旋轉(zhuǎn)模型專(zhuān)題

1、.旋轉(zhuǎn)模型專(zhuān)題一、等線段共點(diǎn)等邊三角形共頂點(diǎn)共頂點(diǎn)等腰直角三角形共頂點(diǎn)等腰三角形共頂點(diǎn)等腰三角形二、按圖形分類(lèi)1、等腰三角形，2 、等邊三角形，3 、等腰直角三角形，4、正方形三、按模型分類(lèi)1、手拉手模型2、角含半角模型3 、對(duì)角互補(bǔ)模型4、與勾股定理結(jié)合5、費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題.例題精講一、手拉手模型1、已知：如圖，點(diǎn) C 為線段 AB 上一點(diǎn)，ACM 、 CBN 是等邊三角形常見(jiàn)結(jié)論：（1） ANBMN（2） CDCEM F3） CF 平分 AFB（ 4） CDE 是等邊三角形DE（ 5） AFM=60 且保持不變ACB2、如圖，在凸四邊形ABCD中， BCD 30 , DAB60 AD AB，求證

2、： AC2CD2BC2CBAD3、已知ABC ，以 AC 為邊在ABC 外作等腰ACD ，其中 ACAD 。如圖，若DAC2 ABC ， ACBC ，四邊形 ABCD是平行四邊形，則ABC_如圖，若 ABC 30 ， ACD 是等邊三角形， AB 3 ， BC 4 ，求 BD 的長(zhǎng)；如圖，若 ACD為銳角，作 AH BC于 H ，當(dāng) BD2 4AH2 BC2 時(shí)，DAC2 ABC 是否成立？若不成立， 請(qǐng)說(shuō)明你的理由； 若成立，證明你的結(jié)論。DADADABCBCBHC.二、角含半角模型4、已知：如圖 1 在 Rt ABC 中，BAC90 ， ABAC ，點(diǎn) D 、 E 分別為線段 BC上兩動(dòng)點(diǎn)

3、，若 DAE 45 探究線段 BD 、 DE 、 EC 三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把 AEC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 ，得到 ABE ，連結(jié) E D ，使問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題： 猜想 BD 、 DE 、 EC 三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； 當(dāng)動(dòng)點(diǎn) E 在線段 BC 上，動(dòng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)在線段 CB 延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，其它條件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？說(shuō)明你的猜想并給予證明AACDCBDBEE圖1圖 25、在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E、F 分別在邊 BC、CD 上，且 EAF= CEF=45，1）將 ADF 繞著點(diǎn) A 順

4、時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到 ABG ，如圖 1，求證： AEG AEF ；2）若直線 EF 與 AB 、AD 的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) M,N ，如圖 2，求證： EF2ME2 NF2（ 3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段EF，BE，DF 之間的數(shù)量關(guān)系。ADFBEC.6、在等邊 ABC 的兩邊 AB，AC 所在直線上分別有兩點(diǎn) M，N，D 為 ABC 外一點(diǎn)，且 MDN 60 ， BDC 120 ， BD CD ，探究：當(dāng)點(diǎn) M，N 分別愛(ài)直線AB，AC 上移動(dòng)時(shí)， BM，NC，MN 之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN 的周長(zhǎng)與等邊 ABC 的周長(zhǎng) L 的關(guān)系如圖，當(dāng)點(diǎn)M，AC上

5、，且 DM=DN 時(shí)， BM，NC，MN 之間的N在邊 AB數(shù)量關(guān)系式 _；此時(shí) Q =_L如圖，當(dāng)點(diǎn)M，AC 上，且DMDN 時(shí)，猜想(1)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論N在邊AB還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；如圖，當(dāng)點(diǎn) M，N 分別在邊 AB，CA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 AN=x，則Q=_(用 x，L 表示 )AANNAMNMBCBCBCMDDD圖（ 1）圖（ 2）圖（ 3）.三、對(duì)角互補(bǔ)類(lèi)7、已知： MAN ， AC 平分MAN 在圖 1 中，若MANDCB90 ，證明： ABAD2AC 在圖 2 中，若MAN120 ，DCB60 ，探究 AB 、 AD 、 AC 三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；在圖 3

6、 中：若MAN（ 0180 ）， DCB180，則 AB AD_ AC（用含 的三角函數(shù)表示 ,直接寫(xiě)出結(jié)果，不必證明）NMMDCCDCMDNAANABBB圖1圖2圖 38、如圖 1，正方形 ABCD 和正方形 QMNP ， M 是正方形 ABCD 的對(duì)稱(chēng)中心， MN 交AB于F，QM 交AD于E猜想： ME 與 MF 的數(shù)量關(guān)系如圖 2，若將原題中的“正方形”改為“菱形” ，且 MB ，其它條件不變，探索線段 ME 與線段 MF 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明如圖 3，若將原題中的“正方形”改為“矩形” ，且 AB : BC1: 2 ，其它條件不變，探索線段 ME 與線段 MF 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

7、由如圖 4，若將原題中的 “正方形” 改為平行四邊形， 且 MB，AB: BCm ，其它條件不變，求出 ME : MF 的值（直接寫(xiě)出答案）CBCBCBCBMMMF NMFNFNAEFEDEDEADQA NDAQQQPPP圖 2 P圖 4圖 1圖3.四、直角三角形斜邊中點(diǎn)9、在等腰直角ABC 中，ACB90o ， ACBC ， M 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 從 B 出發(fā)向 C 運(yùn)動(dòng)， MQMP交 AC 于點(diǎn) Q ，試說(shuō)明MPQ 的形狀和面積將如何變化AMQCPB10、等腰直角三角形ABC ，ABC90，AB2 ，O 為 AC 中點(diǎn)，EOF45 ，求BEF 的周長(zhǎng)AOEBFC11、已知 Rt A

