【志鴻全優(yōu)設(shè)計】2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章3.2 立體幾何中的向量方法第三課時講解與例題

1、 第三課時 空間向量與距離問題導(dǎo)學(xué)一、求兩點間的距離或線段的長活動與探究 1在二面角 l 中，AB ，且 A Bl，C D ，CDl，B，Cl，且 AB，CD 的夾角為 60，若 ABBCC D1，求 A，D 間的距離遷移與應(yīng)用如圖，把長、寬分別為 4,3 的矩形 ABCD沿對角線 AC 折成 60二面角后，求頂點 B 與 D之間的距離計算空間中兩點間的距離一般有三種方法：(1)構(gòu)造三角形，通過解三角形求解(2)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求出兩點的坐標，利用公式求解(3)把線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模，利用|a| aa 求解2二、求點到平面的距離活動與探究 2已知正方體 ABCDA B C D

2、 的棱長為 a，求點 A 到平面 A BD 的距離11111遷移與應(yīng)用已知四邊形 ABCD是邊長為 4 的正方形，E，F(xiàn) 分別是 AB，AD 的中點，CG 垂直于 ABCD所在的平面，且 CG2，求點 B 到平面 EFG 的距離1求點到平面的距離時，關(guān)鍵是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求出平面的一個法向量，然后通過公式代入求解2求點到平面的距離還可以利用等體積法進行求解答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1| AB | (x x ) (y y ) (z z )222121212| ABn | n |2| PAn | n |10 ，故選3預(yù)習(xí)交流 提示： PA (1,2，4)，所以點 P 到 的距離為 d

3、D.課堂合作探究1 / 5 word【問題導(dǎo)學(xué)】活動與探究 1 思路分析：求A，D 兩點間的距離，就是求向量AD 的模，由于本題中的空間圖形不適合建系，故可用向量分解法求模解：由于 AD AB BC CD ，| AD | ( AB BC CD ) | AB | | BC | | CD | 2( AB BC 2222BC CD AB CD )由于 ABBCCD1，ABBC，CDBC，又 AB，CD 的夾角為 60，1 ，2 AB BC BC CD 0， AB CD | AB |CD |cos AB,CD1于是| AD | 1112 00 2，22即| AD | 2，故 A，D 間的距離等于 2.

4、遷移與應(yīng)用解：如圖，過點 D，B 分別作 DEAC，BFAC，垂足分別為 E，F(xiàn).因為 AB4，BC3，所以 AC5.12所以 DEBF .597所以 AECF .從而 EF ，55又二面角 DACB 的大小為 60，則 DE ， FB 120.而 DB DE EF FB ，所以 | DB | ( DE EF FB ) | DE | | EF | | FB | 2 DE EF 22 EF FB 2 FB DE 193222212 7 1212 12 1 1932 2 22 55555 2 25193所以| DB|，即頂點 B 與 D 之間的距離為.55活動與探究 2 思路分析：易知A BD 為

5、正三角形，且ABADAA ，可以確定點A 在平11面 A BD 內(nèi)的射影再進行求解，也可用向量法求解1解：解法一：如圖，由正方體的性質(zhì)可知，A DD BBA 2a，112 / 5 A BD 是正三角形1連結(jié) AC 交 BD 于 O，則 BDAC.連結(jié) A O，則 A OBD.11又 ACA OO，1BD平面 A AO.1又 BD 平面 A BD，平面 A AO平面 A B D，且平面 A AO平面 A BDA O.111111作 AHA O 于 H，則 AH平面 A BD.11故 AH 的長即為點 A 到平面 A BD 的距離在 RtA AO 中，112aOA23 .3sinOA A OA12

6、1( 2a) a2223在 RtA HA 中，AHAA sinOA A a.31113即點 A 到平面 A BD 的距離為 a.31解法二：如圖所示，建立空間直角坐標系 D xyz，1由題意，知 A (a,0,0)，A(a,0，a)，B(a，a，a)，D(0,0，a)1設(shè)平面 A BD 的法向量為 n(x，y，z)，則1() (,0) 0 DB x，y，z a，a ，n A B (x，y，z)(0，a，a) 0，n1axay0，xy0，yz0.即ayaz0.令 y1，則 xz1，n(1，1,1)n(0，a,0)(1，1,1)a.AB點 A 到平面 A BD 的距離為13 / 5 ABn|a|3

7、 a.3dn3遷移與應(yīng)用解：如下圖，建立空間直角坐標系Cxyz.則G(0,0,2)，E(2，4,0)，F(xiàn)(4，2,0)，B(0，4,0)，GE (2，4，2)，GF (4，2，2)，(2,0,0)BE設(shè)平面EFG的法向量為n(x，y，z)，由GE n0，GF n0，得xt，yt，z3t.令t1，即n(1，1,3)，于是點 B 到平面EFG的距離BE n22 1111d .11n當堂檢測1在空間直角坐標系中，已知P(1,0,3)，Q(2,4,3)，則線段PQ的長度為()102934AB5 CD答案：B 解析：線段PQ的長度為|PQ3 4 02 5.222正方體ABCDABCD 的棱長為 1，則點

8、A到平面BDDB的距離為()11111 123 222AB2 CD2答案：C 解析：以D為原點，分別以D A，DC，DD 所在直線為x軸、y軸、z軸建立直1角坐標系，則A(1,0,0)，C(0,1,0)，AC (1,1,0)容易證明AC 是平面 BDDB的法向11AC AB 12量，于是A到面BDDB的距離為d.2211AC3在正三棱柱ABCABC 中，若AB2，AA1，則點A到面ABC的距離為()11111333 33ABCD424答案：B4 / 5 4空間直角坐標系中，已知A(2,3,4)，B(2,1,0)，C(1,1,1)，那么點 C 到線段 AB 中點的距離是_3MC|= 3答案：解析：AB 中點 M(0,2,2)，所以點 C 到線段 AB 中點的距離為.5如圖，在 120的二面角的棱上有 A，B 兩點，線段 AC，BD 分別在二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直于 AB，已知 AB4，A C6，BD8求 CD 的長度答案：解：因為 AC ， BD 120，所以CA ， BD 60.又CD CA AB BD ，故有| CD | CD2 ( CA AB BD )( CA AB BD ) CA2 22 BD2AB2CA AB