新人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)知識(shí)梳理及練習(xí)（提高版）（家教補(bǔ)習(xí)復(fù)習(xí)專用）

1、新人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)及鞏固練習(xí)題 二次根式（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由.2、理解并掌握下列結(jié)論：，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次根式及代數(shù)式的概念1.二次根式：一般地，我們把形如(a0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)要點(diǎn)詮釋：二次根式的兩個(gè)要素：根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).2.代數(shù)式：形如5，a，a+b，ab，x3，這些式子，用基本的運(yùn)算符號(hào)(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式.要點(diǎn)二、二次根式的性質(zhì)1、；2.；3. 要點(diǎn)詮釋：1.二次根式(a0)的值

2、是非負(fù)數(shù)。一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，即.2.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：1）的取值范圍不同，中0，中為任意值.2）0時(shí)，=；1; 選項(xiàng)C: 8的立方根是2；選項(xiàng)D:因?yàn)殛P(guān)于x軸對(duì)稱，所以，及,所以選D. 4【答案】B.【解析】當(dāng)1a2時(shí)，a20，1a0，+|1a|=2a+a1=1故選：B5【答案】D.【解析】 因?yàn)?，即.6【答案】B. 二、填空題7.【答案】3【解析】=4，是正整數(shù)，3n是一個(gè)完全平方數(shù)n的最小整數(shù)值為3 8.【答案】m0；.9.【答案】.【解析】 即 ，即原式=.10.【答案】3【解析】因?yàn)樵?.11【答案】 12.【答案】3.【解析】由數(shù)軸可得：a50，a20，則

3、+|a2|=5a+a2=3故答案為：3三、解答題13.【解析】因?yàn)?，所?x-10,1-2x0，即x=，y=， 則.14.【解析】 因?yàn)椋栽? =. 15.【解析】解：（1）y=+8x，2x1=0，解得x=，y=4，=4，4的平方根是2故的平方根是2（2）4x1，2=|x+4|2|x1|=x+4+2（x1）=x+4+2x2=3x+2二次根式的乘除法知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握二次根式的乘除法則和化簡(jiǎn)二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根1。乘法法則：（0，0）,即兩

4、個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.要點(diǎn)詮釋： (1)在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中， 如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)). (2)該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：;0，0，.0）; (3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如.2.積的算術(shù)平方根（0，0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.要點(diǎn)詮釋： (1)在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足0，0,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，如果不滿足這個(gè)條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了； (2)二次根

5、式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號(hào)外面.知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根1.除法法則：（0，0）,即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.要點(diǎn)詮釋：(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，0，0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡(jiǎn)，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)（0，0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.要點(diǎn)詮釋：運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問題.知識(shí)點(diǎn)三、最簡(jiǎn)二次根式

6、 （1）被開方數(shù)不含有分母； （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式. 滿足這兩個(gè)條件的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式主要有以下兩種情況：（1) 被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.【典型例題】類型一、二次根式的乘除【二次根式及其乘除法（下）例9 （2），（3）】1. 計(jì)算：（1）（2014秋閔行區(qū)校級(jí)期中）（2） （2）（2014春高安市期中）【答案與解析】解：（1）（2）=（2）=(2)原式=【總結(jié)升華】根據(jù)二次根式的乘除法則靈活運(yùn)算，注意最終結(jié)果要化簡(jiǎn).舉一反三：【二次根式及其乘除法（下）例9 （4）】【變式】【答案】原式=2.計(jì)算(1)(

7、-)(m0，n0)； (2)-3() (a0).【思路點(diǎn)撥】復(fù)雜的二次根式計(jì)算，要注意在化簡(jiǎn)過程中運(yùn)用冪的乘除運(yùn)算和因式分解運(yùn)算.【答案與解析】(1)原式=-=-=-；(2)原式=-2=-2=-a.【總結(jié)升華】熟練乘除運(yùn)算，更要加強(qiáng)運(yùn)算準(zhǔn)確的訓(xùn)練.舉一反三：【變式】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值【答案】由題意得，即6x9，x為偶數(shù)，x=8原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=6類型二、最簡(jiǎn)二次根式3.已知00;若0,所以，所以=12【答案】【解析】 =三、解答題. 13.【解析】因?yàn)?，所?x-30,3-2x0，即x=，y= 則=.14.【解析】因?yàn)椋?所以

