復數(shù)-復數(shù)的乘法及其幾何意義

1、復數(shù)復數(shù)的乘法及其幾何意義教案教學目標.掌握用復數(shù)的三角形式進行乘法運算的法則及其推導過程.掌握復數(shù)乘法的幾何意義.讓學生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學思想方法.培養(yǎng)學生探索問題、分析問題、解決問題的能力.教學重點與難點重點：復數(shù)的三角形式是本節(jié)內(nèi)容的出發(fā)點，復數(shù)的乘法運算.難點：復數(shù)乘法運算的幾何意義，不易為學生掌握.教學過程設計師：前面我們學習了復數(shù)的代數(shù)形式的運算和復數(shù)的三角形式，請大家用5分鐘的時間,完成以下兩道題的演算.(利用投影儀出示)1. (1-2i) ( 2+i) (4+3i);i ( jrjt 12,化復數(shù)-9 sin Heos為代數(shù)形式和三角形式.(5分鐘后)師；第1題檢查了復

2、敷乘法運算，答案是25,第2題檢查了復數(shù)的三角形式概念及復數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化.答案是：lcosZ + lsanll如果有的同學演算錯了，應想一想怎樣錯的？Z oo i錯的原因是什么？怎樣糾正？請同學們再考慮下面一個問題；如果把復數(shù)為，馬分別寫成i=t (cos 0 i+isin 8 ) ,(cos 6 2+isin 0 2).為的這乘法運算怎樣進行呢?想出算法后，請大家在筆記本上演算，允許同學之間交換意見(教師在教室里巡視，稍過幾分鐘，請一位已經(jīng)做完的同學在黑板上寫出推導過程)學生板演：z1 - z2=r1 (cos8 1+isin 8 1) r2 (cos8 2+isin 8 2)=

3、(rlcos 0 1+ir1sin 0 1)( r2cos 0 2+ir2sin 0 2)=(Mr2cos 0 1cos0 2-r1r2sin 0 1sin 0 2) +i (r1r2sin 0 1cos0 2+r1r2cos 0 1sin 0 2)=r1r2 (cosB 1cos 0 2-sin 0 1sin 0 2) +i (sin 8 1cos8 2+cos 0 1sin 0 2=r1r2cos (01+02) +isin (01+02).師：很好，你是怎樣想出來的？為什么這樣想？生：我們已經(jīng)學過復數(shù)的代數(shù)形式運算，因此把三角形式化為代數(shù)形式，按著代數(shù)形式的乘法運算法則就可以完成運算根據(jù)

4、數(shù)學求簡的原則，運用三角公式把結(jié)果化簡在已知的基礎上發(fā)展和探索未知的東西，解題時，把未知轉(zhuǎn)化成已知，這是重要的思想方法我是根據(jù)這個思想才想出來的師：觀察這個問題的已知和結(jié)論，同學們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？生：兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)模的積，積的復角等于各復數(shù)的輻角的和師：利用這個結(jié)論，請同學們計算：i爪-兀、n 一一八-J2 （cos -+ 1SHL J TOC o 1-5 h z 121266大家把計算過程寫在筆記本上.（教師請一位同學在黑板上板演）IT71JT7T解:Ceos +isin ) * /3 (cos- +isin-)121266二虎匈3(5+1) +口(】十?) 126126

5、廠 JI 一元、=J6 Ceos +ian J .教師提示,由于復數(shù)定義是形如a+bi （a, bGR）的數(shù)，如果輻角是特殊角或特殊角 的終邊相同角，要化成代教形式.即l/ 兀一兀、歷 V2 .庭 (cos +ism) a,/6 ( + 1)4422師：同學ff已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，復數(shù)的三角形式的乘法運算若用r 1 (cos 9 i+isin Bp r2 C cos 9 2+isin 6 a) /由cos (日1十 日？)+ism (日十日 p 計算，簡便得多.這就是復數(shù)的三角形式乘法運算公式.三角形式是由模和輻角兩個量確定的，進行乘法運算時要清楚模怎樣算？輻角怎樣算？使用復數(shù)的三角形式進行運算的條件是

