電動力學(xué)習(xí)題解答6

1、第 頁第六章狹義相對論證明牛頓定律在伽利略交換下是協(xié)變的，麥克斯韋方程在伽利略變換下不是協(xié)變的。證明：根據(jù)題意，不妨分別取固著于兩參考系的直角坐標(biāo)系，且令=0時，兩坐標(biāo)系對應(yīng)軸重合，計時開始后，工系沿X系的x軸以速度v作直線運動，根據(jù)伽利略變換有：x二xvt，y=y，z二z，t二t1)牛頓定律在伽利略變換下是協(xié)變的TOC o 1-5 h zd2xd2x以牛頓第二定律F=m為例，在X系下，F(xiàn)=m-dt2dt20 x二xvt，y=y，z=z，t二td2xd2x,y,zd2x+vt,y,zd2x二F=m=m=m=m=F HYPERLINK l bookmark18 o Current Documen

2、t dt2dt2dt2dt2可見在工系中牛頓定律有相同的形式F=煜，所以牛頓定律在伽利略變換下是協(xié)變的。2)麥克斯韋方程在伽利略變換下不是協(xié)變的以真空中的麥?zhǔn)戏匠蘶xe=dB/at為例，設(shè)有一正電荷q位于0點并隨z系運動，在z系中q是靜止的，故：E=qe，4ksr2r0B=0于是方程vxE=aB/at成立，將(1)寫成直角分量形式：qxyzE=e+e+4兀*0(x2+y2+z2)32x(x2+y2+z2)32y(x2+y2+z2)32由伽利略變換關(guān)系，在工中有：1)2)ezqxvtye+e4脫0(xvt)2+y2+z232x(xvt)2+y2+z232y匸e(xvt)2+y2+z232z.vx

3、E=旦4兀*0(xvt)2+y2+z2(yz)e+(zx+vt)e+(xvty)exyz可見VxE不恒為零。又在工系中觀察，q以速度ve運動，故產(chǎn)生電流丿=qve，于是xx有磁場B=卩qv/2兀R,(R是場點至ix軸的距離)此時，有-SB/at=0，于是0VxE豐SB/at故麥克斯韋方程在伽利略變換下不是協(xié)變的。設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長度均為，它們以相同速率v相對于某一參考系運動,但運動方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上測量另一根尺的長度。1)解：根據(jù)相對論速度交換公式可得Z系相對于Z的速度大小是21v=2v/(1+v2/c2)在2系中測量2系中靜長為0l的尺子的長度

4、為120l=lv1-v2/c2(2)0將(1)代入(2)即得：/=/(1-V2/c2)/(1+V2/c2)(3)0此即是在2系中觀測到的相對于2靜止的尺子的長度。12靜止長度為I。的車廂，以速度v相對于地面S運行，車廂的后壁以速度u0向前推出一個小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運動時間。解：根據(jù)題意取地面為參考系S,車廂為參考系S，于是相對于地面參考系S,車長為l=l-v1V2/c2，(1)0車速為V，球速為u=(u+v)/(1+uV/c2)(2)00所以在地面參考系S中觀察小球由車后壁到車前壁uAt二VAt+1所以At=l/(uv)(3)Al(1+uV/c2)將(1)(2)代入(3)

5、得：At=弋0(4)uJ1V2/c24.一輛以速度v運動的列車上的觀察者，在經(jīng)過某一高大建筑物時，看見其避雷針上跳起0一脈沖電火花，電光迅速傳播，先后照亮了鐵路沿線上的兩鐵塔。求列車上觀察者看到的兩鐵塔被電光照亮的時刻差。設(shè)建筑物及兩鐵塔都在一直線上，與列車前進(jìn)方向一致。鐵塔到建筑物的地面距離都是l0。解：取地面為靜止的參考系Y，列車為運動的參考系。取x軸與X軸平行同向，與列車車速方向一致，令t=0時刻為列車經(jīng)過建筑物時，并令此處為Y系與的原點，如圖。在Y系中光經(jīng)過t=l/c的時間后同時照亮左0右兩塔，但在E系中觀察兩塔的位置坐標(biāo)為,lVtl0=0C右/*1/jc=7OXjz.1A7x=0=.

