新人教版高中數(shù)學(xué)（必修二）（全冊知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習(xí)）（基礎(chǔ)版）（家教、補(bǔ)習(xí)、復(fù)習(xí)用）

1、新人教版高中數(shù)學(xué)（必修二）重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1利用實物模型、計算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征；2認(rèn)識由柱、錐、臺、球組成的幾何組合體的結(jié)構(gòu)特征；3能用上述結(jié)構(gòu)特征描繪現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)【要點梳理】【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱柱的結(jié)構(gòu)特征】要點一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱

2、的頂點棱柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對角面2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱3、棱柱的表示方法：用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、；用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行.要點詮釋：有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條

3、件，但它不是棱柱判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱錐的結(jié)構(gòu)特征】要點二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐這個多邊形面叫做棱錐的底面有公共頂點的各個三角形叫做棱錐的側(cè)面各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐 ；S

4、SDDCCBBAAECBAS3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐要點詮釋：棱錐有兩個本質(zhì)特征：（1）有一個面是多邊形；（2）其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】要點三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱要點詮釋：（1）用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一

5、個與底面全等的圓面（2）經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸要點四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐要點詮釋：（1）用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面（2）經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊

6、是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線（3）圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側(cè)面的母線【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 棱臺的結(jié)構(gòu)特征】要點五：棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征、定義：用一個平行于棱錐(圓錐)底面的平面去截棱錐(圓錐)，底面和截面之間的部分叫做棱臺(圓臺)；原棱錐(圓錐)的底面和截面分別叫做棱臺(圓臺)的下底面和上底面；原棱錐(圓錐)的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺(圓臺)的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫

7、做圓臺的軸.2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺；3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺；要點詮釋：（1）棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體所以，棱臺可還原為棱錐，即延長棱臺的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點（2）棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方（3）圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成.（4）圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方要點六：球的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球.半圓的半徑叫做球的半徑.半圓

8、的圓心叫做球心.半圓的直徑叫做球的直徑.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要點詮釋：（1）用一個平面去截一個球，截面是一個圓面如果截面經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑（2）若半徑為的球的一個截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有要點七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長等于

9、底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；注：簡單幾何體的分類如下表：要點八：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、組合體的基本形式：由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常見的組合體有三種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合. 多面體與多面體的組合體 由兩個或兩個以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體如下圖（1）是一個四棱柱與一個三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖（3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組合體 多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體 由一個多面體與一個旋轉(zhuǎn)體組合而成的

10、幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個三棱柱與一個圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成的 旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體 由兩個或兩個以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是由一個球體和一個圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個圓臺、一個圓柱和一個圓錐組合而成的 要點九：幾何體中的計算問題幾何體的有關(guān)計算中要注意下列方法與技巧：(1)在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個直角三角形，有關(guān)證明及運算往往與兩者相關(guān)(2)正四棱臺中

11、要掌握其對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計算，有關(guān)問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個等腰梯形中另外要能夠?qū)⒄睦馀_、正三棱臺中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來(3)研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系(4)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一(5)圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決(6)關(guān)于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面幾何的有關(guān)知識解決；關(guān)于球與多面體的切接問題，要恰當(dāng)?shù)剡x取截面，化“空間”為平面【經(jīng)典例題】類型一：簡單幾何

12、體的結(jié)構(gòu)特征例1判斷下列說法是否正確 （1）棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形； （2）一個n（n3）棱柱共有2n個頂點； （3）棱柱的兩個底面是全等的多邊形；（4）如果棱柱有一個側(cè)面是矩形，則其余各側(cè)面也都是矩形【答案】（1）（2）（3）正確，（4）不正確 【解析】 （1）由棱柱的定義可知，棱柱的各側(cè)棱互相平行，同一個側(cè)面內(nèi)兩條底邊也互相平行，所以各側(cè)面都是平行四邊形（2）一個n棱柱的底面是一個n邊形，因此每個底面都有n個項點，兩個底面的頂點數(shù)之和即為棱柱的頂點數(shù)，即2n個（3）因為棱柱同一個側(cè)面內(nèi)的兩條底邊平行且相等，所以棱柱的兩個底面的對應(yīng)邊平行且相等，故棱柱的兩個底面全等（4）如果棱柱有一個

13、側(cè)面是矩形，只能保證側(cè)棱垂直于該側(cè)面的底邊，但其余側(cè)面的側(cè)棱與相應(yīng)底邊不一定垂直，因此其余側(cè)面不一定是矩形 故（1）（2）（3）正確，（4）不正確【總結(jié)升華】解決這類與棱柱、棱錐、棱臺有關(guān)的命題真假判定的問題，其關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握它們的結(jié)構(gòu)特征，也就是要以棱柱、棱錐、棱臺概念的本質(zhì)內(nèi)涵為依據(jù)，以具體實物和圖形為模型來進(jìn)行判定舉一反三：【變式1】如下圖中所示幾何體中是棱柱有（ ） A1 B2個 C3個 D4個【答案】C【空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899 同步練習(xí)】【變式2】 有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱嗎？【答案】不一定例2有下面五個命題： （1）側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐

14、是正棱錐； （2）側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐； （3）底面是正方形的棱錐是正四棱錐； （4）正四面體就是正四棱錐； （5）頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是底面多邊形的外心的棱錐必是正棱錐其中正確命題的個數(shù)是（ ） A1個 B2個 C3個 D4個 【答案】 A 【解析】 本題主要考查正棱錐的概念，關(guān)鍵看是否滿足定義中的兩個條件 命題（1）中的“各側(cè)面都是全等的等腰三角形”并不能保證底面是正多邊形，也不能保證頂點在底面上的射影是底面的中心，故不是正棱錐，如下圖（1）中的三棱錐S-ABC，可令SA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，則此三棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱

15、錐；命題（2）中的“側(cè)棱都相等”并不能保證底面是正多邊形，如下圖（2）中的三棱錐P-DEF，可令PD=PE=PF=1，EF=1，三條側(cè)棱都相等，但它不是正三棱錐；命題（3）中的“底面是正方形的棱錐”，其頂點在底面上的射影不一定是底面的中心，如下圖（3），從正方體中截取一個四棱錐D1-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱錐；命題（4）中的“正四面體”是正三棱錐三棱錐中共有4個面，所以三棱錐也叫四面體四個面都是全等的正三角形的正三棱錐也叫正四面體；命題（5）中的“頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心”，說明了底面是一個正多邊形，符合正棱錐的定義 舉一反三：【變式1】如果一個面是多邊形

16、，其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐這種說法是否正確？如果正確說明理由；如果不正確，舉出反例【答案】不正確【解析】如圖所示的幾何體由兩個底面相等的四棱錐組合而成，它有一個面是四邊形，其余各面都是三角形，但是該幾何體不是棱錐例3判斷下圖所示的幾何體是不是臺體？為什么？ 【解析】三個圖都不是臺體（1）AA1，DD1交于一點，而BB1，CC1交于另一點，此圖不能還原成錐體，故不是臺體：（2）中面ABCD與面A1B1C1D1不平行，故也不是臺體；（3）中應(yīng)O與O1不平行，故也不是臺體 【總結(jié)升華】判斷一個幾何體是否為臺體，必須緊扣臺體的兩個本質(zhì)特征：（1）由錐體截得的；（2）截面平行于錐體的底面即棱

17、臺的兩底面平行，且側(cè)棱必須相交于同一點；圓臺的兩底面平行，且兩底面圓心的連線與兩底面垂直舉一反三：【變式1】判斷如下圖所示的幾何體是不是臺體？為什么？ 【答案】 都不是臺體【解析】因為和都不是由棱錐所截得的，故都不是臺體；雖然是由棱錐所截，但截面不和底面平行，故不是臺體只有用平行于錐體底面的平面去截錐體，底面與截面之間的部分才是臺體是一個臺體，因為它是用平行于圓錐SO底面的平面截圓錐SO而得的類型二：幾何體中的基本計算 例4圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，軸截面的面積等于392 cm2，母線與軸的夾角是45，求這個圓臺的高、母線長和底面半徑【答案】14 cm，7 cm和21 cm【解

18、析】圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為x cm和3x cm，延長交的延長線于點S在RtSOA中，ASO45，則SAO45SOAO3x cm， ，解得x7，圓臺的高，母線長，底面半徑分別為7 cm和21 cm【總結(jié)升華】對于這類旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計算問題，其關(guān)鍵在于作出它們的軸截面（即過旋轉(zhuǎn)鈾的截面），再把它們轉(zhuǎn)化為平面幾何問題即可舉一反三：【變式1】已知圓臺的上、下底面積之比為1：9，圓臺的高為10，求截得圓臺的圓錐的高【解析】設(shè)圓錐的高為，上、下底半徑為則，解得類型三、簡單幾何體的組合體例5指出下圖中的圖形是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的 【解析】 分割原圖，使它們的每一部分構(gòu)成簡單幾何體

19、（1）是一個三棱柱和一個四棱柱組合而成的； （2）是一個圓錐和一個四棱柱組合而成的 【總結(jié)升華】判定實物圖是由哪些簡單幾何體所組成的圖形問題，首先要熟練掌握簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，其次要善于將復(fù)雜的組合體“分割”成幾個簡單的幾何體會識別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力舉一反三：【變式1】如下圖，觀察下列幾何體，分析它們是由哪些基本幾何體組成的，并說出它們的主要結(jié)構(gòu)特征 【答案】圖（1）是由一個四棱柱在它的上、下底面上向內(nèi)挖去一個三棱柱組成的幾何體，它有9個面，14個頂點，21條棱，具有四棱

