，則x有2位有效數(shù)字。例2.為了提高數(shù)值計(jì)算精度，當(dāng)正數(shù)x充分大時(shí)，應(yīng)將ln（x-x2-1）改寫為ln（x+x2+1）。例3.37*的相對(duì)誤差約是x*的相對(duì)誤差的1/3倍.第2章、非線性方程的數(shù)值解法（一）考核知識(shí)點(diǎn)對(duì)分法；不動(dòng)點(diǎn)迭代法及其收斂性;收斂速度；迭代收斂的加速方法；埃特金加速收斂方法；Steffensen斯特芬森迭代法；牛頓法；弦截法。（二）復(fù)習(xí)要求了解求根問題和二分法。了解不動(dòng)點(diǎn)迭代法和迭代收斂性；了解收斂

3、階的概念和有關(guān)結(jié)論。理解掌握加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。掌握牛頓法及其收斂性、下山法,了解重根情形。了解弦截法。（三）例題1為求方程心一疋一1=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是（）x2(A),迭代公式xk+1(B)x2,迭代公式xk+1x2k(C)X3=1+X2,迭代公式=(1+X2)1/3k+1kx(D)X3-1=X2迭代公式k+1X2LX2+X+1kk解：X2在(A)中，12(X1)3/212(1.6-1)3/2=1.076故迭代發(fā)散。應(yīng)選擇(A)?？梢则?yàn)證在(B),(C),(D)中，申滿足廠1，迭代收斂。2.用N

4、ewton法求方程X-Inx=2在區(qū)間(2,a)內(nèi)的根，要求Xk一Xk1Xk10一8。解此方程在區(qū)間(2,a)內(nèi)只有一個(gè)根s，而且在區(qū)間(2,4)內(nèi)。設(shè)f(X)=X一lnX一21f(x)=X2Newton法迭代公式為XlnX2X(1+lnX)X=xkk=kkk+1k11/XX一1kkk=0,1,2,A取X0=3，得sX4=3.146193221。X2f(X)kk2Xf(X)kk4.牛頓切線法是用曲線f(x)上的點(diǎn)的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)3.設(shè)f(x)可微，求方程X2=f(x)根的Newton迭代格式為Xk+1=Xk=0的解；而弦截法是用曲線f(x)上的；兩點(diǎn)的連線與x軸的交點(diǎn)

5、的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)=0的解.5.試確定常數(shù)p,q,r使迭代公式TOC o 1-5 h zaa2X=px+q+rk+1kX2X5kk產(chǎn)生的序列x收斂到命a，并使收斂階盡量高.k解因?yàn)榈瘮?shù)為9(X)=px+q+ra2，而X*=3萬根據(jù)定理知，要使收斂階X2X5盡量高，應(yīng)有X*=9(X*)，9(x*)=0，97X*)=0，由此三式即可得到p,q,r所滿足的三個(gè)方程為：p+q+r=1,p一2q一5r=0,q+5r=0.5i解之得，p=q=9,r=-，且申(3a)豐0，故迭代公式是三階收斂的.P25.例2-4P30.例2-6P33.例2-8P35例2-10P35.例2-11第3章、線性代數(shù)方程

6、組的數(shù)值解法(一)考核知識(shí)點(diǎn)高斯消去法，列主元消去法;矩陣三角分解法;平方根法；追趕法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法與高斯蚤德爾迭代法，超松弛迭代法SOR,迭代解數(shù)列收斂的條件。復(fù)習(xí)要求了解矩陣基礎(chǔ)知識(shí)，了解向量和矩陣的幾種范數(shù)。掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。掌握直接三角分解法，平方根法，了解追趕法，了解有關(guān)結(jié)論。了解矩陣和方程組的性態(tài)，會(huì)求其條件數(shù)。了解迭代法及其收斂性的概念。掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(S0R)迭代法。例題分別用順序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脫爾分解)求解線性方程組123_x114_252

7、x2=18315x320解：1)Gauss消去法1231412314_12314_25218T014-10T01一4-10315200一5一4-2200一24-72回代x3=3,x2=2,x1=12)直接三角分解法(杜利脫爾分解)123一1卩23_252=2101一43153-511_0024=LU解Ly=b，Ux=y得x=(1,2,3)T用平方根法(Cholesky分解)求解方程組:112人解：由系數(shù)矩陣的對(duì)稱正定性，可令A(yù)=LLT，其中L為下三角陣。3220求解翠（求解36丁一6k220丿貝y|九i-=九3=o=p(b)=o1Jacobi迭代收斂Gauss-Seidel迭代矩陣(1一102

8、-2102-202-2、B=-1101=1101=02-1G-S12Gauss-Seidel迭代發(fā)散.4已知方程組Ax=b，其中_211-A=121b=11121列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)討論上述兩種迭代法的收斂性。解：(1)Jacobi迭代法：x仇+i)=(1一x仇)一x(k)/2TOC o 1-5 h z23X(k+1)=(1一X(k)一X(k)/213X(k+1)=(1一X(k)一X(k)/212B=D1(L+U)=Jacobi迭代矩陣：p(B)=1收斂性不能確定12121201212120(2)Gauss-Seidel迭代法：X(k+1)=

