對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-對數(shù)的定律互化-詳盡的講解

1、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算I要點(diǎn)精析.對數(shù)的概念一般地，如果ax=N(a0,且awl),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=iogaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).說明：(1)實(shí)質(zhì)上，上述對數(shù)表達(dá)式，不過是指數(shù)函數(shù)y=ax的另一種表達(dá)形式，例如：34=81與4=log381這兩個式子表達(dá)是同一關(guān)系，因此，有關(guān)系式ax=N?x=logaN,從而得對數(shù)恒等式：alogaN=N.2)“l(fā)og”同“+”“x”“5”等符號一樣，表示一種運(yùn)算，即已知一個數(shù)和它的哥求指數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫對數(shù)運(yùn)算，不過對數(shù)運(yùn)算的符號寫在數(shù)的前面.(3)根據(jù)對數(shù)的定義，對數(shù)logaN(a0,且aw1)具有下列性質(zhì)：零和負(fù)數(shù)沒有對

2、數(shù)，即N0；1的對數(shù)為零，即loga1=0;底的對數(shù)等于1,即logaa=1.2.對數(shù)的運(yùn)算法則利用對數(shù)的運(yùn)算法則，可以把乘、除、乘方、開方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，反之亦然.這種運(yùn)算的互化可簡化計算方法，加快計算速度.(1)基本公式loga(MN)=logaM+logaN(a0,aw1,M0,N0),即正數(shù)的積的對數(shù)，等于同一底數(shù)的各個因數(shù)的對數(shù)的和.10gaM-=logaM-logaN(a0,a4,M0,N0),即兩個正數(shù)的商的對數(shù)，等于N被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù).logaMn=nlogaM(a0,a#,M0,nCR),即正數(shù)的哥的對數(shù)等于哥的底數(shù)的對數(shù)乘以哥指數(shù).(2)對數(shù)

3、的運(yùn)算性質(zhì)注意點(diǎn)必須注意M0,N0,例如loga(3)X(4)是存在的，但是loga(3)與loga(4)均不存在，故不能寫成loga(-3)X(-4)=loga(-3)+loga(-4).M防止出現(xiàn)以下錯誤：loga(MN)=logaMlogaN,loga(MN)=logaMlogaN,logalogaMlogaMn=(logaM)n3.對數(shù)換底公式在實(shí)際應(yīng)用中，常碰到底數(shù)不為10的對數(shù)，如何求這類對數(shù)，我們有下面的對數(shù)換底logcN公式：logbN=(b0,且bwl;c0，且cwl;N0).logcb證明設(shè)logbN=x,則bx=N.兩邊取以c為底的對數(shù),logcNlogcN得xlogcb

4、=logcN.所以x=即logbN=logcblogcb換底公式體現(xiàn)了對數(shù)運(yùn)算中一種常用的轉(zhuǎn)化，即將復(fù)雜的或未知的底數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的或需要的底數(shù)，這是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用.由換底公式可推出下面兩個常用公式：logbNlogNb=1(N0,且Nwl;(2)logbnNm=-logbN(N0；b0,且bwl;nw0,mCR)n典例剖析題型一正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)例J對于a0且awl,下列說法中，正確的是（）若M=N,則logaM=logaN；若logaM=logaN,則M=N;若logaM2=logaN2,則M=N;若M=N,則logaM2=logaN2.A.與B.與C.D.、解析在中，當(dāng)M=NW0

5、時，logaM與logaN均無意義，因此logaM=logaN不成立.在中，當(dāng)logaM=logaN時，必有M0,N0,且M=N,因此M=N成立.在中，當(dāng)logaM2=logaN2時，有M0,NW0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如，M=2,N=2時，也有l(wèi)ogaM2=logaN2,但MwN.在中，若M=N=0,則logaM2與logaN2均無意義，因此logaM2=10gaN2不成立.所以，只有成立.答案C點(diǎn)評正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件，使用運(yùn)算性質(zhì)時，應(yīng)牢記公式的形式及公式成立的條件.題型二對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用4例2求下列各式的值：21

