必修二立體幾何較難題匯總

1、1四面體ABCD四個面的重心分別為E、F、G、H,則四面體EFGH的表面積與四面體ABCD的表面積的比值是（A）丄B）丄2716如圖，連接AF、AG并延長與BC、CD相交于M、N，由于F、G分別是三角形的重心，所以M、N分別是BC、CD的中點，且AF:AM=AG:AN=2:3，所以FG:MN=2:3，又MN:BD=1:2，所以FG:BD=1:3，即兩個四面體的相似比是1:3，所以兩個四面體的表面積的比是1：9；故選C.如圖，平面a平面B平面Y，兩條直線I，m分別與平面a,B，y相交于點A，B，C和點D，E,F.已知AC=15cm，DE=5cm,AB:BC=1:3，求AB，BC,EF的長設(shè)平面a

2、|B,A、CWa,B、Deg直線AB與CD交于S,若AS=18,BS=9,CD=34,則CS二？68/3或68與空間四邊形ABCD四個頂點距離相等的平面共有多少個？七個你可以把它想象成一個三棱錐四個頂點各對應(yīng)一個有四個，兩條相對棱對應(yīng)一個共三組相對棱因此有三個總共有七個如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,ABllDCPAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4少P(1)設(shè)M是PC上的一點，證明：平面MBD丄平面PAD;(2)求四棱錐P-ABCD的體積解：(1)證明：在A5中，由于皿=4,皿=呂，朋=4怎,所以ADBD2=AB2故AD丄BD又平面丄平面CD，平面

3、門平面AB(JDA.D,匸平面,所以占口丄平面月口匚,又月Du平面倔D,故平面倔門丄平面曲D（2）過尸作P0丄血交丘于O,由于平面刃D丄平面曲CD,所以尸丄平面MUD因此尸。為四棱錐戶-血血的高，又噸是邊長為4的等邊三角形TO=x4=2/3因此在底面四邊形曲CD中，朋#DC，AE=2DC，所以四邊形叢UD是梯形，4如85在RtAADE中，斜邊占邊上的高為4擊此即為梯形也的高，所以四邊形也的面積為（2008福建）（6）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為.(15)如圖，二面角Q-1卩的大小是60，線段ABua.Bel,A

4、B與1所成的角為30則AB與平面0所成的角的正弦值是呂19(本小題滿分12分)1如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1AA證明：DC丄BC；求二面角A1-BD-C1的大小?！窘馕觥?1)在RtADAC中，AD=AC，得：ZADC=45。，同理：ZADC=45nZCDC=90。，111得：DC丄DC。1乂DC】丄BD，DCBD=D，所以DC丄平面BCD。1而BCu平面BCD，所以DC丄BC。12）解法一：（幾何法）由DC丄BC,CC丄BCnBC丄面ACCA111nBC丄AC。取AB的中點O，連接CO，OD。1因為AC=BC，所以CO丄AB，1111111從而CO丄BD，1因為面AB

5、C丄面ABD，所以CO丄面ABD,111又DC丄BD,所以BD丄面DCO，因為ODu平面DCO，所以BD丄OD。111由BD丄OD，BD丄DC.，所以ZCDO為二面角ABD-C.的平面角。1111設(shè)AA=2a，AC=BC=a，則CO=，CD=y2a，1121在直角COD，CO丄OD，CO=1CD,11121所以ZC1DO=30。因此二面角A1-BD-C1的大小為30。(2007)2、(北京市西城區(qū)2012年4月高三抽樣測試)下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB/平面MNP的圖形的序號是()3、(吉林省吉林市2012屆上期末)三棱錐PABC的

6、高PO=8,AC=BC=3,ZACB=30,M、N分別在BC和PO上，且CM=x,PN=2CM，試問下面的四個圖像中哪個圖像大致描繪了三棱錐NAMC的體積V與x的變化關(guān)系(x(0,3)()ABCD答案：AABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點，在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:APGH.平面a過正方形ABCD-ABCD的三個頂點B,D,A,a與底面ABCD的交線為L,111111111則L與BD的位置關(guān)系？11如圖，正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE,BD上各有一點P,Q，且AP=DQ。求證：PQ面BCEC4下列各圖是正方