9、(1一X(k)-X(k)/2TOC o 1-5 h z231，因而雅可比迭代法發(fā)散。2)高斯-塞德爾迭代矩陣為G(D_L)_1U131丿10丿(113(0110丿2，由3丿九2+九一30可知,p(G)23，因而高斯-塞德爾迭代法收斂。P68.例3-3P68.例3-4P72.例3-5P76.例3-7P77.例3-8P78.例3-9P79.例3-10P88.例3-15P89.例3-16P91.例3-17P98.例3-24P110.例3-30P111.例3-31P118.例3-36第4章、插值法考核知識(shí)點(diǎn)插值多項(xiàng)式，插值基函數(shù)，拉格朗日插值多項(xiàng)式，差商及其性質(zhì)，牛頓插值多項(xiàng)式，差分與等距插值；分段線

10、性插值；樣條函數(shù)，三次樣條插值函數(shù)。復(fù)習(xí)要求了解插值的概念。掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余項(xiàng)公式。了解均差的概念及基本性質(zhì)，掌握牛頓插值法。了解差分的概念，會(huì)牛頓前插公式、后插公式。了解埃爾米特（Hermite）插值及其余項(xiàng)公式。知道高次插值的病態(tài)性質(zhì),會(huì)分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。會(huì)三次樣條插值,知道其誤差和收斂性。（三）例題例1.設(shè)f（）=，f=I6,f=46，則li（x）二-x（x-2）,f（x）的二次牛頓插值多項(xiàng)式為N2（x）二16x+7x（x-1）.;例2.設(shè)10（x）,1i（x）,12（x）,13（x）是以x0,x1,x2,x3為互異節(jié)點(diǎn)的三次插值

11、基函數(shù)，則l(x)(x-2)3=(x-2)3jjj=例3.給定數(shù)據(jù)表：i=123,4,5,xi12467f(x)i41011求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并寫出插值余項(xiàng)。解：xif(x)i一階差商二階差商三階差商四階差商1421-31540261176124611171061218由差商表可得4次牛頓插值多項(xiàng)式為：57N4(x)=43(x1)+(x1)(x2)(x1)(x2)(x4)4660+(x1)(x2)(x4)(x6)18057=43(x1)+(x1)(x2)(x1)(x2)(x4)660+(x1)(x2)(x4)(x6)180插值余項(xiàng)為R(x)=f點(diǎn))(x1)(x2)(x4)(x6)(x7),

12、e(1,7)。45!例4已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為試構(gòu)造f(x)的拉格朗日多項(xiàng)式Pn(對(duì)，并計(jì)算f(l)。解先構(gòu)造基函數(shù)x(x4)(x5)x(x4)(x5)TOC o 1-5 h z1(x)=0(20)(24)(25)84(x+2)(x4)(x5)(x+2)(x4)(x5)1(x)=i(0(2)(04)(05)40(x+2)x(x5)x(x+2)(x5)(x)=(4+2)(40)(45)24(x+2)x(x2)(x4)(x+2)x(x4)351(x)=(5+2)(50)(54)所求三次多項(xiàng)式為y1(x)P3(x)=05%x(x4)(x5)(x+2)(x-4)(x-5)(3)xx(x+2)

13、(x5)(x+2)x(x4)354024TOC o 1-5 h z=X84+-1x3x2x24+1=-鈕_1尸4214217例5.已知一組觀察數(shù)據(jù)為試用此組數(shù)據(jù)構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式匕(X),并求L?6.5)。解：L(x)=l(x)y+1(x)y+1(x)y2001122i=1()Cxl)(x2)所以L2(x)=(01)62)1+(x0)(x2)(x0)(xl)(10)(2)X2+(20)21)322例6.f(x)二x7+X4+3x+1，求f20,21,A,27,f2。,21,A,28.解：f20,21,A,27f點(diǎn)）7!7!-二1,f20,21,A,28二f

14、&)二二07!8!8!P130.例4-4P131.例4-5P133.例4-7P135.例4-10P142.例4-13P143.例4-14P145.例4-15第5章、曲線擬合（一）考核知識(shí)點(diǎn)勒讓德多項(xiàng)式；切比雪夫多項(xiàng)式；曲線擬合；最小二乘法，正則方程組，線性擬合，超定方程組的最小二乘解,多變量的數(shù)據(jù)擬合，多項(xiàng)式擬合;正交多項(xiàng)式曲線擬合.（二）復(fù)習(xí)要求了解函數(shù)逼近的基本概念，了解范數(shù)和內(nèi)積空間。了解正交多項(xiàng)式的概念，了解切比雪夫多項(xiàng)式和勒讓德多項(xiàng)式以及它們的性質(zhì)，知道其他常用正交多項(xiàng)式。了解曲線擬合的最小二乘法并會(huì)計(jì)算，了解用正交多項(xiàng)式做最小二乘擬合。（三）例題1.已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：xi19253

15、13844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求一個(gè)形如y二a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并求均方誤差。解：由題意二span1,x2,申（x）=1,申（x）=x2,01G,甲)=1=5,00G,甲)=fx2192+252+312+382+44201i，i1361+625+961+1444+19365327G,甲)=fx4194+254+314+384+44411ii1130321+390625+923521+2085136+37480967277699=(P,y)=工y19.0+32.3+49.0+73.3+97.8271.4。ii=1yx2iii=1=19.