6、0g32log3log385log53;9(2)lg25+21g8+lg5lg20+(lg2)2;log5y2log79:.log5310g7：；4分析利用對數(shù)的性質(zhì)求值，首先要明確解題目標(biāo)是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，才能使用性質(zhì)，再找真數(shù)間的聯(lián)系，對于復(fù)雜的真數(shù)，可以先化簡再計算.解(1)原式=21og32(log332log39)+310g323=21og325log32+2+3log32-3=-1.(2)原式=2lg5+2lg2+lg10lg(2X10)+(lg2)2=2lg(5X2)+(1-lg2)(lg2+1)+(lg2)2=2+1-(lg2)2+(lg2)2=3.1廠log522

7、log73log5V2log792-=1log5-log7/10g5310g743lg2lg3lg5lg73.lg31lg42lg53lg7點(diǎn)評對數(shù)的求值方法一般有兩種：一種是將式中真數(shù)的積、商、哥、方根利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將它們化為對數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的和、差、積、商運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、哥、方根，然后化簡求值.題型三對數(shù)換底公式的應(yīng)用4例3計算：(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).分析由題目可獲取以下主要信息：本題是一道對數(shù)化簡求值題，在題目中各個對數(shù)的底數(shù)都各不相同.解答本題可先通過

8、對數(shù)換底公式統(tǒng)一底數(shù)再進(jìn)行化簡求值.解方法一原式=log225log25log25+log24+log28glog54log5852+log525+log51252log25log25=3log25+2log22+3log22log522log523log522log553log55=3+1+log25(3log52)3log22=13log25=13.log25方法二原式=lg2lg125lg25+lg4lg5+lg8lg2lg4lg8lg5+lg25+lg12531g521g5lg5lg2+2lg2+3lg2lg22lg23lg2lg5+2lg5+3lg5131g5lg23lg23lg5=

9、13.點(diǎn)評方法一是先將括號內(nèi)換底，然后再將底統(tǒng)一；方法二是在解題方向還不清楚的情況下，一次性地統(tǒng)一為常用對數(shù)（當(dāng)然也可以換成其他非1的正數(shù)為底），然后再化簡.上述方法是不同底數(shù)對數(shù)的計算、化簡和恒等證明的常用方法.例4已知log(x+3)(x2+3x)=1,求實(shí)數(shù)x的值.錯解由對數(shù)的性質(zhì)可得x2+3x=x+3.解得x=1或x=-3.錯因分析對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)必須大于0且底數(shù)不等于1,這點(diǎn)在解題中忽略了.x2+3x=x+3,正解由對數(shù)的性質(zhì)知x2+3x0,x+30且x+3月解得x=1,故實(shí)數(shù)x的值為1.logal=0,logaa=1,考題費(fèi)析對數(shù)的定義及其性質(zhì)是高考中的重要考點(diǎn)之一，主要性質(zhì)有:a

10、logaN=N（a0,且awl,N0）.1.（上海高考）方程9x63x7=0的解是解析,.x-63x-7=0,即32x-63x-7=0.(3x7)(3x+1)=0,3x=7或3x=1(舍去).x=log37.答案log37TOC o 1-5 h z2.(遼寧高考)設(shè)g(x)=則gg二=.lnx,x0,2解析g=ln0,解析由題意得a3司，解得3a0,2.設(shè)a=log32,則log38210g36用a表示的形式是()A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a2D.a2+3a1答案A解析a=log32,log3821og36=31og322(1og32+1)=3a-2(a+1)=a-2.log56l

11、og67log78log89log910的值為()A.1B.lg5C-D.1+lg2lg5答案Clg6lg7lg8lg9lg10lg101解析厚式一lg5lg6lg7lg8lg9lg5一用5.4.已知loga(a2+1)loga2a0,貝Ua的取值范圍是()1A.(0,1)B.0,2C.2,1D.(1,+00)答案C解析由題意，得0a1,.a0,a#,loga(a2+l)loga2a,，0a1.，2a0,awl)在1,3上最大值與最小值之和為a2,則aTOC o 1-5 h z的值為()A.4B-C.3D.143答案D.若方程(1gx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7lg5=0的兩根為a,