7、體或正四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則四個點不共面的一個圖是（）.ABCD空間三條直線其中一條和其他兩條都相交那這三條直線中的兩條能確定的平面?zhèn)€數(shù)是多少1、若三條直線只有一個交點，則可以確定一個或三個平面；2、若這三條直線有兩個不同的交點，則可以確定一個或三個平面。3、若這三條直線有三個不同的交點，則可確定以一個平面。答案：一個或三個線面平行的判定定理證明線面平行的判定定理是：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行。線面平行的定義是：若直線與平面沒有公共點，則稱此直線與該平面平行。證明：設(shè)直線all直線b，a不在平面a內(nèi)，b在平面a內(nèi)。用反證法證明al

8、ia。假設(shè)直線a與平面a不平行，則由于a不在平面a內(nèi)，有a與a相交，設(shè)aQa=A。則點A不在直線b上，否則aAb=A與alb矛盾。過點A在平面a內(nèi)作直線clb，由alb得ale。而Aa，且Ac，即aAe=A，這與ale相矛盾。于是假設(shè)錯誤，故原命題正確。（反證法）DCC1例題2從正方體的棱和各個面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在直線都是異面直線，求k的最大值.解答考察如圖所示的正方體上的四條線段AC，BC1，D1B1，A1D，它們所在直線兩兩都是異面直線.又若有5條或5條以上兩兩異面的直線,則它們的端點相異且個數(shù)不少于10,與正方體只有8個頂點矛盾故K的最大值是4.練習(xí)1在正方體

9、的8個頂點、12條棱的中點、6個面的中心及正方體的中心共計27個點中，問共線的三點組的個數(shù)是多少解答兩端點都為頂點的共線三點組共有耳=28個；兩端點都為面的中心共線2三點組共有=3個；兩端點都為各棱中點的共線三點組共有=18個，且22沒有別的類型的共線三點組，所以總共有28+3+18二49個.例題3在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A上存在一點P使得AP+D/最短，求AP+D1P的最小值解答將等腰直角三角形AA.B沿A.B折起至AAB，使三角形AAB與四邊形1111ABCD,共面，聯(lián)結(jié)AD，則AD的長即為AP+DP的最小值，所以，11111AD=、：12+12一2x1x1xcos

10、135o=*21練習(xí)3已知單位正方體ABCD-A1B1C1D1的對棱BB1、D1上有兩個動點E、F，BE=D1F=X（0X丄）.設(shè)EF與AB所成的角為a，與BC所成的角為0，求a+卩2的最小值1兀解答當(dāng)X=丄時，a+0=-.不難證明a+0=f（九）是單調(diào)減函數(shù).因此a+卩的22最小值為-2例十七、（2000年全國聯(lián)賽一試）一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是分析：由正四面體的圖象的對稱性可知，內(nèi)切球的球心必為正四面體的中心，球與各棱相切，其切點必為各棱中點，考查三組對棱中點的連線交于一點，即為內(nèi)切球的球心，所以每組對棱間的距離即為內(nèi)切球的直徑，于是有：2r=2

11、a24V=一兀3P3邁=兀a3練習(xí)：同樣可用體積法求出棱長為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑分析可知，正四面體的內(nèi)切球與外接球球心相同，將球心與正四面體的個頂點相連，24可將正四面體劃分為四個全等的正三棱錐，于是可知內(nèi)切球的半徑即為正四面體高度的四分之一，外接球半徑即為高度的四分之三故只要求出正四面體的高度即可.，所以，R二乎ar-告a例二十三、（1991年全國聯(lián)賽一試）設(shè)正三棱錐PABC的高為PO，M為P0的中點，過AM作與棱BC平行的平面，將三棱錐截為上、下兩個部分，試求此兩部分的體積比.分析：取BC的中點D，連接PD交AM于G，設(shè)所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由直線與平面平

12、行的性質(zhì)定理得：EFIIBC,連接AE,AF,則平面AEF為合乎要求的截面.作OHIIPG,交AG于點H,則：OH=PGBCPDPG+GDAGDAGDAAD5=1+=1+=1+=；EFPGPGPGOHAO2故:VsA-PEFAPEF=VsA-PBCAPBC(EF4IBC4.于是:V=；于疋：一A_PEF=25V21A-EFBC例5已知正三棱錐SABC的高SO=3,底面邊長為6過點A向它所對的側(cè)面S/3C作垂線，垂足為O=y-4D=4,HLL設(shè)過點P且平行于底面的截面與SD的交點為o*4則=尋%=普*即口Str=SD-OD=-|73,J=4-故所求截面的面積為-g號AAHC=J3+8、如果空間三