8、=.15.【解析】解：（1）=；故答案為：；（2）原式=（1）+（）+（）+（）（+1）=（1）（+1）=（）212=20161=2015二次根式的加減-知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會(huì)合并同類二次根式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式加減運(yùn)算；2、會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同類二次根式1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；(2)幾個(gè)二次根式是否是同

9、類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無關(guān).2.合并同類二次根式合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)要點(diǎn)詮釋：(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.要點(diǎn)二、二次根式的加減1.二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)行合并.對(duì)于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.要點(diǎn)詮釋：（1）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添括號(hào)法則仍然適用. （2）二次根式加減運(yùn)算的步

10、驟：1)將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式；2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；3)合并同類二次根式.要點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.要點(diǎn)詮釋：(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡(jiǎn)形式. 【典型例題】類型一、同類二次根式1. （2016春壽光市期末）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a= 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同類二次根式的定義列出方程求

11、解即可【答案】1【解析】解：最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，4a2+1=6a21，a2=1，解得a=1【總結(jié)升華】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式舉一反三:【變式】（2014春射陽縣校級(jí)期末）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則a=【答案】1.提示：最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，4a2+1=6a21，a2=1，解得a=1類型二、二次根式的加減運(yùn)算【高清ID號(hào)： 388064關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題2.（1）-（2）】2.計(jì)算：（1） 【答案與解析】 = = =0【總結(jié)升華】一定要注意二次根式的加減要做到先化簡(jiǎn)，再合并

12、.舉一反三:【變式】計(jì)算 .【答案】 類型三、二次根式的混合運(yùn)算3.（2015蘇州模擬）計(jì)算：【思路點(diǎn)撥】二次根式的混合運(yùn)算最好是先將每個(gè)因式化簡(jiǎn)，再合并.【答案與解析】解：原式=+2=4+2=4+【總結(jié)升華】先進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算舉一反三: 【高清ID號(hào)： 388064關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：二次根式的混合運(yùn)算】 【變式】【答案】原式= = =4.計(jì)算：已知求的值.【答案與解析】 又因?yàn)樗?，即即原? 【總結(jié)升華】數(shù)學(xué)運(yùn)算包含著很多技巧性的東西，技巧運(yùn)用得好計(jì)算就會(huì)很簡(jiǎn)便.二次根式的加減-鞏固練習(xí)（提高）一.選擇題 1.

13、（2016欽州）下列運(yùn)算正確的是（）Aa+a=2aBa6a3=a2C+=D（ab）2=a2b2 2. 與不是同類二次根式的是（ ）A. B. C. D. 3.（2015春平南縣校級(jí)月考）若，則x的值等于（）A. 4 B. C. 2 D. 4. 下列各式中運(yùn)算正確的是（ ）A. B.C. D.5.的運(yùn)算結(jié)果是（ ）A 0 B. C. D. 6. 等腰三角形兩邊分別為和，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（ ）A. B. C.或 D.二. 填空題7.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則.8.與無法合并，這種說法是_的（填“正確”或“錯(cuò)誤”）.9.設(shè)則的值是_10. （2016哈爾濱）計(jì)算2的結(jié)果是 11. 長(zhǎng)方

14、形的寬為，面積為，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)約為_（精確到0.1）.12.已知x，則的值等于_.三 綜合題13.計(jì)算：14.（2014春無錫期末）若x，y為實(shí)數(shù)，且y=+求的值 15已知的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為求的值.【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A.【解析】A、a+a=（1+1）a=2a，故本選項(xiàng)正確；B、a6a3=a63a2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、+=2+=3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、（ab）2=a2+2ab+b2a2b2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤2【答案】A3【答案】C【解析】先化簡(jiǎn)再解方程，原式=，即，.故選C4【答案】A 5.【答案】B【解析】注意運(yùn)算技巧。原式=6【答案】B 【解析】注意:分類討論腰分別是和兩種

15、情況,但是當(dāng)腰為時(shí)，所以這種情況不存在，只有腰為一種情況，即.二、填空題7.【答案】1；1【解析】，所以 8.【答案】錯(cuò)誤9.【答案】10.【答案】2【解析】原式=23=3=2. 11.【答案】 2.8【解析】長(zhǎng)= 12.【答案】4【解析】化簡(jiǎn)x，得， ，代入原式=4三.解答題13.【解析】 = = = =14.【解析】解：由二次根式的有意義，得，解得x=，故y=，原式=15.【解析】因?yàn)榈恼麛?shù)部分為，小數(shù)部分為 所以， 原式=,代入后原式= 二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2、熟練掌握二次根式的加、減、乘、除