6、0(1一V/c)右1一V2/c2.1一V2/c2lVtl0一=0X=0=.0(1+V/c)左：1V2/c2v1V2/c2l0(1v/c),d=左即：d=r右J1一V2/c2l(1+V/c)1一V2/c2時間差為dAt=左右=cd2Vl0cc2；1V2/c2有一光源沾接收器R相對靜止，距離為0,S-R裝置浸在均勻無限的液體介質(zhì)(靜止折射率n)中。試對下列三種情況計算光源發(fā)出訊號到接收器收到訊號所經(jīng)歷的時間。液體介質(zhì)相對于S-R裝置靜止;體沿著S-R連線方向以速度v運動；液體垂直于S-R連線方向以速度v運動。解：(1)液體介質(zhì)相對于S-R裝置靜止時，nlAt=o1c液體沿著S-R連線方向以速度v運

7、動時，取固著于介質(zhì)的參考系為工，工系沿x軸以速度v運動，在工系中測得光速在各個方向上均是c/n,由速度變換關(guān)系得在工系中沿介質(zhì)運動方向的光速為：.c/n+vv=1+v/cn二R接收到訊號的時間為(1+v/cn)lAt=o2c/n+v液體垂直于S-R連線方向以速度v運動，取相對于S-R裝置靜止的參考系為工系，相對于介質(zhì)靜止的系為Z系，建立坐標(biāo)系如圖。在工系中u=一vxu=*(c/n)2-v2yL在工系中測得y方向上的速度為:v(c/n)2-v2-1-v2/c2u1v2/c2(c/n)2v2卡1v2/c21+(-v)v/c2u=-y1+uv/c2xAlV1-v2/c2At=*3(c/n)2-v2在

8、坐標(biāo)系丫中，有兩個物體都以速度u沿x軸運動，在S系看來，它們一直保持距離l不變，今有一觀察者以速度v沿X軸運動，他看到這兩個物體的距離是多少？解：根據(jù)題意，取固著于觀察者上的參考系為系，又取固著于AB兩物體的參考系為S系.在2中,AB以速度u沿x軸運動，相距為I；在丫系中,AB靜止相距為lo，有：l=l：1-U2/C20l=L0-u2/c2又2系相對于2以速度卩沿X軸運動，2系相對于2系以速度u沿x軸運動，由速度合成公式2系相對于2系以速度u-vv=1-uv/c2沿X軸運動，所以，在2系中看到兩物體相距Il1v2/c2l=l1-v2/c2=01一uv/c2一把直尺相對于工坐標(biāo)系靜止，直尺與x軸

9、交角今有一觀察者以速度v沿x軸運動，他看到直尺與X軸交角0有何變化?解：取固著于觀察者上的參考系為在E系中l(wèi)=lcos0，l=lsin0 x,y在X系中l(wèi)=l1v2/c2=lcos0：lv2/c2xxl=l=lsin0yytg0=l/1=tg01-v2/c2yx解：設(shè)X系中P(x,y,z)點與X系中的Q(x,y,z)4)兩個慣性系X和X中各放置若干時鐘，同一慣性系的諸時鐘同步。X相對于X以速度v沿x軸方向運動。設(shè)兩系原點相遇時，=t：=0。問處于X系中某點(x,y,z)處的時鐘與X系中何處時鐘相遇時，指示的時刻相同?讀數(shù)是多少？點相遇時,兩系的鐘讀數(shù)分別為t和t。首先，要相遇必定滿足：y=y，

10、z=z；其次，在X系看來，相遇時：1)2)3)x=x.1一v2/c2+vt在X系看來，相遇時：x=xV1一v2/c2一vt并且t=t將(2)、(3)代入(1)得:x=(c2/v)(1v1v2/c2)t5)又由(2)可得：x=(c2/v)(1v2/c21)t=x將x=x用于(1)或(2)得P、Q相遇的時刻為：t=t=(x/v)(1+dv2/c2)9.火箭由靜止?fàn)顟B(tài)加速到v=J0.9999c，設(shè)瞬時慣性系上加速度為I諛=20m-s-2,問按照靜止系的時鐘和按火箭內(nèi)的時鐘加速火箭各需要多少時間?解:(1)在靜止系中加速火箭，令靜止系為X系,瞬時慣性系為X系，且X相對于X系的速度為u由題意可知v,同向

11、，令此方向為x軸方向，由x方向上的速度合成得到火箭相對于X系的速度為：v+uv=1+uv/c2其中v是火箭相對于X系的速度。所以在X系中火箭的加速度為TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark94 o Current Document a=dv/dt=a(1一u2/c2)32(1+uv/c2)-2(1)a=dv/dt HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 本題中a=20m-s-2，而X系相對于火箭瞬時靜止，即u=v，v=0，代入(1)得dv/dt=a(1一v2/c2)32(2) HYPERLINK l bookmark10