20、柱和三棱柱的結(jié)構(gòu)特征 圖（2）是一個四棱柱和一個底面與該四棱柱上底面重合的四棱錐組成的幾何體，它有9個面，9個頂點，16條棱，具有四棱柱和四棱錐的結(jié)構(gòu)特征 圖（3）是由一個三棱柱和一個底面與該三棱柱的上底面重合的三棱臺組成的幾何體，它有9個頂點，8個面，15條棱，具有三棱柱和三棱臺的結(jié)構(gòu)特征【變式2】 如下圖（1）是由圖（2）中的平面圖形（ ）旋轉(zhuǎn)得到的 【答案】A【總結(jié)升華】要作出一個平面圖形繞某一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體，一般是先作出這個平面圖形的各頂點（如果是半圓形，則取垂直于這條直線的半徑的端點）關(guān)于這條直線的對稱點，再把這些相互對稱的兩點用圓弧連接起來，也就得出相應(yīng)的幾何體，進(jìn)而

21、便可判定其是由哪些簡單的幾何體所組成的幾何體 類型四、簡單幾何體的表面展開與折疊問題例6請畫出下圖所示的幾何體的表面展開圖 【解析】 將立體圖形沿著某些棱剪開，然后伸展到平面上 表面展開圖如下圖所示 【總結(jié)升華】要畫一個多面體的表面展開圖，可以先用硬紙做一個相應(yīng)的多面體的實物模型，然后沿著某些棱把它剪開，并鋪成平面圖形，進(jìn)而畫出相應(yīng)的平面圖形將多面體的表面展開成平面圖形，有利于我們解決與多面體表面有關(guān)的計算問題例7根據(jù)下圖所給的平面圖形，畫出立體圖形 【解析】將各平面圖形折起后形成的空間圖形如下圖所示 【總結(jié)升華】平面圖形的折疊問題實質(zhì)上是多面體的表面展開問題的逆向問題（即逆向過程）這兩類問題

22、都是立體幾何中的基本問題，我們必須熟練掌握折疊與展開這兩個基本功，并能準(zhǔn)確地畫出折疊和展開前后的平面圖形和立體圖形，找到這兩個圖形之間的構(gòu)成關(guān)系舉一反三：【變式1】（2016 廣東雷州市月考）如圖，正方形ABCD中，E、F分別為CD、BC的中點，沿AE、AF、EF將其折成一個多面體，則此多面體是_ 【思路點撥】根據(jù)折疊前、后的圖形情況，結(jié)合線面垂直的判定定理，得出該多面體是直三棱錐【答案】直三棱錐【解析】在正方形ABCD中，ABBF，ADDE，折疊后的圖形B，C，D三點重合，三棱錐ACEF中，ACCE，ACCF，CFCF=C，AC平面CEF，三棱錐ACEF是直三棱錐故答案為：直三棱錐【鞏固練習(xí)

23、】1一個正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距離一定可以形成（ ）A棱錐 B四棱柱 C正四棱柱 D長方體2從長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱上各取一點（不與頂點重合），過此三點作長方體的截面，那么這個截面的形狀是（ ）A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上都有可能3下列說法正確的是()A直線繞定直線旋轉(zhuǎn)形成柱面B半圓繞定直線旋轉(zhuǎn)形成球體C有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺D圓柱的任意兩條母線所在的直線是相互平行的4.下列圖形不是正方體表面展開圖的是（ ） 5下列命題： 圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個；用任意一個平面去截球體得到的截嘶一定是一個圓面；用任

24、意一個平面去截圓錐得到的截斷一定是一個圓面其中正確的個數(shù)是（ ） A0 B1 C2 D36一個直角梯形以較長底為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體是（ ）A一個圓臺 B一個圓錐 C由兩個圓錐組成的組合體 D由一個圓錐一個圓柱組成的組合體7（2016春 河北石家莊期末）一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖如圖所示，A、B、C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，ABC的度數(shù)是（ ） A45 B30 C60 D908由若干個平面圖形圍成的幾何體稱為多面體，多面體最少有_個面9為球面上相異兩點，則通過兩點可作的球大圓有 個10（2016春 安徽宿松縣月考）一個長、寬、高分別為a、b、c長方體的體積是8 cm2，它

25、的全面積是32 cm2，且滿足，求這個長方體所有棱長之和11已知三棱錐的底面是邊長為a的正三角形，求過各側(cè)棱中點的截面面積12一個四棱臺的上、下底面均為正方形，且面積分別為、，側(cè)面是全等的等腰梯形，棱臺的高為h，求此棱臺的側(cè)棱長和斜高(側(cè)面等腰梯形的高). 【答案與解析】1【答案】B 【解析】由棱柱定義可知，選B2【答案】A 【解析】 連結(jié)三點，用余弦定理證明知，這個三角形是銳角三角形3【答案】D【解析】兩直線平行時，直線繞定直線旋轉(zhuǎn)才形成柱面，故A錯誤半圓以直徑所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成球體，故B不正確，C不符合棱臺的定義，所以應(yīng)選D4【答案】C 【解析】 由展開圖折回去形不成正方體可知選C5【答