16、運(yùn)算，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算.3、了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.要點(diǎn)詮釋：（1） 一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即（），如（）.（2） 中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）與的異同不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非

17、負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.3. 最簡(jiǎn)二次根式1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如等都是最簡(jiǎn)二次根式.要點(diǎn)詮釋：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式 幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式. 要點(diǎn)詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的運(yùn)算1. 乘除法（1）乘除法法則：類型

18、法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如. （2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.2.加減法 將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、二次根式的概念與性質(zhì)1 x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ (1)； (2).【答案】（1）; （2）.【

19、解析】(1) 要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則必有 當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義；(2) 要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則必有 當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義；【總結(jié)升華】本例考查了二次根式成立的條件，要牢記，只有時(shí)才是二次根式.舉一反三：【變式】已知，求的值.【答案】根據(jù)二次根式的意義有 將代入已知等式得2.（2016柘城縣校級(jí)一模）把 中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是( ).A B C D 【答案】A. 【解析】由二次根式的意義知 ，則 .【總結(jié)升華】在利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)時(shí)，要注意其符號(hào)，要明確是非負(fù)數(shù)，反過來將根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)時(shí)，也必須向里移非負(fù)數(shù)。舉一反三：【變式】（2014春團(tuán)風(fēng)縣校級(jí)期中）已知x

20、為奇數(shù)，且=，求【答案】解：=，6x9，x為奇數(shù)，x=7，則=8=123. 實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖：化簡(jiǎn).【答案與解析】由數(shù)軸可知并且=【總結(jié)升華】本題不僅考查了二次根式和絕對(duì)值的化簡(jiǎn)問題，同時(shí)考查了學(xué)生的觀察能力.通過觀察確定的大小關(guān)系是本題的關(guān)鍵.【二次根式 高清ID號(hào)：388065關(guān)聯(lián)的位置名稱：填空題5】舉一反三：【變式】ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，則= .【答案】.類型二、二次根式的運(yùn)算4（2015昆山市一模）計(jì)算（1）（2）【答案與解析】解：（1）原式=21+3=4；（2）原式=232=3【總結(jié)升華】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)以及乘法計(jì)算 公式是解決問

21、題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】計(jì)算【答案】5.已知a、b、c為ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)【答案與解析】a、b、c為ABC的三邊長(zhǎng)， 原式 【總結(jié)升華】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊和進(jìn)行化簡(jiǎn).6.若，化簡(jiǎn).【答案與解析】【總結(jié)升華】把分子分母分別分解因式，然后約分，可以簡(jiǎn)化化簡(jiǎn)步驟.舉一反三：【變式】當(dāng).【答案】，將代入，原式=3.二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固-鞏固練習(xí)（提高）一、選擇題1是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（ ）A. B. C. D. 2（2016楊浦區(qū)三模）如果，那么 ( ).A B C D3已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）.A4 B. 5 C. 6 D. 74若x0，則的結(jié)果

22、是( ). A0 B-2 C0或-2 D2 5的值是( ). A-7B-5 C3 D7 6（2015寧夏）下列計(jì)算正確的是（）A.B.=2C.（）1=D.（1）2=27小明的作業(yè)本上有以下四題： ；. 做錯(cuò)的題是( ).A B C D 8相比較，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ）.A. B. C. D. 二. 填空題9. 計(jì)算=_.10. 若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則_.11比較大小_；_.（用或填空）12. 已知最簡(jiǎn)根式是同類根式，則的值為_.13若m0，則=_.14.已知實(shí)數(shù)滿足，則=_.15已知數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則=_.16（2015黔西南州）已知x=，則x2+x+1= 三 綜合