16、0 x192+32.3x252+49.0 x312+73.3x382+97.8x442。=6859+20187.5+47089+105845.2+189340.8=369321.5_55327a271.4-53277277699；_369321.5故法方程為，解得1；=0器1i1i12.給定數(shù)據(jù)表.X-2-1012y-0.10.10.40.91.61=工Iii試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù).均方誤差為工k(x)y(x)i+；x2y(xJ0.01693i解y(x)=c0+Cx+c2x2+c3x3124850100_11110100341000，ATA1003401111034013012

17、48A=ATy=(2.9,4.2,7,14.4)T正則方程的解為c0=0.4086,cATAc=ATy=0.39167，c2=0.0857，c3=0.00833得到三次多項(xiàng)式y(tǒng)(x)二0.4086+0.39167x+0.0857x2+0.00833x3P174例5-1P176例5-3P178.例5-5P180.例5-6P181例5-7P182.例5-8第6章、數(shù)值積分與數(shù)值微分考核知識(shí)點(diǎn)代數(shù)精度；插值型求積公式，牛頓一柯特斯公式,梯形公式和辛普森公式,復(fù)合求積公式，求積公式的誤差，步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇,龍貝格求積公式，高斯型求積公式。(二點(diǎn)、三點(diǎn))高斯一勒讓德求積公式。復(fù)習(xí)要求1.了解數(shù)值求積的基本

18、思想、代數(shù)精度的概念、插值型求積公式及其代數(shù)精度、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性。2掌握牛頓-柯特斯公式及其性質(zhì)和余項(xiàng)；梯形公式和辛普生公式.掌握復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式及其余項(xiàng)。掌握龍貝格(Romberg)求積算法。5會(huì)高斯求積公式。例題1用下列方法計(jì)算積分J3，并比較結(jié)果。1y(1)龍貝格方法；(2)三點(diǎn)及五點(diǎn)高斯公式.解:IJ3dy1y(1)采用龍貝格方法可得kT(k)0T(k)1T(k)2T(k)3T(k)401.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997

19、681.0986201.0986131.0986131.098613故有I沁1.098613(2)采用高斯公式時(shí)I=i3dy此時(shí)ye1,3,令x=y-z,則xe1,1,1yI=J1dx,ix+2f(x)=利用三點(diǎn)高斯公式，則I=0.5555556xf(0.7745967)+f(0.7745967)+0.8888889xf(0)沁1.098039利用五點(diǎn)高斯公式，則I沁0.2369239xf(-0.9061798)+f(0.9061798)+0.4786287xf(0.5384693)+f(0.5384693)+0.5688889xf(0)沁1.0986092.用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式計(jì)算

20、下列積分：J1xdx；n=8;04+x2解：h71T=-f(a)+2乙f(x)+f(b)=82k1k=1k1丄+2工8164k=14+-+125=1(1+2工+1)164256+k25k=11184242=+2(+16425765265172817330540+12+竺)+10.111405S=-f(a)+4工f(x)+2工f(x)+f(b)86k=0k+1(=1k2k+1k=11+4西+2工一848407.I1Ak=04+(2k+1肓丿2k=14+-+125=1(1+4工16(2k+】)+2工+1)0.11157TOC o 1-5 h z4841024+(2k+1)2256+k25k=0k=

21、1精確值為J1dx=】ln(4+x2)|1=!ln5沁0.11157。04+x22024P200.例6-5P205.例6-8P207.例6-9P210.例6-11P213.例6-12P214.例6-13P216.例6-14P219.例6-15P225.例6-17，例6-18第7章、常微分方程初值問題的數(shù)值解法(一)考核知識(shí)點(diǎn)歐拉法,后退歐拉法；梯形公式；改進(jìn)歐拉法；龍格一庫(kù)塔法，局部截?cái)嗾`差。復(fù)習(xí)要求掌握歐拉法和改進(jìn)的歐拉法，知道其局部截?cái)嗾`差。知道龍格一庫(kù)塔法的基本思想。知道二階、三階龍格一庫(kù)塔法。掌握四階龍格一一庫(kù)塔法，知道龍格一庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差。例題fy=-y-xy2(0 x0.6)例1用歐拉法解初值問題ly()i，取步長(zhǎng)h=0.2。解h=0.2,fx)=yxy2。首先建立歐拉迭代格式y(tǒng)=y+hf(x,y)=y-hy-hxy2=0.2y(4-xy)(k=0,1,2)k+1kkkkkkkkkk當(dāng)k=0，x1=0.2時(shí)，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)y1=0.