26、案】C 【解析】 正確，中截面也可以是一個三角形或橢圓等6【答案】D 【解析】由圓柱和圓錐的定義可知，該圖形是一個圓錐和圓柱7【答案】C【解析】一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖如圖所示，A、B、C是展開圖上的三點，組成立體圖形后，可得ABC的各邊均為正方形的對角線長，ABC為等邊三角形，ABC的度數(shù)為60 故選C8【答案】49【答案】一個或無窮多個 10【答案】32cm【解析】長、寬、高分別為a、b、c長方體的體積是8 cm2，abc=8，它的全面得32 cm2，2(ab+bc+ca)=32，b=2，ac=4，a+c=6，這個長方體所有棱長之和為4(a+b+c)=32（cm）11【答案】【解

27、析】如右圖，ABC為所求的截面圖形，由三角形中位線性質(zhì)定理，得ABCABC，且對應(yīng)邊長之比為12【答案】又， 12【答案】 【解析】上、下底面正方形的邊長為、，此棱臺對角面、過兩相對斜高的截面都是等腰梯形，則側(cè)棱長為；斜高為.空間幾何體的三視圖和直觀圖【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解平行投影與中心投影，了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點，了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式；2. 能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱的簡易組合體）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖【要點梳理】【空間幾何體的三視圖與直觀圖 395059中心投影與平

28、行投影】要點一、中心投影與平行投影1投影、投影線和投影面由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影其中的光線叫做投影線，留下物體影子的屏幕叫做投影面2中心投影我們把光由一點向外散射形成的投影叫做中心投影中心投影的投影線交于一點，它的實質(zhì)是一個點光源把一個物體射到一個平面上，這個物體的影子就是它在這個平面上的中心投影 3中心投影的性質(zhì) （1）中心投影的投影線交于一點； （2）點光源距離物體越近，投影形成的影子越大 4平行投影 我們把在一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影投影線正對著投影面時，叫做正投影，否則叫做斜投影 5平行投影的性質(zhì) （1）平行投影的投影

29、線互相平行 （2）在平行投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與這個平面圖形的形狀和大小完全相同 6中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系 （1）平行投影包括斜二測畫法和三視圖中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體 （2）畫實際效果圖時，一般用中心投影法，畫立體幾何中的圖形時，一般用平行投影法要點二、空間幾何體的三視圖【空間幾何體的三視圖與直觀圖 395059 三視圖】1三視圖的概念 把一個空間幾何體投影到一個平面上，可以獲得一個平面圖形，但是只有一個平面圖形很難把握幾何體的全貌，因此我們需要從多個角度進(jìn)行投影，這樣才能較好地把握幾何體的形狀

30、和大小通常，我們總是選擇三種投影 （1）光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖； （2）光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖； （3）光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的俯視圖 幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖 2三視圖的畫法規(guī)則 畫三視圖時，以正視圖為準(zhǔn)，俯視圖在正視圖的正下方，側(cè)視圖在正視圖的正右方，正、俯、側(cè)三個視圖之間必須互相對齊，不能錯位 正視圖反映物體的長度和高度，俯視圖反映物體的長度和寬度，側(cè)視圖反映物體的寬度和高度，由此，每兩個視圖之間有一定的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)這種對應(yīng)關(guān)系得到三視圖的畫法規(guī)則：

31、 （1）正、俯視圖都反映物體的長度“長對正”； （2）正、側(cè)視圖都反映物體的高度“高平齊”； （3）俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度“寬相等”【空間幾何體的三視圖與直觀圖 395059 斜二測畫法及典型例題1】要點三、斜二測畫法 在立體幾何中，空間幾何體的直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形要畫空間幾何體的直觀圖，首先要學(xué)會水平放置的平面圖形的直觀圖畫法 對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖，斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法 斜二測畫法的步驟： （1）在已知圖形中取互相垂直的z軸和y軸，兩軸相交于點O畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x軸與y軸，兩軸交于點O，且使xOy=45（或135），

32、它們確定的平面表示水平面 （2）已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸、y軸的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同 （3）已知圖形中，平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话氘媹D完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了平面圖形的直觀圖要點詮釋：用斜二測畫法畫圖的關(guān)鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點并在直觀圖中畫出一般情況下，這些點的位置都要通過其所在的平行于x、y軸的線段來確定，當(dāng)原圖中無需線段時，需要作輔助線段要點四、立體圖形的直觀圖 （1）用斜二測畫法畫空間幾何體的步驟 在