23、題 17 計(jì)算：(1) (2) 18. 已知：，求的值.19（2016春張家港市期末）若都是實(shí)數(shù)，且，試求的值.20.（2014秋德惠市期末）某號(hào)臺(tái)風(fēng)的中心位于O地，臺(tái)風(fēng)中心以25千米/小時(shí)的速度向西北方向移動(dòng)，在半徑為240千米的范圍內(nèi)將受影響、城市A在O地正西方向與O地相距320千米處，試問A市是否會(huì)遭受此臺(tái)風(fēng)的影響？若受影響，將有多少小時(shí)？【答案與解析】一、選擇題1【答案】B. 2【答案】D.【解析】 ，所以,即.3【答案】C.【解析】由原式得： 所以，因?yàn)椋?所以.4【答案】D. 5【答案】D. 【解析】則，即.6【答案】B. 【解析】解：與不能合并，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、原式=2，所以

24、B選項(xiàng)正確；C、原式=，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、原式=32+1=42，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選B7【答案】D. 【解析】不是同類根式，不能加減.8.【答案】A. 【解析】因?yàn)椋?，?二、填空題9.【答案】.10.【答案】1. 【解析】.11【答案】 【解析】. 又，且12【答案】. 【解析】因?yàn)樽詈?jiǎn)根式是同類根式（注意沒說是同類二次根式），所以根指數(shù)與被開方數(shù)相同，即即.13【答案】-m.14【答案】2011.【解析】因?yàn)?，所?20110，即2011， 則原式可化簡(jiǎn)為： 即=2011.15【答案】0. 【解析】由圖像知：所以原式=0.16【答案】2【解析】解：x=，x2+x+1=（x+）2+1=（

25、+）2+=+=2故答案為：2 三.解答題17.【解析】 (1) 原式= =. (2) 原式 18.【解析】 原式.19.【解析】， ， 把代入，把，代入= .20.【解析】解：如圖，OA=320，AON=45，過A點(diǎn)作ON的垂線，垂足為H，以A為圓心，240為半徑畫弧交直線OH于M、N，在RtOAH中，AH=OAsin45=160240，故A市會(huì)受影響，在RtAHM中，MH=80MN=160，受影響的時(shí)間為：16025=6.4小時(shí)答：A市受影響，受影響時(shí)間為6.4小時(shí)勾股定理（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長(zhǎng)求出第三條邊長(zhǎng)

26、2. 掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題3. 熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題【要點(diǎn)梳理】【勾股定理 知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系. （2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的. （3）理解勾股定理的一些變式：， .要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1

27、）所示的正方形. 圖（1）中，所以. 方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形. 圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形. ，所以.要點(diǎn)三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3. 利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段.【典型例題】類型一、勾股定理的應(yīng)用1、如圖所示，在多邊形ABCD中，AB2，CD1，A45，BD90，求多邊形ABCD的面積【答案與解析】解：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E B90，A45 E45， ABBE2 ADC90， DCE45， CDDE1 ， 【總結(jié)升華】求不規(guī)則圖形的面積，關(guān)鍵是將

28、其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），轉(zhuǎn)化的方法主要是割補(bǔ)法，然后運(yùn)用勾股定理求出相應(yīng)的線段，解決面積問題舉一反三：【變式】（2015西城區(qū)模擬）已知：如圖，在ABC，BC=2，SABC=3，ABC=135，求AC、AB的長(zhǎng)【答案】解：如圖，過點(diǎn)A作ADBC交CB的延長(zhǎng)線于D，在ABC中，SABC=3，BC=2，AD=3，ABC=135，ABD=180135=45，AB=AD=3，BD=AD=3，在RtADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC=2、已知直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，周長(zhǎng)為，求此三角形的面積【思路點(diǎn)撥】欲求Rt的面積，只需求兩直角邊之積，而由已知得兩直角邊之和為

29、，結(jié)合勾股定理又得其平方和為4，于是可轉(zhuǎn)化為用方程求解【答案與解析】解：設(shè)這個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，則 即將兩邊平方，得 ，得，所以因此這個(gè)直角三角形的面積為【總結(jié)升華】此題通過設(shè)間接未知數(shù)，通過變形直接得出的值，而不需要分別求出 的值本題運(yùn)用了方程思想解決問題3、（2015春黔南州期末）長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求DE的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】在折疊的過程中，BE=DE從而設(shè)BE即可表示AE在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解【答案與解析】解：設(shè)DE=xcm，則BE=DE=x，AE=ABBE=10 x，ADE中

