專題13 一次絕對值函數(shù)-妙解2023年高考數(shù)學(xué)填選壓軸題

1、專題13 一次絕對值函數(shù)【方法點(diǎn)撥】幾個常見的含絕對值的一次函數(shù)的圖象與性質(zhì):的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的最小值為；的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的最小值為；的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且函數(shù)的值域?yàn)?（） （）含絕對值的一次函數(shù)的求解策略:（1）根據(jù)絕對值的代數(shù)意義，利用 “零點(diǎn)分域討論法”去絕對值，化為分段函數(shù)；（2）有時也可根據(jù)絕對值的幾何意義，轉(zhuǎn)化為x軸上動點(diǎn)到一些定點(diǎn)距離的和.3. 一般地，設(shè)a1a2a3an(nN*)，f(x)=|xa1|+|xa2|+|xa3|+|xan|若n為奇數(shù)，當(dāng)x=時，f(x)取最小值；若n為偶數(shù)，則x時，f(x)取最小值即中間值或中間區(qū)間上取最值.【典型題示例】例1

2、(2022浙江9)已知，若對任意，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)換為，再結(jié)合畫圖求解【解析】由題意有：對任意的，有恒成立設(shè)，由恒成立，即的圖像恒在的上方（可重合），如下圖所示：由圖可知，或，故選：D例2 若對于任意實(shí)數(shù)x和任意正實(shí)數(shù)a、b，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .【答案】或【分析】根據(jù)基本不等式易求得，故問題轉(zhuǎn)化為對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，即求m的取值范圍，使函數(shù)的最小值為，可利用函數(shù)的圖象或直接使用絕對值的幾何意義求解.【解析】令則所以不等式恒成立，即恒成立對于多個一次絕對值函數(shù)求最值可以分解為：設(shè)，對于3個絕對值相加，取得最小值一定是三個絕對值零點(diǎn)的中

3、間值，如上述函數(shù)，中間零點(diǎn)是，所以上述函數(shù)當(dāng)取得最小值，所以，解得或.【鞏固訓(xùn)練】1.設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為_.2.函數(shù)的最小值為_.3.已知函數(shù)有最小值，則實(shí)常數(shù)的取值范圍是 .4.函數(shù)在上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_5. 設(shè)函數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)的和是_.6. 已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100 x-1|，則當(dāng)x= 時，f(x)取得最小值【答案或提示】1.【答案】3【提示】的圖象關(guān)于直線對稱，故，解得.2.【答案】【提示】利用絕對值的幾何意義，知即x軸上動點(diǎn)到1,2,3，19距離之和，當(dāng)時，此時.3.【答案】【提示】直接去絕對值.4.【答案】【提示】直接去絕對值.5.【答案】6【解析】易得是偶函數(shù)，故或則或又，所以也滿足題意，故答案為6.6.【答案】【解析】f(x)=，f(x)共表示為5050項(xiàng)的和，其最中間兩項(xiàng)均為x=，同時使第1項(xiàng)|x-1|與第5050項(xiàng)的和，