33、已知圖形中，取互相垂直的x軸和y軸，再取z軸，使xOz=90，且yOz=90； 畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸x，y，z，使xOy=45（或135），xOz=90，xOy所確定的平面表示水平平面； 已知圖形中平行于x軸，y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸，y軸或z軸的線段； 在已知平面圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間幾何體的直觀圖 （2）斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質(zhì) 平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；共點性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；平行于x，z軸的長度

34、不變 （3）畫立體圖形與畫水平放置的平面圖形相比多了一個z軸，其直觀圖中對應(yīng)于z軸的是z軸，平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示直立平面平行于z軸（或在：軸上）的線段，其平行性和長度都不變 （4）三視圖與直觀圖的聯(lián)系與區(qū)別 三視圖與直觀圖都是用平面圖形來刻畫空間圖形的位置特征與度量特征，二者有以下區(qū)別： 三視圖從細(xì)節(jié)上刻畫了空間幾何體的結(jié)構(gòu)，由三視圖可以得到一個精確的幾何體，如零件、建筑圖紙等都是三視圖 直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，可視性高，立體感強(qiáng)，由此可以想象實物的形狀 要點五、已知三視圖畫直觀圖 三視圖和直觀圖是空間幾何體的兩種不同的表現(xiàn)形式直觀圖是在某一定點觀察到的圖形，

35、三視圖是投射線從不同位置將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形，對于同一個物體，兩者可以相互轉(zhuǎn)換 由三視圖畫直觀圖，一般可分為兩步： 第一步：想象空間幾何體的形狀 三視圖是按照正投影的規(guī)律，使平行光線分別從物體的正面、側(cè)面和上面投射到投影面后得到的投影圖，包括正視圖、側(cè)視圖和俯視圖 正視圖反映出物體的長和高，側(cè)視圖反映出物體高和寬，所以正視圖和側(cè)視圖可以確定幾何體的基本形狀，如柱體、錐體或臺體等俯視圖反映出物體的長和寬對于簡單幾何體來說，當(dāng)俯視圖是圓形時，該幾何體是旋轉(zhuǎn)體；當(dāng)俯視圖是多邊形時，該幾何體是多面體 第二步：利用斜二測畫法畫出直觀圖 當(dāng)幾何體的形狀確定后，用斜二測畫法畫出相應(yīng)物體的直

36、觀圖注意用實線表示看得見的部分，用虛線表示看不見的部分畫完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗 【典型例題】類型一、平行投影與中心投影例1下列命題中正確的是（ ）A矩形的平行投影一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形C兩條相交直線的投影可能平行D一條線段的平行投影如果仍是一條線段，那么這條線段中點的投影必是這條線段投影的中心【答案】D【解析】平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影改變幾何圖形的形狀，因而A、B不正確兩條直線的交點無論是平行投影還是中心投影仍是同一個點，這個點在兩條直線的投影上，因而兩條直線的投影不可能平行，故C錯 兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比，因而D正確【總結(jié)升華】空間圖形經(jīng)過

37、中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線，如照片中由近到遠(yuǎn)，物體之間的距離越來越近，最后相交于一點中心投影后的圖形與原圖形相比雖然改變較多，但直觀性強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體，所以在繪畫時，經(jīng)常使用這種方法例2一圖形的投影是一條線段，這個圖形不可能是 線段 直線 圓 梯形 長方體 【答案】 【解析】線段、圓、梯形都是平面圖形，且在有限范圍內(nèi)，投影都可能為線段；長方體是三維空間圖形，其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點舉一反三：【變式1】有下列說法： 從投影的角度看，三視圖和斜二測畫法畫出的直觀圖都是平行投影下畫出來的空間圖形；平行投影的投影線互相平行，

38、中心投影的投影線相交于一點；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；空間幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式 其中正確的命題有（ ） A1個 B2個 C3個 D4個 【答案】D類型二、空間幾何體的三視圖例3螺栓是棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體，如下圖，畫出它的三視圖 【解析】該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的正視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面，側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面，俯視圖反映該物體正投影后是一個正六邊形和一個圓（中心重合） 它的三視圖如下圖 【總結(jié)升華】（1）對于簡單空間幾何體的組合體，一定要認(rèn)真觀察，先認(rèn)識它的基本結(jié)構(gòu)，然后再畫它的三

39、視圖 （2）在繪制三視圖時，應(yīng)注意：若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出（3）畫簡單組合體的三視圖應(yīng)注意兩個問題：首先，確定正視、側(cè)視、俯視的方向，同一物體放置的位置不同，所畫的三視圖就可能不同；其次，簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體構(gòu)成的，并注意它們的構(gòu)成方式，特別是它們的交線位置 例4如下圖（1）所示的是一個獎杯的三視圖，畫出它的立體圖形 【解析】從獎杯的三視圖可以看出，獎杯的底座是一個正棱臺它的上底面是邊長為60 mm的正方形，下底面是邊長為100 mm的正方形，高為20 mm底座的上面是一個底面對角線長為40 mm，高72 mm的正