30、，DE2=AE2+AD2，即x2=（10 x）2+16x=（cm）答：DE的長(zhǎng)為cm.【總結(jié)升華】注意此類題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對(duì)應(yīng)線段相等類型二、利用勾股定理解決實(shí)際問題4、如圖所示，在一棵樹的10高的B處有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20處的池塘A處，另外一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離的直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？【思路點(diǎn)撥】其中一只猴子從BCA共走了(10+20)=30，另一只猴子從BDA也共走了30，并且樹垂直于地面，于是這個(gè)問題可化歸到直角三角形中利用勾股定理解決【答案與解析】解：設(shè)樹高CD為，則BD10，AD30(10)40，在RtACD中，解得：

31、15答：這棵樹高15【總結(jié)升華】本題利用距離相等用未知數(shù)來表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量關(guān)系列方程求解舉一反三：【變式】如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12，底面半徑等于3，在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如圖所示，由題意可得： ， 在RtAAB中，根據(jù)勾股定理得： 則AB15 所以需要爬行的最短路程是15【鞏固練習(xí)】一.選擇題1如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為，則的值是（ ） A B C D2（2015東莞模擬）如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10

32、，則S=（）A25 B31 C32 D403. 如圖所示，折疊矩形ABCD一邊，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB8，BC10，EC的長(zhǎng)為（ ）cmA3 B4 C5 D64如圖，長(zhǎng)方形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，若將矩形沿直線AD折疊，則頂點(diǎn)C恰好落在邊OB上E處，那么圖中陰影部分的面積為（ ）30 B32 C34 D16 5如圖，已知ABC中，ABC90,ABBC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線，上，且，之間的距離為2 , ，之間的距離為3 ,則AC的長(zhǎng)是（ ）A B C D76.在ABC中，AB15，AC13，高AD12則, ABC的周長(zhǎng)為（ ）A.42 B.32

33、C.42或32 D.37或33二.填空題7若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為12和5，則此三角形的第三邊長(zhǎng)為_8. 如圖，將長(zhǎng)8，寬4的長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，則折痕EF的長(zhǎng)為_.9.（2015黃岡）在ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC邊上的高為12cm，則ABC的面積為 cm210. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（0，8）以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_11. 已知長(zhǎng)方形ABCD，AB3，AD4，過對(duì)角線BD的中點(diǎn)O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)為_.12在直線上依次擺

34、著7個(gè)正方形(如圖)，已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個(gè)正方形的面積是則_ 三.解答題13.（2015春無棣縣期中）如圖所示，一架長(zhǎng)為2.5米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距離底0.7米，求梯子頂端離地多少米？如果梯子頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動(dòng)多少m？14. 現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如左下圖, 請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形要求： 在左下圖中用實(shí)線畫出分割線, 并在右下圖的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形.15. 將一副三角尺如圖拼接：含30角的三角尺（ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45角的

35、三角尺（ACD）的斜邊恰好重合已知AB2，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) （1）當(dāng)點(diǎn)P在ABC的平分線上時(shí)，求DP的長(zhǎng)； （2）當(dāng)點(diǎn)PDBC時(shí)，求此時(shí)PDA的度數(shù). 【答案與解析】一.選擇題1.【答案】A； 【解析】1所表示的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為，OA的距離為.2.【答案】B；【解析】解：如圖，由題意得：AB2=S1+S2=13，AC2=S3+S4=18，BC2=AB2+AC2=31，S=BC2=31，故選B3.【答案】A； 【解析】設(shè)CE，則DE(8)在RtABF中，由勾股定理，得BF6 FC1064()在RtEFC中，由勾股定理，得，即解得即EC的長(zhǎng)為34.【答案】A；【解析】由題意CDDE5，BE4，

36、設(shè)OE，AEAC，所以，陰影部分面積為.5.【答案】A；【解析】如圖，分別作CD交于點(diǎn)E，作AF，則可證AFBBDC，則AF3BD,BFCD235，DF538AE，在直角AEC中，勾股定理得AC.6. 【答案】C； 【解析】高在ABC內(nèi)部，第三邊長(zhǎng)為14；高在ABC外部，第三邊長(zhǎng)為4，故選C.二.填空題7. 【答案】13或；【解析】沒有指明這兩邊為直角邊，所以要分類討論，12也可能是斜邊.8. 【答案】；【解析】設(shè)AEEC，EB，則，解得，過E點(diǎn)作EHDC于H，EH4，F(xiàn)H532，EF.9. 【答案】126或66；【解析】解：當(dāng)B為銳角時(shí)（如圖1），在RtABD中，BD=5cm，在RtADC中

