復(fù)數(shù)-復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義

1、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義教案教學(xué)目標(biāo).掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則及其推導(dǎo)過程.掌握復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法.培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角形式是本節(jié)內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算.難點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，不易為學(xué)生掌握.教學(xué)過程設(shè)計(jì)師：前面我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的三角形式，請(qǐng)大家用5分鐘的時(shí)間,完成以下兩道題的演算.(利用投影儀出示)1. (1-2i) ( 2+i) (4+3i);i ( jrjt 12,化復(fù)數(shù)-9 sin Heos為代數(shù)形式和三角形式.(5分鐘后)師；第1題檢查了復(fù)

2、敷乘法運(yùn)算，答案是25,第2題檢查了復(fù)數(shù)的三角形式概念及復(fù)數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化.答案是：lcosZ + lsanll如果有的同學(xué)演算錯(cuò)了，應(yīng)想一想怎樣錯(cuò)的？Z oo i錯(cuò)的原因是什么？怎樣糾正？請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏紤]下面一個(gè)問題；如果把復(fù)數(shù)為，馬分別寫成i=t (cos 0 i+isin 8 ) ,(cos 6 2+isin 0 2).為的這乘法運(yùn)算怎樣進(jìn)行呢?想出算法后，請(qǐng)大家在筆記本上演算，允許同學(xué)之間交換意見(教師在教室里巡視，稍過幾分鐘，請(qǐng)一位已經(jīng)做完的同學(xué)在黑板上寫出推導(dǎo)過程)學(xué)生板演：z1 - z2=r1 (cos8 1+isin 8 1) r2 (cos8 2+isin 8 2)=

3、(rlcos 0 1+ir1sin 0 1)( r2cos 0 2+ir2sin 0 2)=(Mr2cos 0 1cos0 2-r1r2sin 0 1sin 0 2) +i (r1r2sin 0 1cos0 2+r1r2cos 0 1sin 0 2)=r1r2 (cosB 1cos 0 2-sin 0 1sin 0 2) +i (sin 8 1cos8 2+cos 0 1sin 0 2=r1r2cos (01+02) +isin (01+02).師：很好，你是怎樣想出來的？為什么這樣想？生：我們已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算，因此把三角形式化為代數(shù)形式，按著代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則就可以完成運(yùn)算根據(jù)

4、數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的原則，運(yùn)用三角公式把結(jié)果化簡(jiǎn)在已知的基礎(chǔ)上發(fā)展和探索未知的東西，解題時(shí)，把未知轉(zhuǎn)化成已知，這是重要的思想方法我是根據(jù)這個(gè)思想才想出來的師：觀察這個(gè)問題的已知和結(jié)論，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？生：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的復(fù)角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和師：利用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算：i爪-兀、n 一一八-J2 （cos -+ 1SHL J TOC o 1-5 h z 121266大家把計(jì)算過程寫在筆記本上.（教師請(qǐng)一位同學(xué)在黑板上板演）IT71JT7T解:Ceos +isin ) * /3 (cos- +isin-)121266二虎匈3(5+1) +口(】十?) 126126

5、廠 JI 一元、=J6 Ceos +ian J .教師提示,由于復(fù)數(shù)定義是形如a+bi （a, bGR）的數(shù)，如果輻角是特殊角或特殊角 的終邊相同角，要化成代教形式.即l/ 兀一兀、歷 V2 .庭 (cos +ism) a,/6 ( + 1)4422師：同學(xué)ff已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算若用r 1 (cos 9 i+isin Bp r2 C cos 9 2+isin 6 a) /由cos (日1十 日？)+ism (日十日 p 計(jì)算，簡(jiǎn)便得多.這就是復(fù)數(shù)的三角形式乘法運(yùn)算公式.三角形式是由模和輻角兩個(gè)量確定的，進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)要清楚模怎樣算？輻角怎樣算？使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算的條件是