12、3則a解于()A.1g71g5B.1g35C.351D.135答案D解析-.1ga+lg3=-(1g7+1g5)1=ig35=ig；r351.已知f(1og2x)=x,則f2=答案二2解析令log2x=則2-=x,221.f一21=2一2=2.+1)=8.log(41)=logrJ2-1)=-1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,lgx=2+0.7781,則x=答案0.06解析.m2=0.3010,lg3=0.4771,而0.3010+0.4771=0.7781,，lgx=2+lg2+lg3,即lgx=lg10+log182181+log18-9+lg6.lgx=lg(6X102

13、),即x=6X102=0.06.(1)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求10gq2y的值;(2)已知log189=a,18b=5,試用a,b表示log365.解(1)1gx+lgy=21g(x2y),.xy=(x2y)2,即x25xy+4y2=0.即(xy)(x4y)=0,解得x=y或x=4y,x0,又;y0,.a2y0,x2y0,-x=y,應(yīng)舍去，取x=4y.則logf2=logyJ2=logf24=-4=4.(2)/18b=5,.Jog185=b,又Jog189=a,log185blog365=lg1836log18(18X2)1+(1log189)2a.設(shè)a,b,c均為不等于1的

14、正數(shù)，且ax=by=cz,一+十=0,求abc的值.xyz解令ax=by=cz=t(t0且tw1),則有一=logta,=logtb,=logtc,xyz又一十一十一=0,.logtabc=0,，abc=1.xyz.已知a,b,c是aABC的三邊，且關(guān)于x的方程x22x+lg(c2b2)2lga+1=0有等根，試判定ABC的形狀.解,關(guān)于x的方程x22x+lg(c2b2)2lga+1=0有等根，A=0,即44lg(c2-b2)-2lga+1=0.即lg(c2b2)2lga=0,故c2b2=a2,a2+b2=c2,.XBC為直角三角形.講練學(xué)案部分2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（一）自主學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo).

15、理解對數(shù)的概念，能進(jìn)行指數(shù)式與對數(shù)式的互化.了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的意義.理解對數(shù)恒等式并能用于有關(guān)對數(shù)的計算.口自學(xué)導(dǎo)引.如果a（a0且awl）的b次哥等于N,就是ab=N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù),記作b=10gaN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).對數(shù)的性質(zhì)有：（1）1的對數(shù)為邃；（2）底的對數(shù)為1；（3）零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，log10N可簡記為1gN,logeN簡記為InN.若a0,且aw1,則ab=N等價于logaN=b.對數(shù)恒等式：alogaN=N（a0且a#）對點(diǎn)講練一、對數(shù)式有意義的條件例1求下列各式中x的取值

16、范圍：10g2（x10）;（2）log（x1）（x+2）;（3）log（x+1）（x1）2.分析由真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1可得到關(guān)于x的不等式（組），解之即可.解（1）由題意有x100,，x10,即為所求.x+20,（2）由題意有x-10且x1w1,x-2,即，x1且xw2.x1且xw2,(x1)20,(3)由題意有x+10且x+1司，解得x1且XW0,XW1.點(diǎn)評在解決與對數(shù)有關(guān)的問題時，一定要注意：對數(shù)真數(shù)大于零，對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1.變式遷移1在b=log(a-2)(5a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a5或a2B.2a5C.2a3或3a5D.3a0解析由題意得a20,a-