37、，CD=16cm，BC=21，SABC=2112=126cm2；當(dāng)B為鈍角時(shí)（如圖2），在RtABD中，BD=5cm，在RtADC中，CD=16cm，BC=CDBD=165=11cm，SABC=1112=66cm2，故答案為：126或6610.【答案】（4，0）；【解析】首先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AC的長(zhǎng)，因?yàn)镺C=AC-AO，所以O(shè)C求出，繼而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)11.【答案】；【解析】連接BE，設(shè)AE，BEDE，則，.12【答案】4； 【解析】，故.三.解答題13.【解析】解：由題意可得：AB=2.5m，AO=0.7m，故BO=2.4（m），梯子頂端沿墻下滑0.4m，DO=2m，CD

38、=2.5m，由勾股定理得CO=1.5m，AC=COAO=1.50.7=0.8（m）答：梯子底端將向左滑動(dòng)0.8m14.【解析】解：如圖所示：15.【解析】解：（1）連接DP，作DHAC，在RtABC中，AB2，CAB30，BC，AC.BP是ABC的角平分線，CBP30，CP.在RtADC中，DHAHHCAC，HP，DP.（2）當(dāng)PDBC1時(shí)，P點(diǎn)的位置可能有兩處，分別為， 在Rt中，所以30，304575；同理，453015. 所以PDA的度數(shù)為15或75.勾股定理的逆定理（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系2. 能

39、利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3. 能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【要點(diǎn)梳理】【勾股定理逆定理 知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則ABC是C=90的直角三角形；若，則ABC不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形

40、；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點(diǎn)三、互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.要點(diǎn)詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.要點(diǎn)四、勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形

41、.要點(diǎn)詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)； （2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)； （3） （是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；【典型例題】類型一、原命題與逆命題1、寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）同位角相等，兩直線平行；（2）如果，那么；（3）等腰三角形兩底角相等；（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等（5）對(duì)頂角相等（6）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等【思路點(diǎn)撥】寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將其交換位置，判斷一個(gè)命題為真命題要經(jīng)過證明，是假命題只需舉出反例說明即可【答案與解析】解：（1）逆命題是：兩直線平行，同位角相等，它是真命題（2）

42、逆命題是：如果，那么，它是假命題（3）逆命題是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，它是真命題（4）逆命題是：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，它是假命題（5）逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題（6）逆命題是：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上，它是真命題【總結(jié)升華】寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將題設(shè)和結(jié)論交換位置，寫出它的逆命題，可以借助“如果那么”分清題設(shè)和結(jié)論每一個(gè)命題都有逆命題，其中有真命題，也有假命題舉一反三：【變式】下列定理中，有逆定理的個(gè)數(shù)是（ ）有兩邊相等的三角形是等腰三角形；若三角形三邊滿足，則該三角形是直角三角形；全等三

43、角形對(duì)應(yīng)角相等；若，則A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】B；提示：的逆命題是：等腰三角形有兩邊相等，是真命題；的逆命題是：若三角形是直角三角形，則三邊滿足（為斜邊）；但對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等；若，與不一定相等，所以、的逆命題是假命題，不可能是定理類型二、勾股定理逆定理的應(yīng)用2、如圖所示，四邊形ABCD中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC的度數(shù)【答案與解析】解： ABAD， A90，在RtABD中， BD4， ，可知ADB30，在BDC中， ， BDC90， ADCADB+BDC30+90120【總結(jié)升華】利用勾股定理的逆定理時(shí)，條件是三角形的三邊長(zhǎng)，結(jié)論是直角三角

44、形，即由邊的條件得到角的結(jié)論，所以在幾何題中需要進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)換時(shí)要聯(lián)想勾股定理的逆定理 舉一反三：【勾股定理逆定理 例4】【變式1】ABC三邊滿足，則ABC是（ ）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】D；提示：由題意，因?yàn)?，所以ABC為直角三角形.【變式2】如圖所示，在ABC中，已知ACB90，ACBC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA3，PB1，PCCD2，CDCP，求BPC的度數(shù)【答案】解：連接BD CDCP，且CDCP2， CPD為等腰直角三角形，即CPD45 ACP+BCPBCP+BCD90， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3在R