40、四棱柱，它的底面對角線分別與棱臺的底面的兩邊平行，底面的中心在棱臺上、下底面中心的連線上，獎杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一個直徑為28 mm的球根據(jù)以上分析，畫出獎杯的立體圖形，如上圖所示【總結(jié)升華】由三視圖還原成實物圖是由實物圖畫三視圖的逆向思維，其關(guān)鍵仍然是抓住“長對正、高平齊、寬相等”的基本特征，想象視圖中每部分對應(yīng)的實物部分的形狀，特別要注意幾何體中與投影面垂直或平行的線及面的位置根據(jù)三視圖想象空間幾何體，是培養(yǎng)空間想象能力的重要方式，這需要根據(jù)幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的幾何特點，想象整個幾何體的幾何特征，從而判斷三視圖所描述的幾何體通常是根據(jù)俯視圖判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)

41、體，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖確定具體的幾何結(jié)構(gòu)特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體舉一反三：【變式1】 右圖是長和寬分別相等的兩個矩形給定下列三個命題，其中真命題的個數(shù)是（ ） 存在三棱柱其正（主）視圖、俯視圖如右圖 存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖 存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖 A3 B2 C1 D0 【答案】A【變式2】一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（ ）【答案】B【解析】由直觀圖可知，該幾何體由一個長方體和一個截角三棱柱組成，從上往下看，外層輪廓線是一矩形，矩形內(nèi)部有一條線段連接兩個三角形故選B類型三、空間幾何體的直觀圖例5如圖所示，梯形ABCD中

42、，ABCD，AB4 cm，CD2 cm，DAB30，AD3 cm，試畫出它的直觀圖【答案】詳見解析【解析】（1）如圖a所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy如圖b所示，畫出對應(yīng)的x軸，y軸，使xOy45（2）在圖a中，過D點作DEx軸，垂足為E在x軸上取ABAB4 cm，AEAE2.598 cm；過點E作EDy軸，使，再過點D作DCx軸，且使DCDC2 cm（3）連接AD、BC，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線，如圖c所示，則四邊形ABCD就是所求作的直觀圖【總結(jié)升華】斜二測畫法的作圖技巧：1在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都

43、行，但實際作圖時，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸，以線段的中點或圖形的對稱點為原點；2在原圖中平行于軸和軸的線段在直觀圖中仍然平行于軸和軸，原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線，畫端點時利用與坐標(biāo)軸平行的線段；3畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要再畫一條與平面垂直的軸，平行于軸的線段長度保持不變舉一反三：【變式1】已知正角形ABC的邊長為a，那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為（ ）A B C D【答案】D【解析】先根據(jù)題意，畫出直觀圖，然后根據(jù)直觀圖ABC的邊長及夾角求解 如上圖（1）、（2）所示的實際圖形和直觀圖由圖（2）可知，AB=

44、AB=a，在圖（2）中作CDAB于D，則【總結(jié)升華】求直觀圖的面積的關(guān)鍵是依據(jù)斜二測畫法，求出相應(yīng)的直觀圖的底邊和高，也就是原來實際圖形中的高線在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45角且長度為原來的一半的線段，以此為依據(jù)求出相應(yīng)的高線即可反過來，由一個平面圖形的直觀圖來確定原平面圖形的面積，也是依據(jù)這個規(guī)則來確定的例6（2016春 福建漳州月考）已知某幾何體的三視圖如圖，畫出該幾何體的直觀圖【思路點撥】這是底面邊長為4，高為2的同底的正四棱柱與四棱錐的組合體，可得該幾何體的直觀圖；【解析】幾何體的直觀圖如圖【鞏固練習(xí)】1下列實例中，不是中心投影的是（ ）A工程圖紙 B小孔成像 C相片 D人的視覺2下列

45、種說法：相等的角在直觀圖中對應(yīng)的角仍然相等；相等的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍然相等；平行的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍然平行；線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點其中，說法正確的有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個3一個幾何體的某一方向的視圖是圓，則它不可能是( ).A球體 B圓錐 C圓柱 D長方體4一個建筑物的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如下圖所示，則組成這個建筑物的組合體是（ ） A圓柱和圓錐 B立方體和圓錐 C正四棱柱和圓錐 D正方形和圓5觀察下圖所示幾何體，其中判斷正確的是()A是棱臺 B是圓臺C是棱錐 D不是棱柱6一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖分別如下圖