6、復數(shù)必須是三角形式的標準式，輻角不要求一定是主值.同學們已經(jīng)了解，復數(shù)通過幾何表示，把復數(shù)與復平面內(nèi)的點或從原點出發(fā)的向量建立 起一一對應后，復數(shù)不僅取得了實際的解釋，而且確實逐步展示了它的廣泛應用.我們 已經(jīng)研究了復數(shù)加、減法的幾何意義，并感覺到了它的用途，請大家討論一下，學習了 復數(shù)的三角形式運算對復數(shù)乘法的幾何意義有什么啟發(fā)呢？（同學分組討論，請小組代表發(fā)言.如果條件允許，在學生發(fā)言同時，用多媒體輔助教學，演示模伸縮情況，輻角終邊的旋轉(zhuǎn)）生：復數(shù)的乘法對應的向量， 就是由對應于被乘數(shù)所對應的向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個 角e 2（ e 20,如果e 2v0,按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角|e 2,再

7、把其模變?yōu)樵瓉淼膔2倍（r21,應伸長；0vr2v1,應縮短；r2=1 ,模長不變），所得的向量就表示積 z1-z2.這是復數(shù)乘法的幾何意義.圖形演示（如圖8-7） ； 02=0?!- 82a.圖B-7師：現(xiàn)在我們研究問題.如圖名一總向里次與復數(shù)-1H對應，把62按逆時針方向 旋轉(zhuǎn)121r,得到段.求與向量。2,對應的復數(shù).請同學們想一想.生上這是形數(shù)結(jié)合問題，給的題設情境是向量旋轉(zhuǎn)，根據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義，將向 里反逆時針方向旋轉(zhuǎn)12L，得到至，由于模未發(fā)生變化，應當是次對反復數(shù)乘以 1 - Ccos 120 +疳加12）.圖8E師：解此題復數(shù)是否一定化成三角形式？生：復數(shù)與從原點出發(fā)的向量

8、建立了一一對應關(guān)系，無論是代數(shù)形式還是三角形式都表示同一個復數(shù)和向量，運算結(jié)果是一個數(shù)，因此不一定化成三角形式，應根據(jù)需要來選擇.師：說得好，請同學們寫一下解題過程.（找一名同學到黑板板演）解：所求的復數(shù)就是-1+i乘以一個復數(shù)z0的積，這個復數(shù)z0的模是1,輻角的主值是120 ,所求的復數(shù)是：（-1+i） 1 （cos 120 +isin 120 ）Z 1 a/3.x1-73 1 + g. 22 22師：為了鞏固剛討論過的復數(shù)三角形式的乘法運算公式及復數(shù)乘法的幾何意義，請同 學們繼續(xù)完成以下練習.(使用投彩儀，映出練習題)z 兀K1 z nTT TOC o 1-5 h z L 計算：4 (c

9、os+ isin) (sin +icos) + 2 ，乙1乙乙dD(5九5兀、(.cos-+ isin-).2.已知要數(shù)q所對應的同堂至。，通過作圖，畫出下到復數(shù)z所對應的向量員.(1) z = z0 (sin 30 +icos 30 ) ； (2)z = -x0 (+.乙 乙(教師在教室里巡視，請三位演算錯誤的同學板演.)1.解：4 (cos兀.兀、11, 兀71 +isin J L Qsin + icos J J12122312+ 2 (cos/1、 /兀 兀、兀 兀、(4X -) cos (+ ) +isin (+ ) 乙k乙 D1+ 2 (cos-2 (cos5兀.5兀Hisin 44