45、tCPD中，又 PB1，則 ， ， DPB為直角三角形，且DPB90， CPBCPD+DPB45+901353、（2015春信豐縣校級(jí)期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，ABC=90猜想A與C關(guān)系并加以證明【思路點(diǎn)撥】連接AC，然后根據(jù)勾股定理求出AC的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷ADC為Rt，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可得到A與C關(guān)系【答案與解析】證明：猜想A與C關(guān)系為：A+C=180連結(jié)AC，ABC=90，在RtABC中，由勾股定理得：AC=25cm，AD2+DC2=625=252=AC2，ADC是直角三角形，且D=90，

46、DAB+B+BCD+D=360，DAB+BCD=180，即A+C=180【總結(jié)升華】此題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)勾股定理的逆定理判斷ADC是直角三角形舉一反三：【變式】（2015秋埇橋區(qū)校級(jí)月考）下列各組數(shù)中，全是勾股數(shù)的一組是（）A2，3，4；6，8，10；5，12，13B3，4，5；10，24，26；7，24，25C，；8，15，17；30，40，50D0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41【答案】B；解：A、2+34，不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、3+4=5，10+24=26，7+24=25，此選項(xiàng)正確；C、，不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、0.4，1

47、.2，1.3不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B類型三、勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用4、如圖所示，MN以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測(cè)得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國海域？【答案與解析】解： ， ABC為直角三角形 ABC90又BDAC，可設(shè)CD， 得，解得 0.85(h)51(分)所以走私艇最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國領(lǐng)?！究偨Y(jié)升華】（1）本題用勾股定理作相等關(guān)系列方程解決問

48、題，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，為勾股定理的運(yùn)用提供了條件【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.（2015詔安縣校級(jí)模擬）下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）Aa=7，b=24，c=25 Ba=1.5，b=2，c=2.5C Da=15，b=8，c=172. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三個(gè)內(nèi)角之比為561 B. 一邊上的中線等于這一邊的一半C.三邊之長(zhǎng)為20、21、29 D. 三邊之比為1.5 : 2 : 3 3. 下列命題中，不正確的是（ ）A. 三個(gè)角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三邊之比為1: :2的三角形是直角三角形；C. 三個(gè)角的度數(shù)之比為

49、1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三邊之比為:2的三角形是直角三角形.4. 如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（）ACD、EF、GH BAB、EF、GH CAB、CF、EF DGH、AB、CD5五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（ ）6. 為直角三角形的三邊，且為斜邊，為斜邊上的高，下列說法：能組成一個(gè)三角形 能組成三角形能組成直角三角形 能組成直角三角形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4二.填空題7若ABC中，則B_.8如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正

50、方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的ABC是_三角形9若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、8(其中為正整數(shù))，則以、為邊的三角形的面積為_10ABC的兩邊分別為5，12，另一邊為奇數(shù)，且是3的倍數(shù)，則應(yīng)為_，此三角形為_11（2015春滑縣期末）如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則三角形為 三角形12. 如果線段能組成一個(gè)直角三角形，那么_組成直角三角形.(填“能”或“不能”).三.解答題13已知是ABC的三邊，且，試判斷三角形的形狀14（2015春江津區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，N為AD上的一點(diǎn)，且AN=AD，試猜測(cè)CMN是什么三角形，請(qǐng)

51、證明你的結(jié)論（提示：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）15.在等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，已知PA=3，PB=4，PC=5.現(xiàn)將APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)，連PQ，猜想PQC的形狀，并論證你的猜想. 【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C； 【解析】解：A、滿足勾股定理：72+242=252，故A選項(xiàng)不符合題意；B、滿足勾股定理：1.52+22=2.52，故B選項(xiàng)不符合題意；C、不滿足勾股定理，不是勾股數(shù)，故C選項(xiàng)符合題意；D、滿足勾股定理：152+82=172，故D選項(xiàng)不符合題意故選：C2.【答案】D； 【解析】D選項(xiàng)不滿足勾股定理的逆定理.3.【答案】C；【解析】度數(shù)之比為1