17、2w1.2a0)；(2)4-(log29-log25).2解原式=(alogab)logbClogcN=blogbClogcN=(blogbC)logcN=clogcN=N.2log299原式=2(l0g29-log25)=2=5點(diǎn)評對數(shù)恒等式alogaN=N中要注意格式：（1）它們是同底的；（2）指數(shù)中含有對數(shù)形式；（3）其值為真數(shù).變式遷移3計算：3log3/5+(，3)log3-.解原式=V5+32log35=部+(3log35)26一55.一般地，如果a（a0,aw1）的b次哥等于N,就是ab=N,那么b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).利用a

18、b=N?b=logaN（其中a0,al,N0）可以進(jìn)行指數(shù)與對數(shù)式的互化.對數(shù)恒等式：alogaN=N(a0且aw1).、選擇題卜列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是()A.100=1與igi=0B.271=1與log27333C.log3-=9與9-=3D.log55=1與51=5答案CTOC o 1-5 h z2.指數(shù)式b6=a(b0,bw1)所對應(yīng)的對數(shù)式是()A.log6a=aB.log6b=aC.logab=6D.logba=6答案D.若logxcJ5-2)=-1,則x的值為()A./5-2B./5+2C.0,awl,M0,N0,那么,loga(MN)=logaM+logaN；(2)l

19、oga-=logaM-logaN；TOC o 1-5 h zN-(3)logaMn=nlogaM(nR).logcb.對數(shù)換底公式：logab=.logca*對點(diǎn)講練一一、正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)例1若a0,awl,x0,y0,xy,下列式子中正確的個數(shù)有()logaXlogay=loga(x+y)；10gaX-logay=loga(X-y)；10ga-=logaX+logay；y10ga(Xy)=logaXlogay.A.0個B.1個C.2個D.3個答案AlogaXWlogaX,logaX是不解析對數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是把積、商、哥的對數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算.在運(yùn)算中要注意不能把對數(shù)的符

20、號當(dāng)作表示數(shù)的字母參與運(yùn)算，如可分開的一個整體.四個選項(xiàng)都把對數(shù)符號當(dāng)作字母參與運(yùn)算，因而都是錯誤的.點(diǎn)評正確理解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件.變式遷移1若a0且aw1,x0,nCN*,則下列各式正確的是（）1logaX=logaX(logaX)n=nlogaX(logaX)n=logaXn1D.logaX=loga-X答案二、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用計算:log535-2log5一十log57log51.8;3(2)2(lg、/2)2+lg/21g5+、/(lg、/2)2lg2+1;lgV27+lg8-lgrvT-lg1.2000(4)(lg5)2+lg2lg50.分析利

21、用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計算.9解(1)原式=10g5(5X7)2(log57log53)+log57log5一5=log55+log572log57+2log53+log572log53+log55=2log55=2.(2)原式=lgV2(2lgV2+lg5)+(lgV2-1)2=lg/(lg2+lg5)+1-lg2=lg2+1-lg/2=1.(3)原式=lg3+2lg21332lg3+3lg2-23lg3+6lg2-32(lg3+2lg21)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5)=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.點(diǎn)評要靈活運(yùn)用有關(guān)公式.注意公式的正用、逆

22、用及變形使用.變式遷移2求下列各式的值:10g535+2log2/2log550-log514;(2)(1-log63)2+log62log618-log64.解(1)原式=log5(5X7)2log22,+log5(52X2)log5(2X7)=1+log571+2+log52log52log57=2.(2)原式=log22+log62log6(3X6)Tog622=log62(log62+log63+1)+(210g62)=1.三、換底公式的應(yīng)用例3(1)設(shè)3x=4y=36,求的值；xy(2)已知log189=a,18b=5,求10g3645.解(1)由已知分別求出x和y.,-3x=36,

23、4y=36,-x=log336,y=log436,由換底公式得:log3636x=log363log363log36361y=,log364log3641=log3631y=log364,21.-_+_=2logxy363+10g364=log36(32X4)=log3636=1.(2).log189=a,18b=5,log185=b.log1845log18(9X5).log3645=”log1836log18(18X2)log189+log1851+log182a+b182-a1+log18一9利用對數(shù)的換點(diǎn)評指數(shù)式化為對數(shù)式后，兩對數(shù)式的底不同，但式子兩端取倒數(shù)后,底公式可將差異消除.變