46、所示，則該幾何體的俯視圖為7平行投影與中心投影之間的區(qū)別是_8水平放置的ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知AC3，BC2，則AB邊上的中線的實際長度為_9（2016 大慶模擬）某幾何體是由大小相同的正方體木塊堆成的，其正視圖、側(cè)視圖均如圖所示，則此幾何體最少由_塊木塊堆成10用斜二測畫法作出兩邊邊長分別為3cm和4cm的矩形的直觀圖11已知正三角形ABC的邊長為a，求ABC的直觀圖ABC的面積12（2016 安吉縣月考）（1）用斜二測畫法作出邊長為3 cm、高4 cm的矩形的直觀圖；（2）畫出正四棱錐的三視圖【答案與解析】1【答案】A 【解析】由中心投影的特點可知，B、C、D均是中心投影2【答

47、案】B 【解析】由直觀圖的畫法可知、正確3【答案】D 【解析】4【答案】C 【解析】 由三視圖可知，組合體上部分是圓錐，下部分為正四棱柱5【答案】C6【答案】C 【解析】 正視圖中小長方形在左上方，對應(yīng)俯視圖應(yīng)該在左側(cè)，排除B、D，側(cè)視圖中小長方形在右上方，對應(yīng)俯視圖應(yīng)該在下方，排除A，故選C7【答案】平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點8【答案】2.5【解析】由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且ACAC3，BC2BC4，計算得AB5，所求中線長為2.59【答案】5【解析】由三視圖可知這幾個正方體木塊有三層，底層至少有3個小正方體，第2層和第3層至少有一個小正方體，所以該幾

48、何至少共有3+1+1=5塊正方體，故答案為：510【解析】采用斜二測畫法，即在已知圖形所在的空間中取水平平面，作軸、軸，使，然后依據(jù)平行投影的有關(guān)性質(zhì)逐一作圖（如右圖）（1）在已知ABCD中取AB，AD所在邊為x軸與y軸，相交于點O（O與A重合），畫對應(yīng)的x軸、y軸，使xOy=45 （2）在x軸上取A，B，使AB=AB=4，在y軸上取D，使AD=AD=，過D作DC平行x的直線，且等于AB長 （3）連CB，所得四邊形ABCD就是矩形ABCD的直觀圖 11【答案】【解析】先畫出正三角形ABC，然后再畫出它的水平放置的直觀圖，如圖所示由斜二測畫法規(guī)則知BCa，OA過A引AMx軸，垂足為M，則AMOA

49、sin 45SABCBCAM12【解析】（1）在已知ABCD中取AB、AD所在邊為X軸與Y輛，相交于O點（O與A重合），畫對應(yīng)X軸，Y軸使XOY=45在X軸上取A，B使AB=AB，在Y軸上取D，使，對D作DC平行X的直線，且等于AD長連CB所得四邊形ABCD就是矩形ABCD的直觀圖（2）正四棱錐的正視圖與側(cè)視圖是相同的等腰三角形，俯視圖輪廓是正方形，含有對角線，如圖：空間幾何體的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法；2.能運用公式求解柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；3.了解球的表面積和體積公式推導(dǎo)的基本思想，掌

50、握球的表面積和體積的計算公式，并會求球的表面積和體積；4.會用柱、錐、臺體和球的表面積和體積公式求簡單幾何體的表面積和體積.【要點梳理】【空間幾何體的表面積和體積395219 空間幾何體的表面積】要點一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積 棱柱、棱錐、棱臺是多面體，它們的各個面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個面的面積之和。計算時要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個面的面積再求和。棱柱、棱錐、棱臺底面與側(cè)面的形狀如下表：項目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底高棱錐平面多邊形三角形面積=底高棱臺平面多邊形梯形面積=（上底+下底）高要點詮釋：求多面體的表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形

51、，利用平面圖形求多面體的表面積要點二、圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱、圓錐、圓臺是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積1圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個矩形的長等于圓柱底面周長C=2r，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2r （2）圓柱的表面：2圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個扇形的弧長等于圓錐底面周長C=r，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為，由此可得它的側(cè)面積

52、是（2）圓錐的表面積：S圓錐表=r2+r 3圓臺的表面積（1）圓臺的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)如果圓臺的上、下底面半徑分別為r、r，母線長為，那么這個扇環(huán)的面積為(r+r)，即圓臺的側(cè)面積為S圓臺側(cè)=(r+r)（2）圓臺的表面積：要點詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系4圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系如下圖所示 【空間幾何體的表面積和體積395219 空間幾何體的體積】要點三、柱體、錐體、臺體的體積1柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面

53、積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=r2h綜上，柱體的體積公式為V=Sh2錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用r2表示S，則綜上，錐體的體積公式為3臺體的體積公式棱臺的體積：如果棱臺的上、下底面的面積分別為S、S，高是h，那么它的體積是圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是r、r，高是h，那么它的體積是綜上，臺體的體積公式為4柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系如下圖所示 【空間幾何體的表面積和體積395219 球的體積與