52、:2:2，則三角形內(nèi)角分別為36：72：72.4.【答案】B；【解析】，所以這三條線段能構(gòu)成直角三角形.5.【答案】C；【解析】.6.【答案】C；【解析】因?yàn)?，兩邊之和等于第三邊，故不能組成一個(gè)三角形，錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以能組成三角形，正確；因?yàn)椋?，即，正確；因?yàn)?，所以正確.二.填空題7【答案】90； 【解析】由題意，所以B=90.8【答案】直角；【解析】=13，=52，=65，所以.9.【答案】24；【解析】79，8 10【答案】13；直角三角形；【解析】717.11.【答案】直角；【解析】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10ca2+b2+c26a8b10c+50=0即a26a+9+

53、b28b+16+c210c+25=0（a3）2+（b4）2+（c5）2=0a=3，b=4，c=5a2+b2=c2三角形為直角三角形12【答案】能；【解析】設(shè)為斜邊，則，兩邊同乘以，得，即 .三.解答題13【解析】解：因?yàn)椋运曰?，此三角形為等腰三角形或直角三角?14【解析】解：CMN是直角三角形理由如下：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a，則AB=BC=CD=AD=4aM是AB的中點(diǎn)，AM=BM=2aAN=AD，AD=4a，AN=a，DN=3a在RtAMN中，滿足AM2+AN2=MN2，且AM=2a，AN=a，MN=a同理可得：MC=a，NC=5aMN2+MC2=（a）2+（a）2=25a2，

54、NC2=（5a）2=25a2，MN2+MC2=NC2，CMN是直角三角形15.【解析】解：因?yàn)锳PB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到AQC，所以APBAQC，PAQ=60，所以AP=AQ=PQ=3，BP=CQ=4，又因?yàn)镻C=5，所以PQC是直角三角形.勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】【 勾股定理全章復(fù)習(xí) 知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：） 2.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角

55、形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長(zhǎng)度為的線段.要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為；（2）驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系，若，則ABC是以C為直角的

56、直角三角形，反之，則不是直角三角形. 3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判

57、定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的應(yīng)用1、如圖所示，直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AD，AB，BC，E是AB上一點(diǎn)，且AE，求點(diǎn)E到CD的距離EF【思路點(diǎn)撥】連接DE、CE將EF轉(zhuǎn)化為DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長(zhǎng)度，即可求出EF的長(zhǎng)度，過點(diǎn)D作DHBC于H，在RtDCH中利用勾股定理即可求出DC【答案與解析】解：過點(diǎn)D作DHBC于H，連接DE、CE，則ADBH，ABDH， CHBCBH DHAB，在RtCDH中， CD25， 又

58、 ， ， EF10【總結(jié)升華】（1）多邊形的面積可通過輔助線轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一種常用的簡(jiǎn)易方法（2）利用勾股定理求邊長(zhǎng)、面積時(shí)要注意邊長(zhǎng)、面積之間的轉(zhuǎn)換 舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，已知AB13，AD12，AC15，BD5，求DC的長(zhǎng)【答案】解：在ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知ADB90在RtADC中，類型二、勾股定理與其他知識(shí)結(jié)合應(yīng)用2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是

59、多少？【思路點(diǎn)撥】作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GB，交CD于點(diǎn)E，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可知應(yīng)在E處飲水，再根據(jù)對(duì)稱性知GB的長(zhǎng)為所走的最短路程，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可解決【答案與解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接GB交CD于點(diǎn)E，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可以知道在E點(diǎn)處飲水，所走路程最短說明如下：在直線CD上任意取一異于點(diǎn)E的點(diǎn)I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE 點(diǎn)G、A關(guān)于直線CD對(duì)稱， AIGI，AEGE由“兩點(diǎn)之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GIBIGBAEBE，于是得證最短路程為GB的長(zhǎng)，自點(diǎn)B作CD的垂線，自點(diǎn)G作BD的垂線交于

60、點(diǎn)H，在直角三角形GHB中， GHCD800，BHBDDHBDGCBDAC200400600， 由勾股定理得 GB1000，即最短路程為1000米【總結(jié)升華】這是一道有關(guān)極值的典型題目解決這類題目，一方面要考慮“兩點(diǎn)之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個(gè)量，通過與求證的那個(gè)“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來證明，如本題中的I點(diǎn)本題體現(xiàn)了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點(diǎn)E，AE3，EB1，在AC上有一點(diǎn)P，使EPBP最短求EPBP的最小值【答案】解：根據(jù)正方形的對(duì)稱性可知：BPDP，連接DE，交AC于P，EDEPDPEPBP， 即最短距離