24、式遷移3設(shè)log34log48log8m=log416,求m;(2)已知log1227=a,求log616的值.lg4lg8lgm解(1)利用換底公式，得m7T=2,lg3lg4lg8.lgm=2lg3,于是m=9.3lg3由10g國=a,得藏=a2alg2lg32a/lg3，.最;二4lg2.log616=lg3+lg22a+13a4(3-a)3+a.對于同底的對數(shù)的化簡常用方法是：“收”，將同底的兩對數(shù)的和（差）化成積（商）的對數(shù)；“拆”，將積（商）的對數(shù)拆成對數(shù)的和（差）.對于常用對數(shù)的化簡要充分利用“l(fā)g5+lg2=1”來解題.對于多重對數(shù)符號對數(shù)的化簡，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡求值.課時作

25、業(yè)一、選擇題.lg8+31g5的值為（）A.3B.1C.1D.3答案D解析1g8+31g5=1g8+1g53=1g1000=3.已知1g2=a,1g3=b,則log36等于（）a+ba+bA.aB.bCD.a+ba+b答案B解析1og36工=33二.1g31g3b.若lga,lgb是方程2x24x+1=0的兩個根，則lga2的值等于（）bA.2B-C.4D-24答案A1解析由根與系數(shù)的關(guān)系，得lga+lgb=2,lgalgb=2,lgr2=(iga-lgb)2b=(lga+lgb)241galgb=22-4x-=2.2TOC o 1-5 h z.若2.5x=1000,0.25y=1000,則I

26、1等于()xyAB.3C.-D.333答案A解析由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式：X=log2.51000,y=log0.251000,則一一=log10002.5log10000.25=log100010=.xy3.設(shè)函數(shù)f(x)=logax(a0，且aw1)，若f(x1x2x2005)=8,則f(x2)+f(x2)+f(x2005)的值等于()A.4B.8C.16D.2loga8答案C解析因?yàn)閒(x)=logax,f(XiX2-X2005)=8,所以f(x2)+f(x2)+f(x2005)=logax2+logax2+logax2005=2loga|xi|+2loga|X2|+2loga|X2005|

27、=2log目X1X2X2005|=2f(X1X2X2005)=2X8=16.二、填空題.設(shè)lg2=a,lg3=b,那么1g業(yè)8=a+2b1答案2-解析1g、/18=11g1.8=11g18=11g2779TOC o 1-5 h z221021011=2(1g2+1g9-1)=2(a+2b-1).若1ogaX=2,1ogbX=3,1ogcX=6,則1ogabcX的值為.答案111解析1ogabcX=1ogXabc1ogXa+1ogXb+1ogxC-1ogaX=2,1ogbX=3,1ogcX=6.1ogXa=,1ogXb=7,10gxe=236-10gabcX=111=1=1.已知1og63=0.

28、6131,1og6X=0.3869,則x=答案2解析由1og63+1og6X=0.6131+0.3869=1.得1og6(3x)=1.故3x=6,x=2.三、解答題.求下列各式的值:132421g石一31gY8+1g(2)(1g5)2+21g2(1g2)2解(1)方法一原式=1(51g221g7)4|1g22321+2(21g7+1g5)=lg2lg72lg2+lg7+2lg5111=lg2+lg5=2(lg2+lg5)1=/10方法原式=1g7lg4+lg7=lg(/#)=lg50=；(2)方法一原式=(lg5+lg2)(lg5-1g2)+21g2=lg101g-+1g4=1g-X4=lg1

29、0=1.方法二原式=(1g10-1g2)2+21g2-1g22=1-21g2+1g22+21g2-1g22=1.10.若26a=33b=62c,求證：1+2=1abc證明設(shè)26a=33b=62c=k(k0),那么6a=log2k,3b=log3k,2c=log6k,6=6loglog2kk2,13=3logk3,blog3k12一=2logk6.clog6k12.,一十一=6logk2+2X3logk3ab=logk(26X36)=6logk6=3X2logk6=,c即M2abc2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)p-要點(diǎn)精析.對數(shù)函數(shù)的概念形如y=logax(a0且aw1)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù).對于對數(shù)

