2022年二重積分的計(jì)算法教案

1、教 案參賽老師 : 職稱: 助教所在院系 : 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院所授課程 : 高等數(shù)學(xué)20XX 年 5 月第十章 重積分其次節(jié) 二重積分的運(yùn)算法（第 1 課時(shí)）教學(xué)目的： 懂得二重積分運(yùn)算公式導(dǎo)出的方法,懂得公式中符號的意義；嫻熟把握X- 型.區(qū)域與Y-型區(qū)域上的積分公式,并能依據(jù)條件挑選恰當(dāng)?shù)姆e分次序運(yùn)算二重積分重點(diǎn) ：X-型區(qū)域上二重積分的積分公式；依據(jù)條件挑選恰當(dāng)?shù)姆e分次序運(yùn)算二重積分.難點(diǎn) ：挑選合適的方法運(yùn)算二重積分.教學(xué)方法： 直觀教學(xué),啟示式講授.教學(xué)過程：一、利用直角坐標(biāo)系運(yùn)算二重積分1積分區(qū)域 D 的分類（1）積分區(qū)域yD 為 X-型區(qū)域xyay2x xy2 xODD1xyy1

2、xOxaxbb圖 1 圖 2 圖 1,圖 2 表示的區(qū)域都是X- 型區(qū)域 . y 軸的直線與D 的邊界的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過兩個(gè). X- 型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過D 的內(nèi)部平行于用不等式組表示為D：axb,1x y2x. （2）積分區(qū)域D 為 Y-型區(qū)域yx1y yx1 yddyDx2 y yDx2 y ccO圖 3 xO圖 4 x圖 3,圖 4 表示的都是Y-型區(qū)域 . Y-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過D 的內(nèi)部平行于y 軸的直線與D 邊界交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于兩個(gè)當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閅-型區(qū)域時(shí),即D cyd,1 x2 2二重積分運(yùn)算公式f x y d（1）積分區(qū)域D 為 X-型區(qū)域時(shí)D的運(yùn)算公式 . 圖 5 , 其面積為當(dāng)

3、fx,y0時(shí),由二重積分的幾何意義Df x y d的值等于以D 為底,以zf x y 為頂?shù)那斨w（圖5）的體積V. Vfx ,y d即D.過x軸上x 點(diǎn)作平行于yOz 的平面x , ax 0b . x 截 V 得一以1x 0,2x 0長為底 ,zf x 0, y 為曲邊的曲邊梯形A x 02x 0f x 0, y dy. 1x 0對xa b,A x 2 f x y dy. yzzfx,y2x yD1x 1 y依據(jù)平行截面面積已知的立體求體積的方法,可得Oa0 xbxVbA x dxb12 f x y dy dxEMBED Equation.DSMT4 aa bdx2xf , x y dy.

4、 a1 于是Df x y dbdx2xf , x y dy. ax1f x y d（2）積分區(qū)域D 為 Y-型區(qū)域時(shí)D的運(yùn)算公式Df x y dd2yf , x y dx dyc1 ddy2yf x y dxc1 說明 ：這是在f x y , 0的條件下得到的運(yùn)算公式, 但是對于一般的情形這個(gè)公式依然成立 . 當(dāng)f x y 在 D 上變號時(shí),由于就 . f x y , f x y , 2f x y , f x y , - , 2,記f x y , f x y , 2f x y , EMBED Equation.DSMT4 f2 , f x y , 2f x y , ,f x y , ,f2 ,

5、 x y 在 D 上非負(fù),f 1 , ,f2 , x y 在 D 上可以應(yīng)用上面的公式運(yùn)算f x y dxdyf x y dxdyf2 , x y dxdy于是DDD. 3例題應(yīng)用yd2 yx 及直線yx2所圍成的閉區(qū)域. 例 1. 運(yùn)算D,其中 D 是拋物線解：把D 看成 Y-型區(qū)域（圖6）,就yDD:y2xy22x2 yx 4,2 2yyDO,11 x1y21yd2dyy2ydx1y 22y y2y2dy1y3y2y42134942xy45xy圖 6 Dxy4 ,42 2另解：把D 看成 X-型區(qū)域（圖7）,就D 1:xy1xD2:xyx0 x1xxydydydOx1DD 1D2ydyx1

6、dxxydy4dx0 x1x2xyx,11 04y2xxdx14x24 dx1212294 圖 7 y 例 2.運(yùn)算二次積分1dx1sin2 y dyDsin2 y d11o x 0 x解：將所給的積分區(qū)域D 用不等式組表示D:0 x1,xy1畫出草圖（圖8）,改寫D為：0y1,0 xy圖 8 1dx1sin2 y dyDsin2 y d1dyysin2 y dxcos10 x002. 二次積分交換積分次序的步驟：（1）寫出積分區(qū)域D；（2）畫出草圖；（3）將 D 改寫為另一類型的不等式組,交換積分次序；例題反思 ：化二重積分為二次積分時(shí),為了運(yùn)算簡便,需要挑選恰當(dāng)?shù)亩畏e分次序；這時(shí),既要考慮積分區(qū)域D 的外形,又要考慮被積函數(shù)f x y 的特性；小結(jié) 直角坐標(biāo)系下運(yùn)算二重積分的步驟：一、畫出積分區(qū)域 D 二、挑選積分次序（依據(jù)：簡單積分；分塊少）三、定積分限定外限 域邊兩線夾（是常數(shù)）定內(nèi)限 域中一線穿如 D 為 Y-型區(qū)域：如 D 為 X- 型區(qū)域：左右夾,從下向上穿上下夾,從左向右穿