6、復(fù)數(shù)必須是三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，輻角不要求一定是主值.同學(xué)們已經(jīng)了解，復(fù)數(shù)通過幾何表示，把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立 起一一對(duì)應(yīng)后，復(fù)數(shù)不僅取得了實(shí)際的解釋，而且確實(shí)逐步展示了它的廣泛應(yīng)用.我們 已經(jīng)研究了復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，并感覺到了它的用途，請(qǐng)大家討論一下，學(xué)習(xí)了 復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算對(duì)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有什么啟發(fā)呢？（同學(xué)分組討論，請(qǐng)小組代表發(fā)言.如果條件允許，在學(xué)生發(fā)言同時(shí)，用多媒體輔助教學(xué)，演示模伸縮情況，輻角終邊的旋轉(zhuǎn)）生：復(fù)數(shù)的乘法對(duì)應(yīng)的向量， 就是由對(duì)應(yīng)于被乘數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè) 角e 2（ e 20,如果e 2v0,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角|e 2,再

7、把其模變?yōu)樵瓉淼膔2倍（r21,應(yīng)伸長；0vr2v1,應(yīng)縮短；r2=1 ,模長不變），所得的向量就表示積 z1-z2.這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義.圖形演示（如圖8-7） ； 02=0?!- 82a.圖B-7師：現(xiàn)在我們研究問題.如圖名一總向里次與復(fù)數(shù)-1H對(duì)應(yīng)，把62按逆時(shí)針方向 旋轉(zhuǎn)121r,得到段.求與向量。2,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).請(qǐng)同學(xué)們想一想.生上這是形數(shù)結(jié)合問題，給的題設(shè)情境是向量旋轉(zhuǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，將向 里反逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)12L，得到至，由于模未發(fā)生變化，應(yīng)當(dāng)是次對(duì)反復(fù)數(shù)乘以 1 - Ccos 120 +疳加12）.圖8E師：解此題復(fù)數(shù)是否一定化成三角形式？生：復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量

8、建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，無論是代數(shù)形式還是三角形式都表示同一個(gè)復(fù)數(shù)和向量，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，因此不一定化成三角形式，應(yīng)根據(jù)需要來選擇.師：說得好，請(qǐng)同學(xué)們寫一下解題過程.（找一名同學(xué)到黑板板演）解：所求的復(fù)數(shù)就是-1+i乘以一個(gè)復(fù)數(shù)z0的積，這個(gè)復(fù)數(shù)z0的模是1,輻角的主值是120 ,所求的復(fù)數(shù)是：（-1+i） 1 （cos 120 +isin 120 ）Z 1 a/3.x1-73 1 + g. 22 22師：為了鞏固剛討論過的復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算公式及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，請(qǐng)同 學(xué)們繼續(xù)完成以下練習(xí).(使用投彩儀，映出練習(xí)題)z 兀K1 z nTT TOC o 1-5 h z L 計(jì)算：4 (c

9、os+ isin) (sin +icos) + 2 ，乙1乙乙dD(5九5兀、(.cos-+ isin-).2.已知要數(shù)q所對(duì)應(yīng)的同堂至。，通過作圖，畫出下到復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的向量員.(1) z = z0 (sin 30 +icos 30 ) ； (2)z = -x0 (+.乙 乙(教師在教室里巡視，請(qǐng)三位演算錯(cuò)誤的同學(xué)板演.)1.解：4 (cos兀.兀、11, 兀71 +isin J L Qsin + icos J J12122312+ 2 (cos/1、 /兀 兀、兀 兀、(4X -) cos (+ ) +isin (+ ) 乙k乙 D1+ 2 (cos-2 (cos5兀.5兀Hisin 44

