福建省長(zhǎng)泰一中高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案《空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算》_第1頁
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1、鑼點(diǎn)亮心燈/(AvA)照亮人生.鑼第2課時(shí)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)設(shè)a=(玄1,曰2,日3),b=(bi,b2,b3)ab=a=-ab=.aIIb=;a_b:二設(shè)A=(xi,yi,Zi),B=(X2,y2,Z2)AB=AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為典型例1.若=b(23:5(1)若dwdD,求實(shí)數(shù)k的值;若左D丄心一3d求實(shí)頻;:的值;若|玄-耳取得最小值,求實(shí)數(shù);:的值+a變式訓(xùn)練1.已知O為康點(diǎn),向g0A=(3i:0.11.OB=(-14*2)tOCOABCffOA,求ACTOC o 1-5 h z解:設(shè)OC=:x,y,z,BC=:x1,y-1,z-2,I),即3x+z=0,x+1=3兀,y-1=0,

2、z-2=.OC_OA,BCIIOA,二OCOA=0,BCOAR,3xz=0,x1,y-1,z-23,0,17211解此方程組,得x=_,y=1,z=,扎=一101010例2.如圖,直三棱柱ABCABC,底面-ABC中,CACB=1,BCA-90,棱AAi=2,MN分別AB、AlA是的中點(diǎn).求BM的長(zhǎng);求cosBA1,CB1的值;求證:解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O_xyz.依題意得B(0,1,0),M(1,0,1).BM(10)2(01)2(10)2二3.依題意得A(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B(0,1,2).BA1=(1,1,2),CB;=(0,1,2),BA1C

3、B1=3,|bA1=%:6,CB=弱cos叮BA1,CB1BA1CB1730證明:依題意得C(0,0,2),汕舄,2),二心(71,73=坍,0).11.A|BGN0=0”A1B_C1N22變式訓(xùn)練2.在四棱錐p-ABCD中,底面ABCD為矩形,処猿尹丄底面ABC)A3=忑,BC=bPA-2.E為PD的中點(diǎn).卩11-在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)X,便XE丄面PAG;并求出V點(diǎn)到AB和衛(wèi)的距禹求中飾點(diǎn)丫到平面PC的距離心解=H;建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-3D?,則扣BsC、DsPsE的坐標(biāo)分別是心屯如B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、P(o,0,2)、E(0,1,1),依題設(shè)N(x,0,

4、z),則ne=(x,2,1z),由于NEL平面PACNEAP=0-NEAC=0z1=0用昌91(A,2,1J)(0,0,2)71廠=(A,2,1J)(、3,1,0)即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(;,0,1)從而N到ABAP的距離分別為1,63.設(shè)N到平面PAC的距離為d,則d=|NANE|NE|I.31,0J)6,2,0)I1(-二,0)1例3.如圖,在底面是棱形的四棱錐P-ABCD中,.ZABC=60,PA=AC=a,PB=PD=2a,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=證明PA_平面ABCD;求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角1的大??;在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF/平面AEC?證明你的結(jié)論.(1)證明

5、略;易解得V-30;解(1)解:PEDBC以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線ad,ap分別為y軸、z軸,過A點(diǎn)垂直于平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為3i3iA(0,0,0),B(2a,-2a,0),C(2a,2a,0)D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,2a,1a)-3所以AE.(0,2a,1a),33“.31AC=(2a,2a,0),AP=(O,O,a),P=3a,la,-a)22BP=(-日冷日占),設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn),PF,=XfC=(f翩舟加,“),其中0龍九d,31112貝廿BF=BP+PF=(a(k_1),_a(1+力,a(1勸.令BF=A

6、C+AE得Ja(1十爪=-a+_a扭F是PC的中點(diǎn)時(shí),解得.叮2;,即=2時(shí),bf一2ac2ae.亦即BF,AC,AE共面,又BF二平面AEC,所以當(dāng)F是PC的中點(diǎn)時(shí),BF/平面AEC.pAB=4,BC例4.如圖,多面體是由底面為ABCD勺長(zhǎng)方體被截面AEF(所截而得,其中1,BE=3,CF=4.求EF和點(diǎn)G的坐標(biāo);求GE與平面ABCD所成的角;求點(diǎn)C到截面AEFG勺距離.解:(1)由圖可知:A(1,0,0),B(1,4,0),E(1,4,3),F(0,4,4)二EF=(_1,0,1)又AG=EF,設(shè)G(0,0,z),則(1,0,z)=(1,0,1)z=1G(0,0,1)平面ABCD勺法向量D

7、G=(0,0,1).GE=(1,4,2),設(shè)GE與平面ABCD成角為R則DGGE|DG|GE|_221-21v-arcsin22121設(shè)n0丄面AEFGn0=(X。,y。,Z)Tn丄AG,n丄AE,而AG=(1,0,1),AE=(0,4,3)0七0=04y址0=0X0=Z03yZ0、4-n=(z.4Z0z)取Z0=4,則no=(4,-3,4)CF.(0,0,4).dJCFn0|1641Ino|41164141變式訓(xùn)練4.如圖四棱錐PABCDb,底面ABC是平行四邊形,PGL平面ABCD垂1足為G,G在AD上,且P*4,AGGD,BG丄GCGB=GC=2,E是BC的中點(diǎn).3求異面直線GE與PC所

8、成的角的余弦值;求點(diǎn)D到平面PBG的距離;即點(diǎn)C到截面AEFG的距離為PF若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn),且DF丄GC求-的值.解:(1)以G點(diǎn)為原點(diǎn),GB、GC、GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(2,0,0),Q0,2,0),R0,0,4),故E(1,1,0),GE=(1,1,0),PC=(0,2,4)ocos:::GE,PC=GE2=10,|GE|PC|塔2%2010GE與PC所成的余弦值為(2)平面PBG的單位法向量-33GDADBC=(-441010.n=(0,1,0)3,3,0),22點(diǎn)D到平面PBG的距離為|GDn|=2.33設(shè)F(0,y,z),則DFW,y,卄(-2,2,y-3,z)oDF_GC,二DFGC=0,33即(3,y-3,z)(0,2,0)=2y-3=0,223-3-y,又PF二,PC,即(0,z4)=入(0,2,4),z=1,22331故F(0,1),PF=(0,-3),FC=(0,-1)222小結(jié)歸對(duì)于以下幾類立體幾何問題:(1)共線與共面問題;(2)平行與垂直問題;(3)夾角問題;(4)距離問題;(5)探索性問題.運(yùn)用向量來解決它們有時(shí)會(huì)體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢(shì)用空間向量解題的關(guān)鍵步

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