空間向量與空間中的角,教學(xué)設(shè)計(jì)

1、2020年9月濱州市高三數(shù)學(xué)教學(xué)研討會(huì)觀摩課教案|空間向量與空間的角山東省北鎮(zhèn)中學(xué)邵春成2020年9月21日空間向量與空間中的角一、高考考綱要求：能用向量方法解決異面直線的夾角、線面角、面面角問(wèn)題體會(huì)向量法在立體幾何中的應(yīng)用二、命題趨勢(shì)：在高考中，本部分知識(shí)是考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要考查異面直線所成角、線面角、面面角的計(jì)算，屬中檔題，綜合性較強(qiáng)，與平行垂直聯(lián)系較多.三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能用向量法熟練解決異面直線的夾角、線面角、面面角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用；過(guò)程與方法：通過(guò)向量這個(gè)載體，實(shí)現(xiàn)“幾何問(wèn)題代數(shù)化”的思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力；情感態(tài)

2、度價(jià)值觀：通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，進(jìn)一步讓學(xué)生感受和體會(huì)空間直角坐標(biāo)系，方向向量，法向量的魅力.四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：用向量法求空間角線線角、線面角、二面角；難點(diǎn)：將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.五、教學(xué)過(guò)程一)高考再現(xiàn)：師：上課；生：起立；師：同學(xué)們好！生：老師好！師：我們都知道“向量是工具”，空間向量除了能夠用來(lái)研究空間點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系外，更是我們研究、求解空間中的角的重要工具。這節(jié)課我們一起來(lái)研究“空間向量與空間中的角”，首先我們看一下近幾年高考都考了什么！PPT投影近幾年立體幾何高考題：(2015全國(guó)I卷理18題)如圖，四邊形ABCD為菱形，ZABC=120,E,F是平面AB

3、CD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,AE丄EC.證明：平面AEC丄平面AFC；求直線AE與直線CF所成角的余弦值.(2018全國(guó)I卷理18題)如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF丄BF.證明：平面PEF丄平面ABFD；求直線DP與平面ABFD所成角的正弦值.4.（2017全國(guó)I卷理18題）如圖，在四棱錐P一ABCD中，AB/CD，且ZBAP=ZCDP=90.證明：平面PAB丄平面PAD；若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90,求二面角APBC的余弦值.OC（2019全國(guó)I卷理第1

4、8題）如圖，直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形,AA=4,AB=2,ZBAD=60,E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN平面CDE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值.（2018全國(guó)I卷文10題）在長(zhǎng)方體ABCD-A占CR中,AB=BC=2,Aq與平面BBC所成的角為30,則該長(zhǎng)方體的體積為（）A.8B.6V2C.8V2D.8V37.（2018年全國(guó)II卷理20題）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2叮2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn)（1）證明：PO丄平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求直線PC與平面PAM所成角的

5、正弦值C8.（2020全國(guó)新高考1卷第20題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD丄底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.（1）證明：l丄平面PDC；（2）已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn)，求直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.發(fā)現(xiàn)：直接求解線面角、二面角的大小或者余弦值、正弦值；求線面角、二面角的余弦值（正弦值）的最值；已知線面角、二面角的角度，求未知的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步求解幾何體的其他量。（約3分鐘）（二）題組教學(xué)師：針對(duì)以上問(wèn)題，我們發(fā)了學(xué)案，下面我們一起來(lái)研究！首先我們一起看再現(xiàn)型題組，請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)說(shuō)一下1題的答案和做法。（分別找三位學(xué)生回答再現(xiàn)型題組中的三個(gè)小題

6、，并簡(jiǎn)要闡述每個(gè)題的做法。）再現(xiàn)型題組1在如圖所示的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為（）A.10B.20C.20D.102.已知向量m，n分別是直線l和平面a的方向向量、法向量，若cosm,n=*，則l與a所成的角為（）A30B60C120D1503已知兩平面的法向量分別為m=（0丄0）,n=（0丄1）,貝V兩平面所成的二面角的大小為（）A.45。B135。C45?；?35D90每道題解答完后,師生共同總結(jié)、歸納、整理出三個(gè)角的向量解法及公式（用PPT把總結(jié)的結(jié)論投影）：（大約10分鐘）規(guī)律升華：1兩條異面直線所成的角的求法設(shè)兩條異面直