10、5冗5兀5兀=2cos + 2isin12125兀,5兀Q2cos+ 2cos12125兀、/5兀.5萬、) + 2 QuosHisin )5冗 .5兀+ 2cos + 2isin44)+i(2sin12圖 8.10圖8.9代：這二位同學計算和畫圖對不對？如果有錯誤，錯在哪里？怎樣改正？1JTJF TOC o 1-5 h z 生甲：第1題計算錯了，錯在* (sm-r+icos-)不是復數(shù)三角形 乙JJ1kn式的標準式，應化為:(cos+isin ). 266師：一人教訓大家吸取，千萬用復數(shù)三角形式的標準式進行復數(shù)三角形式的乘法運 氟哪位同學改正一下:生乙： 14 (cos +isin ) 己

11、(sin +icos) 121223125兀.5兀、+ 2 Qcos+ isin.K .兀、】1, 兀, 兀、1- L4 (cos-+isin ) J L - Qsin-r-+ icos ) J12122665兀.5兀、+ 2 Qcos-+ isin-).=(4X 9cos /+ ?) + 適n 吟+ g) + 25冗5冗、cos- + ian), 冗 一 H、 z 5兀 一 5兀、= 2 cos + isin ) + 2 Ceos - + ism-)=(a/2 + V2i) + (-近-Ji) =0“ffi：板演第1題的兩位同學都注意到，不能直接使用三角形式進行加、聯(lián)計算，需 化成代數(shù)形式才

12、得以進行.接下來看第2題的第(1)小題.生丙】第C1)題畫錯了，應當把向量員按逆時針方向旋轉(zhuǎn)可。，可板演圖只轉(zhuǎn) 30。.師：為什么？生丙：乘數(shù)sin30 +icos 30不是復數(shù)三角形式的標準式，應化為 cos 60 + isin 60這樣才能應用復數(shù)乘法的幾何意義來解題.師：同學們應注意到旋轉(zhuǎn)的角度是輻角來確定的，而輻角的大小又是由復數(shù)的三角形式的標準式來確定.現(xiàn)在看第2題的第（2）小題，將反q逆時計旋轉(zhuǎn)12口。正確嗎？為什么？生丁：正確.把復數(shù)-1 +坐1化為三角形式85120口 1皿120口， 其模是1,說明模沒有變化，只是把向量61口統(tǒng)原點o接逆時針旋轉(zhuǎn)121r.師：向量反畫的正確嗎？

13、若不正確，應當怎么畫？生戰(zhàn)：不正確，旋轉(zhuǎn)12H后，取其反方向的向量，模不變，得到反.也可以先取 三口的反方向的向量，再逆時針旋轉(zhuǎn)12。0.師：回答得很好，現(xiàn)在我們研究一道幾何圖形習題的解法，請看題目：已知復平面內(nèi)一個正方形的兩個相鄰頂點對應的復數(shù)分別為1+比35,求與另外兩 個頂點對應的復數(shù).為了利于表達，設正方形ABCD,其中點A對應復數(shù)是1 +九點B對應復數(shù)是3- 51,求點C% D對應的復數(shù).如圖8-1L同學們開始討論解法.生這道題可以轉(zhuǎn)化為解析幾何題，點A坐標為（1，2）,點B坐標是3,- 5）.本題應當有兩解.設邊右側(cè)的頂點是C和D,左側(cè)的頂點是CT和D.線段 AB的長度是可求的.而

14、|AD|=|AB|, |BD|-7?|AB|4設D （鰲，y）.由上面兩個等量關(guān)系，得出關(guān)于處y的二元二 次方程組，解這個方程俎可得兩組解，點D坐標求出，對應的復數(shù)亦可以寫出.師：點C怎么求呢？圖 8-11生N：先求出BD的中點，這個中點也是AC的中點，再通過中點坐標公式求得點C 的坐標.師：很好.還有什么解法?生P:用復數(shù)運算的幾何意義解，先求向量意所對應的復數(shù)，由 向量靛繞點a按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90 角得到屆，由于近=55-51,就求出D點對應的復數(shù).師：點C怎么求呢？生Q：由于|AC|=J?|AD|, ZDAC = 45 .用B對應的復數(shù)乘以 V2 cos ( -45 ) +isin(.4