54、表面積】要點四、球的表面積和體積1球的表面積（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式 S球=4R2即球面面積等于它的大圓面積的四倍2球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)球的體積公式為要點五、側(cè)面積與體積的計算1多面體的側(cè)面積與體積的計算在掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺側(cè)面積公式及其推導(dǎo)過程的基礎(chǔ)上，對于一些較簡單的幾何組合體的表面積與體積，能夠?qū)⑵浞纸獬芍?、錐、臺、球，再進(jìn)一步分解為平面圖形（正多邊形、三角形、梯形等），以求得其表面積與體積要注意對各幾何體相重疊部分的面積的處理，并要注意一些性質(zhì)的靈活運用（1）

55、棱錐平行于底的截面的性質(zhì)：在棱錐與平行于底的截面所構(gòu)成的小棱錐中，有如下比例關(guān)系：對應(yīng)線段（如高、斜高、底面邊長等）的平方之比要點詮釋：這個比例關(guān)系很重要，在求錐體的側(cè)面積、底面積比時，會大大簡化計算過程在求臺體的側(cè)面積、底面積比時，將臺體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個關(guān)系式（2）有關(guān)棱柱直截面的補(bǔ)充知識在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及與底面平行的截面棱柱的側(cè)面積與直截面周長有如下關(guān)系式：S棱柱側(cè)=C直截（其中C直截、分別為棱柱的直截面周長與側(cè)棱長），V棱柱=S直截（其中S直截、分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長）2旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積的計算（1）圓柱、圓錐、圓

56、臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形式及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵（2）計算柱體、錐體和臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運用多面體的有關(guān)問題的關(guān)鍵【典型例題】類型一、簡單幾何體的表面積例1已知正四棱錐底面正方形的邊長為4 cm，高與斜高的夾角為30，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積【思路點撥】利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解，然后代入公式?！敬鸢浮?2 cm2 48cm2【解析】如圖，正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成RtPOEOE=2 cm，OPE=30，因此，S表面

57、積=S側(cè)+S底=32+16=48（cm2）【總結(jié)升華】 求正棱錐的側(cè)面積的關(guān)鍵是求側(cè)面等腰三角形的高（稱為斜高），這就需要充分利用棱錐的高、邊心距（底面中心到各邊的距離）和斜高所構(gòu)成的直角三角形來求解舉一反三：【空間幾何體的表面積和體積395219 例1】【變式1】已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積。 【答案】【變式2】 圓錐的母線長擴(kuò)大到原來的倍，底面半徑縮小為原來的，那么它的側(cè)面積變?yōu)樵瓉淼模?）A1倍 B倍 C倍 D倍 【答案】A例2圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比【思路點撥】一般要畫出其軸截

58、面來分析，利用相似三角形求解。【答案】【解析】如右圖為其軸截面圖，設(shè)圓柱、圓錐的底面半徑分別是r、R，圓錐的母線長為則有，即，R=2r，,令圓柱和圓錐的表面積分別為S1和S2【總結(jié)升華】這是一個圓錐和圓柱的組合體這種切接問題一般要畫出其軸截面來分析，利用相似三角形求各元素之間的關(guān)系，再利用相應(yīng)表面積公式計算例3一個直角梯形的上底、下底、高的比為，求由它旋轉(zhuǎn)而成的圓臺的上底面積，下底面積和側(cè)面積的比【答案】146【解析】如右圖，設(shè)上、下底和高分別為x、2x、，則母線， S上底=x2，S下底=(2x)2=4x2，S側(cè)=(x+2x)2x=6x2圓臺的上、下底面積及側(cè)面積之比為146【總結(jié)升華】解題的

59、關(guān)鍵是利用軸截面是等腰梯形，進(jìn)而化為直角梯形、直角三角形，從而將上、下底半徑、高、母線等集中在一個直角三角形中研究舉一反三：【變式1】圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側(cè)面展開扇環(huán)的圓心角是180，那么圓臺的表面積是多少？（結(jié)果中保留） 【答案】1100【變式2】 鄰邊長為a，b的平行四邊形，且ab，分別以a，b兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)這個平行四邊形，所得幾何體的表面積分別為S1，S2，則有（ ）AS1S2 BS1S2 CS1S2 DS1S2 【答案】A類型二、簡單幾何體的體積例4（2016 南通模擬）如圖，在長方體中，已知AD=1，AB=2，點E是AB的中點 求三棱錐的體積【

60、思路點撥】（1）；【答案】【解析】由長方體性質(zhì)可得，平面DEC，所以是三棱錐的高，三棱錐的體積【總結(jié)升華】求幾何體的體積或表面積時，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求解此類題目是新課標(biāo)高考的熱點，應(yīng)引起重視舉一反三：【變式1】（1）各棱長都為1的正四棱錐的體積V=_（2）如右圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱A1B1上，動點P，Q分別在棱AD，CD上若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積（ ）A與x，y，z都有關(guān)B與x有關(guān)，與y，z無關(guān)C與y有關(guān)，與x，z無關(guān)D與z有關(guān)，與x，y無關(guān)【答案】（1）；（2）