30、函數(shù)定義的理解，要注意：(1)對數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)變化而來的，由指數(shù)式與對數(shù)式關(guān)系知，對數(shù)函數(shù)白自變量x恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值V,所以對數(shù)函數(shù)的定義域是(0,+00)；(2)對數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=logax中，logax前面的系數(shù)為1,自變量在真數(shù)的位置，底數(shù)a必須滿足a0,且a司；(3)以10為底的對數(shù)函數(shù)為y=lgx,以e為底的對數(shù)函數(shù)為y=lnx.對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：a10a1時，恒啟y0；當(dāng)0 x1時，恒啟y1時，恒啟y0；當(dāng)0Vx0函數(shù)在定義域（0,+00）上為增函數(shù)函數(shù)在定義域（0,+8）上為減函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系比較名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)=ax(a0,且a司)y

31、=logax(a0,且aw1)定義域(一00)+OO)(0,+)值域(0,+00)(100,+00)函數(shù)值變化情況a1時，1x0ax1x1；1x00a1時，logax0 x10 x1；00 x10a1時，y=ax是增函數(shù)；a1時，y=logax是增函數(shù);0a1時，y=logax是減函數(shù)0a0,即m、n范圍相同(相對于1而言)，則logmn0;(2)當(dāng)(m-1)(n-1)0,即m、n范圍相反(相對于“1”而言)，則logmn0.有了這個規(guī)律，我們再判斷對數(shù)值的正負(fù)就很簡單了，如log2-0等，一眼就看出來了！3典例剖析題型一求函數(shù)定義域例.1求下列函數(shù)的定義域：(i)y=log3x11(2)y=

32、I(a0，aw1).W-loga(x+a)分析定義域即使函數(shù)解析式有意義的x的范圍.解要使函數(shù)有意義，必須2x+30,x10,3x10,3x1W1同時成立，.x1.解得xx1,x-xw；.233定義域?yàn)?1,+8).(2)要使原函數(shù)有意義，需1loga(x+a)0,即loga(x+a)1時，0 x+aa,，一ax0.當(dāng)0aa,，x0.，當(dāng)a1時，原函數(shù)定義域?yàn)閤ax0；當(dāng)0Va0.點(diǎn)評求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題，首先要考慮：真數(shù)大于零,于1,若分母中含有x,還要考慮不能使分母為零.底數(shù)大于零且不等題型二對數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,例2log43,log34,log的大小順序?yàn)椋?443log34log

33、43log43log-log34loglog43log京log34log43(2)若a2ba1,試比較loga，logb,logba,logab的大小.ba(1)解析.log341,0log43log43log-.答案B(2)解.ba1.-.0ai.ba.logabn,且biab.logblogba,a故有l(wèi)oga-logb_logbai為增；0a0,aiwi,a20,azwi).當(dāng)aia21時，曲線yi比y2的圖象（在第一象限內(nèi)）上升得慢.即當(dāng)x1時，yiy2；當(dāng)0 xy2.而在第一象限內(nèi)，圖象越靠近x軸對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.當(dāng)0a2ai1時，yiy2；當(dāng)0 xy2即在第四象限內(nèi)，圖象越靠近x

34、軸的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小.loga2i,那么a的取值范圍是分析利用函數(shù)單調(diào)性或利用數(shù)形結(jié)合求解.解析i時，a-2.1.0a一2由loga-i時，顯然符合上述不等式，ai；當(dāng)0a1或0a1或0a1時，logax0?x1,logaX0?0X1;(2)當(dāng)0a0?0 x1,logax1.題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用,例4若不等式2x-logax0，當(dāng)xC0,1時恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.的圖象在0,一內(nèi)恒2一一一_1.要使不等式2x后,顯然這里0a一，即a一222a1時，顯然y20對xCR恒成立，即a0A044a1.錯因分析出錯的原因是分不清定義域?yàn)镽與值域?yàn)镽的區(qū)別.正解函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1