15、5。)得到記對應的復數(shù)了，再求公 對應的復數(shù).師：生Q想到的解法更簡單，求點C還有其他方法嗎？生R：先求或所對應的復數(shù)，由向量 或繞點B按順時針方向旋 轉(zhuǎn)9D得到雙，再求發(fā)對應的復數(shù).生H ：由于OC=OB + BC=O? +就，可以直接求出C點對應的復數(shù).師：生H的方法最簡單.請同學們在筆記本上用其中一種解法完成此題的演算.(教師找一名同學到黑板板演)解：向量就對應的復數(shù) (3-5i) - (l+2i) =2-7i.向量 對應的復數(shù)：(2-7i) (cos 900 +isin 90 ) = (2-7i) - i=7+2i.向量 0D對應的復數(shù)：(l+2i) + (7+2i) =8+4i.因為

16、OC=OB + bC=05 +汪，則靈對應的復數(shù)：(3-51) + ( 7+21) =10-3：.如圖，設點D對應復數(shù)為a+bi (a, bER),8 + a1=2 fa = 6,則有小解得.又設點C時應復數(shù)為c+di (c, dER),3則有-510 + c-3 + d因此另外兩點對應的復數(shù)為11口至和8+41；或.4.71和1注意.如果板演有錯誤，應請同學們發(fā)現(xiàn)和糾正.經(jīng)常發(fā)生的錯誤有(1) AB= (3-51) - (1+20 .這里不能用等號，應寫作向量AB對應的復數(shù);是；(3-51) - (l+2i)；(2)把向量0對應的復數(shù)7+加 錯認為是點D對應的復藪；(要講清只有當向量的起點在

17、原點處，向量所對應的復數(shù)才是向量終點所對應的復 數(shù)) 只得出10-第和 料41 一組解.(建議學生自己動手畫圖，容易發(fā)現(xiàn)兩組解)師,通過此題，我們可以體會到代數(shù)問題和幾何問題互相轉(zhuǎn)化的思想在分析同題與解 決問題中的重要作用.為了更好地領(lǐng)悟這一思想，請看；如圖812,已知平面內(nèi)并列的三個相等的正方形，利用復數(shù)計算升23的同學們開始討論解決：生庚：復數(shù)運算的幾何意義是在復平面內(nèi)實施的，因此要建立直角坐標系.師：你分析得正確，如圖 813,建立坐標系.取正方形的邊長為單位長1.生辛：/ B1Ox=/1, / B2Ox=/2, / B3Ox=/3,這樣，/ 1 + /2+/3=/B1Ox+/ B2Ox

18、+ /B3Ox.而/ B1Ox, /B2Ox, Z B3Ox可以分另看作 B1 , B2, B3三個點對應復數(shù)的 輻角主值，下面應考慮 B1, B2, B3對應復數(shù)是什么？2,則三點對應復數(shù)分按著老師規(guī)定的單位長，B1, B2, B3三點對應的復數(shù)分別為 1 + i, 2+i, 3+i.師：好，你先談到這里，如果單位長度有新的規(guī)定，例如邊長為別為2+2i, 4+2i, 6+2i,并未影響復數(shù)的輻角主值的大小，不過計算要繁一些.同學 們繼續(xù)討論.生壬：2+i, 3+i的輻角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，誤差較大.根 據(jù)復數(shù)乘法的幾何意義，積的輻角等于兩個乘數(shù)輻角之和，可以先作乘法，看乘積是什 么？假若其輻角主值也不是特殊角，但只取一次近似值.師：你分析得很好，請你計算一下：JT生癸二(2 + 0(3+1) =5 + 51,它的輻角主值是彳，而71JTZB1Ok =，因此Nl + /2+N3 = .44(cos 03+i.sm B(cos 9 j+isin 9 (2+1) - (3+生寅，我想談另外一種計算方法.因為門(cos a) 會(ccs 6 3+isin 6