8、BC中，AC=BC，C=90，D 為 AB 邊的中點(diǎn)， EDF=90，EDF繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或延長(zhǎng)線）于 E、F當(dāng) EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DEAC 于 E 時(shí)（如圖 1），易證S CEF1S DEFS ABC2當(dāng) EDF 繞 D 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 DE 和 AC 不垂直時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立 ? 若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立， S DEF , SCEF , S ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明AAADEDDECBFCFB CFB圖 1E圖 3圖 2.五、等線段共點(diǎn)12、如圖所示， P 是等邊 ABC 內(nèi)部一點(diǎn)， PC 3

9、， PA 4 ， PB 5 ，求 ABC 的邊長(zhǎng) .S BPC=,S ABP=,S APC=,S ABC=,BBPPACAC13、 P 為等邊ABC 內(nèi)一點(diǎn)，APB113o ，APC123o ，求證：以AP 、 BP 、CP 為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù).APBC14、如圖， P 為正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)， PA1，PD2，PC3，將PAD 繞著 D點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 到DCM 的位置（ 1）求APD 的度數(shù)。(2)求正方形的邊長(zhǎng)ABPDCM.六、費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題15、閱讀下列材料對(duì)于任意的ABC ，若三角形內(nèi)或三角形上有一點(diǎn)P ，若 PAPBPC 有最小值，則取到

10、最小值時(shí)，點(diǎn)P 為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120 ，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)若三角形內(nèi)角均小于120 ，則滿足條件APBBPCAPC120 時(shí)，點(diǎn) P 既為費(fèi)馬點(diǎn)解決問(wèn)題：如圖， ABC 中，三個(gè)內(nèi)角均小于 120 ，分別以 AB 、AC 為邊向外作等邊ABD 、ACE ，連接 CD 、 BE 交于點(diǎn) P ，證明：點(diǎn) P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。( 即證明 APBBPCAPC120 )且PA PB PC CDDAEPBC如圖，點(diǎn) Q 為三角形內(nèi)部異于點(diǎn)P 的一點(diǎn)，證明：QAQCQBPAPBPCDAEPQBC若ABC30 ， AB3 ， BC4 ，直接寫(xiě)出 PAPBPC 的最小值

11、.16、如圖，四邊形 ABCD 是正方形， ABE 是等邊三角形， M 為對(duì)角線 BD 上任意一點(diǎn)，將 BM 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到 BN ，連接 AM 、 CM 、 EN 求證：AMB ENB當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM 的值最小；當(dāng) M 點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM 的值最小，并說(shuō)明理由；當(dāng) AMBMCM 的最小值為31 時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)ADNEMBC17、閱讀下列材料：小華遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖1,ABC中， ACB=30o，BC=6， AC=5，在 ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接 PA、 PB、 PC，求 PA+PB+PC的最小值 EDADAAPPCBBC BC圖 1圖 2圖 3小華

12、是這樣思考的：要解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問(wèn)題他的做法是，如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o ，APC得到 EDC，連接 PD、 BE，則 BE的長(zhǎng)即為所求（ 1）請(qǐng)你寫(xiě)出圖 2 中， PA+PB+PC的最小值為；（ 2）參考小華的思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：如圖 3，菱形 ABCD中， ABC=60o，在菱形 ABCD內(nèi)部有一點(diǎn) P，請(qǐng)?jiān)趫D 3 中畫(huà)出并指明長(zhǎng)度等于PA+PB+PC最

13、小值的線段（保留畫(huà)圖痕跡，畫(huà)出一條即可） ；若中菱形ABCD 的邊長(zhǎng)為4，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí) PB的長(zhǎng).0 ，小于或.七、最值問(wèn)題18、已知： PA2 ， PB4 ，以 AB 為一邊作正方形ABCD ，使 P 、 D 兩點(diǎn)落在直線 AB的兩側(cè).如圖，當(dāng)APB45 時(shí)，求 AB 及 PD 的長(zhǎng)；當(dāng)APB 變化，且其它條件不變時(shí)，求PD 的最大值及相應(yīng)APB 的大小 .DCAPB19、如圖，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC =90，點(diǎn) D 是 BC 的中點(diǎn)作正方形 DEFG ，使點(diǎn) A 、 C 分別在 DG 和 DE 上，連接 AE 、 BG 試猜想線段 BG 和 AE 的數(shù)

14、量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論將正方形 DEFG 繞點(diǎn) D 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于等于 360），如圖，通過(guò)觀察或測(cè)量等方法判斷 （ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由若 BCDE2 ，在的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE 為最大值時(shí)，求AF 的值FGFGAAEBDCEBDC.八、綜合應(yīng)用20、已知：在 Rt ABC 中， ABBC ，在 Rt ADE 中， ADDE ，連結(jié) EC ，取 EC 的中點(diǎn) M ，連結(jié) DM 和BM 若點(diǎn) D 在邊 AC 上，點(diǎn) E 在邊 AB 上且與點(diǎn) B 不重合，如圖，探索 BM 、 DM的關(guān)系并給予證明； 如果將圖中的ADE 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45 的角，如圖，那么中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明BEBEMDMACACD圖 1圖221、已知：如