35、)的值域是R?真數(shù)t=ax2+2x+1能取到所有的正數(shù).1當(dāng)a=時，只要x一，即可使真數(shù)t取到所有的正數(shù)，符合要求;當(dāng)a制時，必須有a0A涮？a04-4a0?0a1.，f(x)的值域?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容在高考中考查的形式、地位與指數(shù)函數(shù)相似，著重考查對數(shù)的概念與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用.11.(廣東高考)已知函數(shù)f(x)=-的定義域?yàn)镸,g(x)=ln(1+x)的定義域?yàn)镹,則W-xMnN等于()B.x|x1C.x|-1x1D.?解析由題意知M=x|x-1.故MAN=x|-1x1.答案C.(湖南高考)下列不等式成立的是()log32log23log25log32log25

36、log23log23log32log25log23log25log23log22=1.又y=log3x在(0,+)上為增函數(shù)，.log32log33=1.log32log23log25.答案A.(全國高考)若xC(eT1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,則()A.abcB.cabC.bacD.bca1解析,一x1,-1lnx0.e令t=lnx,貝U1t0.-ab.c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t1),又一1t0,.0t+11,-2t-10,/.ca.cab.答案C自主訓(xùn)練一.已知函數(shù)f(x)=W+2x的定義域?yàn)榧螹,g(x)=ln(1x)的定義域?yàn)榧螻,則TOC

37、 o 1-5 h zMAN等于()A.x|x1B.x|x1C.x|2x1D.答案C1-x12已知函數(shù)f(x)=lgF，若峋=2,則f(a)等于()A-B.-C.2D.222答案B解析f(-a)=lg=lg7-a1一F一一2.3.已知a=log23,b=log32,c=logA.cbaB.abcC.bcaD.ca1,b=log323,則log32log3、/3=；而log42=log2y12=42,則a,b,c的大小關(guān)系是(),所以ab;1-a1a所以b一，c=一，即bc.從而abc.22.函數(shù)f(x)=lg|x四(A.奇函數(shù)，在區(qū)間(0十)上是減函數(shù)B.奇函數(shù)，在區(qū)間(0十)上是增函數(shù)C.偶函

38、數(shù)，在區(qū)間(8,0)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，在區(qū)間(8,0)上是減函數(shù)答案D解析已知函數(shù)定義域?yàn)?8,0)U(0,+8),關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，且f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),所以它是偶函數(shù).又當(dāng)x0時，|x|=x,即函數(shù)y=lg|x|在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù).又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=lg|x|在區(qū)間(一8,0)上是減函數(shù).函數(shù)y=ax與y=logax(a0,且a1)在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能為()C答案A解析方法一若0a1,則曲線y=ax上升且過(0,1),而曲線y=logax下降且過(1,0).只有選項(xiàng)A滿足條件.方法二注意到y(tǒng)=logax的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象

39、的表達(dá)式為y=logax,又y=logax與y=ax互為反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對稱)，則可直接選定選項(xiàng)A.設(shè)函數(shù)f(x)=log2a(x+1),若對于區(qū)間(一1,0)內(nèi)的每一個x值都有f(x)0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()1A.(0,+)B.2，+1c.2,id.0,2答案D解析已知一1x0,貝U0 x+11,又當(dāng)一1x0,即0 x+10,所以02a1,即0a1.若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(xeR)的部分對應(yīng)值如下表：x202f(x)0.69411.44則不等式10ga(x1)0的解集為答案x|1x2解析由題可知a=1.2,.Jogi.2(x-1)0,.log1.2(x1)10g1.21,解得

