2022-2023學年人教A版必修第一冊 第四章 4.4.3不同函數(shù)增長的差異 學案

1、第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)4.4.3不同函數(shù)增長的差異素養(yǎng)導引1.結合現(xiàn)實情境中的具體問題,利用計算工具,比較對數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異(直觀想象)2.理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術語的現(xiàn)實含義(數(shù)學抽象)三種函數(shù)的性質及增長速度比較指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一元一次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax QUOTE a1 eq blc(rc)(avs4alco1(a1) y=logax QUOTE a1 eq blc(rc)(avs4alco1(a1) y=kx QUOTE k0 eq blc(rc)(avs4alco1(k0) 單調性在 QUOTE 0,+ eq blc(

2、rc)(avs4alco1(0，) 上單調遞增圖象(隨x增大)趨向于和x軸垂直趨向于和x軸平行呈直線上升增長速度(隨x增大)y的增長速度越來越快y的增長速度越來越慢y的增長速度不變歸納總結總會存在一個x0,當xx0時,axkxlogax【批注】關于三種函數(shù)的增長速度：(1)隨x的增大，y增長的速度快慢對應圖象的“陡”“緩”；指數(shù)型函數(shù)增長的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”；對數(shù)型函數(shù)增長的速度越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”；函數(shù)值的大小不等同于增長速度大小，數(shù)值大不一定增長速度大，增長速度體現(xiàn)在函數(shù)值的變化趨勢上(2)使函數(shù)值相等的自變量的值可視為臨界點，因此可以理解為自變量足夠大時一定會

3、出現(xiàn)x0.當然x0不唯一，比x0大的任意一個實數(shù)也可以作為x0.診斷下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()Ay6xBylog6xCyx2 Dy6x【解析】選B.四種函數(shù)增長速度中，對數(shù)函數(shù)的增長速度最慢學習任務一函數(shù)增長速度的差異(數(shù)學抽象)1下列函數(shù)中，增長速度最快的是()Ay2 022xBy eq f(1,2 022) exCylog2 020 x Dy2 022【解析】選B.指數(shù)函數(shù)的增長速度最快2在同一坐標系中，畫出函數(shù)yx5和y2x在(0，)上的圖象，并比較x5與2x的大小【解析】函數(shù)yx5與y2x的圖象如圖所示：當00)的增長特點是直線上升，其增長速度不變(2)指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)

4、模型yax(a1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，形象地稱為“指數(shù)爆炸”(3)對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型ylogax(a1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩(4)冪函數(shù)模型：冪函數(shù)yxn(n0)的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間學習任務二函數(shù)增長速度差異的應用(直觀想象、數(shù)學運算)角度1求范圍【典例】(多選題)如圖，能使不等式log2xx22Bx4C0 x2 D2x4或0 x2時，符合不等式log2xx2 lg xB2xlg xC2xlg x Dlg x2x【解析】選A.結合y2x，y及ylg x的圖象易知，當x(0，1)時，2x

5、lg x. (2)已知1aa2aB2a0.2aaCa0.2a2a D2aa0.2a【解析】選A.因為1a0，故函數(shù)yxa在(0，)上單調遞減，因為0.2 eq f(1,2) a2a.關于函數(shù)增長速度的應用(1)準確作圖是解題的關鍵，一是區(qū)別函數(shù)不同的增長速度；二是注意兩個函數(shù)的交點，無法求出的可以用字母代替；(2)利用圖象高低，可以求出滿足不等式的自變量的范圍，或者直觀比較一些無法計算的函數(shù)值的大小已知函數(shù)f(x)2x和g(x)x3，在同一坐標系下作出它們的圖象，結合圖象比較f(8)，g(8)，f(2 022)，g(2 022)的大小【解析】列表：x10123f(x) eq f(1,2) 1248g(x)101827描點、連線，得如圖所示圖象：設函數(shù)f(x)2x對應的圖象為C2，函數(shù)g(x)x3對應的圖象為C1.因為g(1)1，f(1)2，g(2)8，f(2)4，g(9)729，f(9)512，g(10)1 000，f(10)1 024，所以f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12，9x210，所以x18x22 02