7、線a,b的方向向量為a,b,6為直線a,b所成的角，則cos0=2直線和平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面a的法向量為n,直線l與平面a所成的角為6,則有sin6=cos（a,=|a-n”n3求二面角的大小n1,n2分別是二面角alp的兩個(gè)半平面a,的法向量，則二面角的大小6=g,nj（或ng,nj）則有/、n-n2nn112cos6=coscos6=cos：；n,n?=12呻In2師：下面，請(qǐng)同學(xué)們跟我一起來(lái)看一看咱們班一位同學(xué)做的解答，一邊看一邊點(diǎn)評(píng)。特別注意一下題的解答的規(guī)范性，尤其是（3）二面角的求解用的什么方法（定向法，還是觀察法）。（大約10分鐘）鞏固型題組如圖，已知:在

8、直角梯形OABC中,OA/BC,ZAOC二90,SO丄面OABC,S且OS=OC=BC=1,OA=2.求:（1）異面直線SA和OB所成的角的余弦值;（2）OS與面SAB所成角J的正弦值；（3）二面角B-AS-O的余弦值.師：下面大家現(xiàn)場(chǎng)作一下變式。（找一位同學(xué)到黑板上板演）CB2兀變式：已知四邊形OABC為梯形，OA/BC,ZAOC=丁,SO丄平面OABC,且os=OC=BC=1,OA=2.求：二面角A-SB-C的余弦值.老師再適當(dāng)點(diǎn)評(píng)，教師通過(guò)課堂巡視或提問(wèn)了解學(xué)生情況，發(fā)現(xiàn)個(gè)別問(wèn)題及時(shí)解決，共性問(wèn)題集體解決，先由上黑板板演的學(xué)生說(shuō)一下自己的解題過(guò)程，讓學(xué)生發(fā)表不同看法，然后教師點(diǎn)評(píng)、精講。

9、(約10分鐘)。師：1.投影幾位同學(xué)做的例題中的不同結(jié)果，與學(xué)生們討論并確定出最好的求解方案；2.學(xué)生板演、教師點(diǎn)評(píng)變式，著重強(qiáng)調(diào)建系、點(diǎn)的坐標(biāo)的給出以及向量法求解二面角的兩種不同的方法觀察法和定向法。提高型題組(先有學(xué)生稍作思考，就由教師精講(約8分鐘(2018年全國(guó)2卷理)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2x2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).證明：PO丄平面ABC；若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面PAM所成角的正弦值.O反饋型題組學(xué)生通過(guò)對(duì)這組題目的解答，鞏固課堂學(xué)習(xí)效果，發(fā)現(xiàn)自己學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，目的在于全面反饋課堂教學(xué)效果。這組題目一般

10、可由學(xué)生課下獨(dú)立完成)1.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD=3,則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值.2如圖，在正四棱錐SABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且SO=OD，則直線BC與平面PAC所成角為.3.(2020年天津理)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，CC丄平面ABC，AC丄BC，AC=BC=2，CC=3，11111點(diǎn)D，E分別在棱AA和棱CC上,且AD=1，CE=2，M為棱AB的中點(diǎn).1111求證：CM丄BD；11求二面角B-BE-D的正弦值；1求直線AB與平面DBE所成角的正弦值.14.(2020山東高考20)如圖，四棱錐P

11、-ABCD的底面為正方形，PD丄底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l證明：l丄平面PDC；已知PD=AD=1,Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.課堂小結(jié)(約3分鐘)1合理建立空間直角坐標(biāo)系(1)一般來(lái)說(shuō)，如果已知的空間幾何體中含有兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線時(shí)，就以這三條直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系；如果不存在這樣的三條直線，則應(yīng)盡可能找兩條垂直相交的直線，以其為兩條坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，即坐標(biāo)系建立時(shí)以其中的垂直相交直線為基本出發(fā)點(diǎn)(2)建系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系，在沒(méi)有現(xiàn)成的垂直關(guān)系時(shí)要通過(guò)其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個(gè)合理的位置建立空間直角坐標(biāo)系2.套用準(zhǔn)確的公式求解用向量來(lái)求空間角，都需將各類(lèi)角轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)向量的夾角來(lái)計(jì)算，問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定相應(yīng)的向量，套用準(zhǔn)確的公式求