13、條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有(1997,全國高中聯(lián)賽)(A)0條(B)1條(C)多于1的有限條(D)無窮多條朽0=/3心尸y322V3.解：在a、b、c上取三條線段AB、CC.AD,作一個平行六面體ABCDAFCD,在c上取線段ADf上一點P,過a、P作一個平面，與DD交于Q、與CC交于R則QRa,于是PR不與a平行，但PR與a共面.故PR與a相交.由于可以取無窮多個點P.故選D.設(shè)四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形，用平面去截此四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面（）（A）不存在（B）只有1個（C）恰有4個（D）有無數(shù)多個例一、（1991年全

14、國聯(lián)賽一試）由一個正方體的三個頂點所能構(gòu)成的正三角形的個數(shù)為（A）4；（B）8；（C）12；（D）24分析：一個正方體一共有8個頂點，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，構(gòu)成正三角形的邊必須是正方體的面對角線考慮正方體的12條面對角線，從中任取一條可與其他面對角線構(gòu)成兩個等邊三角形，即每一條邊要在構(gòu)成的等邊三角形中出現(xiàn)兩次，故所有邊共出現(xiàn)2Ci二24次，而每一個三角形由三邊構(gòu)成，故一共可構(gòu)成12的等邊三角形個數(shù)為24=8個.3例1在桌面上放著四個兩兩相切、半徑均為r的球，試確定其頂端離桌面的高度；并求夾在這四個球所組成圖形空隙中與四個球均相切的小球的半徑3分析如圖1,可將四個球的球心提煉出一個正四面體，

15、其棱長恰為兩球半徑之和，即為2廠，因此，只要求出這個正四面體的高，再加上上、下兩個半徑，即得所求的高度.而所求的小球半徑應(yīng)是正四面體的外接球半徑與r的差.解如圖2,設(shè)四個球的球心分別為01,0?9。3,a,則5Q構(gòu)成棱長為”為正四面體-設(shè)E,6G分別為0,0.0,圖$與厶OQQ的中心，QE與OiG相交于F,0zG與QE相交于刃，則H也是此正四面體的中心.尸=寺0疥=孚廠,0屮=孕2廠=Z3r,由勾股定理可得：O、E=Jo、F2EF?2Z6故頂端離桌面的髙度為（迸衛(wèi)+2）匕由GF=y0F-ysiaZG02F13，從而0円=3HEQ心=0申十HG二電HE、而0=OjE2尸；HE=r,0jH=從而夾

16、在這四個球所組成圖形空療中與四個球均相切的小球的半徑為（年一1）匕說明（1）本例能夠解決的關(guān)鍵是將四個球的球心提煉出了一個正四面體，從而我們可以將有關(guān)計算轉(zhuǎn)移到該正四面體內(nèi)逬行.（2）正四面體的外接球半徑是內(nèi)切球半輕的3倍，它們分別是高的四分之三與四分之一.（2012重慶）9設(shè)四面體的六條棱的長分別為2和a，且長為a的棱與長為、的棱異面，則a的取值范圍是（A）.（0,2）b.（o/3）c.（1,2）d.（i,叮3）（2010全國）（6）直三棱柱ABC-ABC中，若ZBAC二90。，AB二AC二AA，1111則異面直線BA與AC所成的角等于（C）11（A）30（B）45（C）60（D）90.C【

17、命題意圖】本小題主要考查直三棱柱ABC-ABC的性質(zhì)、異面直線所成111的角、異面直線所成的角的求法.【解析】延長CA到D,使得AD二AC，則ADAC為平行四邊形，ZDAB就是111異面直線BA與AC所成的角，又三角形ADB為等邊三角形,:上DAB=60。1111過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線a,使a與棱AB,AD,AA1所在直線所成的角都相等，這樣的直線a可以作（D）A）1條B）2條C）3條D）4條（2010重慶）（9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點（D）（A）只有1個（B）恰有3個（C）恰有4個（D）有無窮多個11如圖，M是正方體ABCD-ABCD的棱DD的中點，給出下列命題11111過M點有且只有一條直線與直線AB、BC都相交;11過M點有且只有一條直線與直線AB、BC都垂直;11過M點有且只有一個平面與直線AB、BC都相交;11過M點有且只有一個平面與直線AB、BC都平行.11其中真命題是：A.BCD.3、如圖：在正方體ABCD-ABCD中，E