10、5冗5兀5兀=2cos + 2isin12125兀,5兀Q2cos+ 2cos12125兀、/5兀.5萬、) + 2 QuosHisin )5冗 .5兀+ 2cos + 2isin44)+i(2sin12圖 8.10圖8.9代：這二位同學(xué)計(jì)算和畫圖對(duì)不對(duì)？如果有錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪里？怎樣改正？1JTJF TOC o 1-5 h z 生甲：第1題計(jì)算錯(cuò)了，錯(cuò)在* (sm-r+icos-)不是復(fù)數(shù)三角形 乙JJ1kn式的標(biāo)準(zhǔn)式，應(yīng)化為:(cos+isin ). 266師：一人教訓(xùn)大家吸取，千萬用復(fù)數(shù)三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn) 氟哪位同學(xué)改正一下:生乙： 14 (cos +isin ) 己

11、(sin +icos) 121223125兀.5兀、+ 2 Qcos+ isin.K .兀、】1, 兀, 兀、1- L4 (cos-+isin ) J L - Qsin-r-+ icos ) J12122665兀.5兀、+ 2 Qcos-+ isin-).=(4X 9cos /+ ?) + 適n 吟+ g) + 25冗5冗、cos- + ian), 冗 一 H、 z 5兀 一 5兀、= 2 cos + isin ) + 2 Ceos - + ism-)=(a/2 + V2i) + (-近-Ji) =0“ffi：板演第1題的兩位同學(xué)都注意到，不能直接使用三角形式進(jìn)行加、聯(lián)計(jì)算，需 化成代數(shù)形式才

12、得以進(jìn)行.接下來看第2題的第(1)小題.生丙】第C1)題畫錯(cuò)了，應(yīng)當(dāng)把向量員按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)可。，可板演圖只轉(zhuǎn) 30。.師：為什么？生丙：乘數(shù)sin30 +icos 30不是復(fù)數(shù)三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，應(yīng)化為 cos 60 + isin 60這樣才能應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義來解題.師：同學(xué)們應(yīng)注意到旋轉(zhuǎn)的角度是輻角來確定的，而輻角的大小又是由復(fù)數(shù)的三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式來確定.現(xiàn)在看第2題的第（2）小題，將反q逆時(shí)計(jì)旋轉(zhuǎn)12口。正確嗎？為什么？生?。赫_.把復(fù)數(shù)-1 +坐1化為三角形式85120口 1皿120口， 其模是1,說明模沒有變化，只是把向量61口統(tǒng)原點(diǎn)o接逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)121r.師：向量反畫的正確嗎？

13、若不正確，應(yīng)當(dāng)怎么畫？生戰(zhàn)：不正確，旋轉(zhuǎn)12H后，取其反方向的向量，模不變，得到反.也可以先取 三口的反方向的向量，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)12。0.師：回答得很好，現(xiàn)在我們研究一道幾何圖形習(xí)題的解法，請(qǐng)看題目：已知復(fù)平面內(nèi)一個(gè)正方形的兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+比35,求與另外兩 個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).為了利于表達(dá)，設(shè)正方形ABCD,其中點(diǎn)A對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是1 +九點(diǎn)B對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是3- 51,求點(diǎn)C% D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).如圖8-1L同學(xué)們開始討論解法.生這道題可以轉(zhuǎn)化為解析幾何題，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，2）,點(diǎn)B坐標(biāo)是3,- 5）.本題應(yīng)當(dāng)有兩解.設(shè)邊右側(cè)的頂點(diǎn)是C和D,左側(cè)的頂點(diǎn)是CT和D.線段 AB的長度是可求的.而

14、|AD|=|AB|, |BD|-7?|AB|4設(shè)D （鰲，y）.由上面兩個(gè)等量關(guān)系，得出關(guān)于處y的二元二 次方程組，解這個(gè)方程俎可得兩組解，點(diǎn)D坐標(biāo)求出，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)亦可以寫出.師：點(diǎn)C怎么求呢？圖 8-11生N：先求出BD的中點(diǎn)，這個(gè)中點(diǎn)也是AC的中點(diǎn)，再通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)C 的坐標(biāo).師：很好.還有什么解法?生P:用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義解，先求向量意所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由 向量靛繞點(diǎn)a按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 角得到屆，由于近=55-51,就求出D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).師：點(diǎn)C怎么求呢？生Q：由于|AC|=J?|AD|, ZDAC = 45 .用B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)乘以 V2 cos ( -45 ) +isin(.4