40、x0,即x1,，1x2.故原不等式的解集為x|1x2.函數(shù)y=logax(1x1,則函數(shù)y=logax在區(qū)間1,2上為增函數(shù)，其值域不可能為1,0;故0a1,此時當(dāng)x=2時，y取最小值1,即loga2=-1,得a1=2,所以a=；(3a1)x+4a,x1.已知函數(shù)f(x)=是實(shí)數(shù)集R上的減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取lOgaX,X/值范圍為11答案7,3解析函數(shù)f(x)為實(shí)數(shù)集R上的減函數(shù)，一方面，0a1且3a10,所以0aloga1,即a-因此滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為-a-.7310.已知f(x)=1+log2x(1x4),求函數(shù)g(x)=f2(x)+f(x2)的最大值和最小值.解言儀)的定義域

41、為1,4,g(x)的定義域?yàn)?,2.g(x)=f2(x)+f(x2)=(1+log2x)2+(1+log2x2)=(log2x+2)22,又1x2,，0W|og2x0,且a-)叫做對數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+8).對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義y=logaX(a0,且awi)底數(shù)ai0a0且awi）和指數(shù)函數(shù)y=ax_（a0且awl）互為反函數(shù).、對數(shù)函數(shù)的圖象例1下圖是對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象，已知a值取13,則圖象Ci,C2,3510TOC o 1-5 h zC3,C4相應(yīng)的a值依次是（）B.收4工33105c4內(nèi),3,3510D4,33105答案A解析方法一因?yàn)閷?shù)的底

42、數(shù)越大，函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離y軸的正方向，所以C1,C2,C3,431C4的a值依次由大到小，即C1,C2,C3,C4的a值依次為“3一，一，一.3510方法過(0,1)作平行于x軸的直線，與C1,C2,C3,C4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(a1,1),(a2,1),(a3,1),(a4,1)，其中al,a2,a3,a4分別為各對數(shù)的底，顯然a1a2a3a4，所以C1,C2,C3,C4的底值依次由大到小.點(diǎn)評函數(shù)y=logax(a0,且awl)的底數(shù)a的變化對圖象位置的影響如下：上下比較：在直線x=1的右側(cè)，底數(shù)大于1時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；底數(shù)TOC o 1-5 h z大于0且小于1時，底數(shù)越小，圖

43、象越靠近x軸.左右比較：(比較圖象與y=1的交點(diǎn))交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.變式遷移1借助圖象比較m,n的大小關(guān)系：若logm5logn5，貝Umn;(2)若logm0.5logn0.5，則mn.答案(1)、求函數(shù)的定義域例2求下列函數(shù)的定義域:(1)y=og2x；(2)y=og0.5(4x3);(3)y=log(x+1)(2-x).分析定義域即使函數(shù)解析式有意義的x的范圍.解(1)二.該函數(shù)是奇次根式，要使函數(shù)有意義，只要對數(shù)的真數(shù)是正數(shù)即可，定義域是x|x0.(2)要使函數(shù)y=log0.5(4x-3)有意義，必須log0.5(4x3)0=log0.51,.04x3W1.解

44、得xW1.4.定義域是xrx0 x1(3)由x+1，得xw0,2-x0 x2即0 x2或1x0,a司)的定義域.解loga(4x3)R.(*)當(dāng)a1時，(*)可化為loga(4x-3)SMogal,4x-31,x1.當(dāng)0alogal,-04x-31,xl時，函數(shù)定義域?yàn)?,+oo),當(dāng)0Va1時，函數(shù)定義域?yàn)?,14三、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3比較大?。?i)iog0.81.5與log0.82;(2)log35與log64.分析從比較底數(shù)、真數(shù)是否相同入手.解(1)考查對數(shù)函數(shù)y=logo.8X在(0,十)內(nèi)是減函數(shù)，.1.5log0.82.(2)log35和log64的底數(shù)和真數(shù)都不相同，找出中間量“搭橋”，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.log35log33=1=log66log64,.log35log64.點(diǎn)評比較兩個對數(shù)值的大小，常用