12、0 o Current Document (1一v2/c2)-32dv=Jadt(3)0=at1v2/c2十100409999c4756仕t=47.56年a;1v2/c220在Z系看來，火箭相對于S系的加速度為dv/dt=a(1一u2/c2)(1+uv/c2)-2=a(1一v2/c2)4).J(1-v2/c2)-idv=Jadt5)0cc+vln=at2cvln竺=2.52年2a1、0.9999,c、c+vt=ln2acv10.一平面鏡以速度v自左向右運動，一束頻率為，與水平線成0夾角的平面光波自右00向左入射到鏡面上，求反射光波的頻率血及反射角仇垂直入射的情況如何？解：取相對于平面鏡靜止的參

13、考系為S系，取靜止系為Z系并令入射光線在平面xoy內(nèi)，則k=kcos0，k=ksin0，k=0，=ix0iy0izi0腳標(biāo)i代表入射光。由變換關(guān)系得S系中：k/=Y(kcos0co)；k=k=ksin0；ix0c20iyiy0k=k=0；o=Yo-v(一kcos0)izizi00Q若平面鏡水平放置，在S系中平面鏡靜止，由反射定律可得波矢k的y分量改變方向，其它分量及頻率均不變，即：k=k=Y(kcos0一o)；rxix0c20k=k=0；o=o=丫(o+vkcos0)rzizri0腳標(biāo)r代表反射光。由變換關(guān)系得S系中：vk=k=ksin0；ryiy0k=Y(k+)=kcos0；k=k=ksin

14、0；0ryryk=k=0；o=y(o+vk)=orzrzrrrx0所以，在S系中觀察，反射角等于入射角，o=o=o；如果垂直入射，0=兀/2,ir00結(jié)論不變。Q若平面鏡豎直放置，在S系中由反射定律可得波矢k的x分量改變方向，其它分量及頻率均不變，即：k=k=y(kcos0+o)；k=k=ksin0；rxix0c20ryiy0k=k=0；o=o=y(o+vkcos0)rzizri00代入逆變換關(guān)系，得承中的反射光線滿足：k=y(k+一o)=yy(kcos0+一o)+一y(o+vkcos0)rxrxc2r0c20c200rxrxc2r=Y2(kcos0+kcos0)；0c20c20c20k=k=

15、ksin0；k=k=0；ryry0rzrz=Y(+vk)=Y丫(+vkcos0)+vy(kcos0+)rrrx000c20=y2(+vkcos0+vkcos0+)000c20將k=w/c及0=v/c用于以上各式，可得0w=y2w(1+0cos0)+0(cos0+0)r000k=y2k(0+cos0)+0(1+0cos0)rx00tan0=krykrxsin0=y2(0+cos0)+0(1+0cos0)00當(dāng)01時，sin0q0,cos0q1，由此可得0000000qy2(1+0)2wuwy2(1+0)2r0如果垂直入射，0=0，于是丫系中觀察到：0=0=0；w=wy2(1+0)2TOC o 1

16、-5 h z0rir011.在洛侖茲變換中，若定義快度y為tanhy=0，(1)證明洛侖茲變換矩陣可寫為證明：(1)洛侖茲變換矩陣為ry00i0ya=0100|!V0010；-i0y00yJ據(jù)定義，y=111對應(yīng)的速度合成公式0=席可用快度表示為y=y+y-v102v1(tanhy)2V1(shy/chy)20y=tanhy-chy=shy，將它們代入(1)式即得chy00ishy、0100chyv(chy)2(shy)2=chy，chy00ishy、0100|!V=0010ishy00chy丿TOC o 1-5 h za=A0010、一ishy00chy丿(2)速度合成公式0=二；0可改寫為,tanhy+tanhy,z.“、tanhy=tanh(y+y)1+tanhy-tanhy所以y=y+y12.電偶極子p0以速度V作勻速運動，求它產(chǎn)生得電磁勢和場,A,E,B。解：選隨著電偶極子一起運動的參考系為Z系,在Z系上觀察時，p靜止，因而只有靜電0場,其電磁勢為：，1P-RAn0=0,A=04ksR30電磁場為：E=3CP0R)R