15、5。)得到記對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)了，再求公 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).師：生Q想到的解法更簡(jiǎn)單，求點(diǎn)C還有其他方法嗎？生R：先求或所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由向量 或繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋 轉(zhuǎn)9D得到雙，再求發(fā)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).生H ：由于OC=OB + BC=O? +就，可以直接求出C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).師：生H的方法最簡(jiǎn)單.請(qǐng)同學(xué)們?cè)诠P記本上用其中一種解法完成此題的演算.(教師找一名同學(xué)到黑板板演)解：向量就對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) (3-5i) - (l+2i) =2-7i.向量 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)：(2-7i) (cos 900 +isin 90 ) = (2-7i) - i=7+2i.向量 0D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)：(l+2i) + (7+2i) =8+4i.因?yàn)?/p>

16、OC=OB + bC=05 +汪，則靈對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)：(3-51) + ( 7+21) =10-3：.如圖，設(shè)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為a+bi (a, bER),8 + a1=2 fa = 6,則有小解得.又設(shè)點(diǎn)C時(shí)應(yīng)復(fù)數(shù)為c+di (c, dER),3則有-510 + c-3 + d因此另外兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為11口至和8+41；或.4.71和1注意.如果板演有錯(cuò)誤，應(yīng)請(qǐng)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)和糾正.經(jīng)常發(fā)生的錯(cuò)誤有(1) AB= (3-51) - (1+20 .這里不能用等號(hào)，應(yīng)寫作向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);是；(3-51) - (l+2i)；(2)把向量0對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)7+加 錯(cuò)認(rèn)為是點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)藪；(要講清只有當(dāng)向量的起點(diǎn)在

17、原點(diǎn)處，向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)才是向量終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù) 數(shù)) 只得出10-第和 料41 一組解.(建議學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，容易發(fā)現(xiàn)兩組解)師,通過此題，我們可以體會(huì)到代數(shù)問題和幾何問題互相轉(zhuǎn)化的思想在分析同題與解 決問題中的重要作用.為了更好地領(lǐng)悟這一思想，請(qǐng)看；如圖812,已知平面內(nèi)并列的三個(gè)相等的正方形，利用復(fù)數(shù)計(jì)算升23的同學(xué)們開始討論解決：生庚：復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義是在復(fù)平面內(nèi)實(shí)施的，因此要建立直角坐標(biāo)系.師：你分析得正確，如圖 813,建立坐標(biāo)系.取正方形的邊長為單位長1.生辛：/ B1Ox=/1, / B2Ox=/2, / B3Ox=/3,這樣，/ 1 + /2+/3=/B1Ox+/ B2Ox

18、+ /B3Ox.而/ B1Ox, /B2Ox, Z B3Ox可以分另看作 B1 , B2, B3三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的 輻角主值，下面應(yīng)考慮 B1, B2, B3對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是什么？2,則三點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分按著老師規(guī)定的單位長，B1, B2, B3三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 1 + i, 2+i, 3+i.師：好，你先談到這里，如果單位長度有新的規(guī)定，例如邊長為別為2+2i, 4+2i, 6+2i,并未影響復(fù)數(shù)的輻角主值的大小，不過計(jì)算要繁一些.同學(xué) 們繼續(xù)討論.生壬：2+i, 3+i的輻角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，誤差較大.根 據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，積的輻角等于兩個(gè)乘數(shù)輻角之和，可以先作乘法，看乘積是什 么？假若其輻角主值也不是特殊角，但只取一次近似值.師：你分析得很好，請(qǐng)你計(jì)算一下：JT生癸二(2 + 0(3+1) =5 + 51,它的輻角主值是彳，而71JTZB1Ok =，因此Nl + /2+N3 = .44(cos 03+i.sm B(cos 9 j+isin 9 (2+1) - (3+生寅，我想談另外一種計(jì)算方法.因?yàn)殚T(cos a) 會(huì)(ccs 6 3+isin 6