【志鴻全優(yōu)設(shè)計(jì)】2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程講解與例題 新人教

1、 word2.2 橢圓2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題導(dǎo)學(xué)一、橢圓的定義活動(dòng)與探究 1已知命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|P A|PB|2a，其中a為大于 0 的常數(shù)；命題乙：P點(diǎn)軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件遷移與應(yīng)用1下列說(shuō)法中正確的是()A已知F(4,0)，F(xiàn)(4,0)，到F，F(xiàn) 兩點(diǎn)的距離之和等于 8 的點(diǎn)的軌跡是橢圓1212B已知F(4,0)，F(xiàn)(4,0)，到F，F(xiàn) 兩點(diǎn)的距離之和為 6 的點(diǎn)的軌跡是橢圓1212C到F(4,0)，F(xiàn)(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F，F(xiàn) 的距離之和的點(diǎn)的軌1

2、212跡是橢圓D到F(4,0)，F(xiàn)(4,0)兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓12x y222橢圓 1 上一點(diǎn) P 到其一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 3，則 P 到另一焦點(diǎn)的距離為25 16_由橢圓的定義可知，點(diǎn)的集合PM|MF|MF|2a(其中|FF|2c)表示的軌跡有121 2三種情況：當(dāng)ac時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)ac時(shí)，軌跡為線(xiàn)段FF；當(dāng)ac時(shí)，軌跡不存12在在利用橢圓的定義判斷有關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題時(shí)一定要注意所給常數(shù)與已知兩定點(diǎn)之間距離的大小關(guān)系二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程活動(dòng)與探究 2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(3,0)，(3,0)，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0)；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,5)

3、，(0，5)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為 26；(3)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A( 3，2)和B(2 3，1)兩點(diǎn)遷移與應(yīng)用1已知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且a4，c2，則橢圓方程為()x yx y2A 122B 1216 4x y16 12x y222C 12D 14 1212 43 4 Q 2已知橢圓過(guò)點(diǎn)P ，4 和點(diǎn) ，3 ，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程55求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟是先定型，后計(jì)算所謂定型，就是確定方程的類(lèi)型，即確定橢圓的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；計(jì)算就是求解a 與 b 的值另22外采取設(shè)橢圓方程的一般形式的方法，可以避免討論，當(dāng)已知橢圓經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

4、時(shí)常采用這種方法三、焦點(diǎn)三角形活動(dòng)與探究 3x 4y22已知P為橢圓 1 上一點(diǎn)，F(xiàn)，F(xiàn) 是橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)PF60，求F PF 的面25 75121212積遷移與應(yīng)用1 / 5 wordx2y2 11橢圓的焦點(diǎn)為 F ，F(xiàn) ，點(diǎn) P 在橢圓上若|PF |=4，則|PF |=_，9 21212F PF 的大小為_(kāi)12x y222已知橢圓的方程為 1，橢圓上有一點(diǎn) P 滿(mǎn)足PF F 90(如圖)求PF F4 3121 2的面積1橢圓上一點(diǎn) P 與橢圓的兩焦點(diǎn) F ，F(xiàn) 構(gòu)成的F PF 稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形，解關(guān)于橢圓中121的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題時(shí)要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識(shí)22焦

5、點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)等于 2a2c答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1距離的和 焦點(diǎn) 焦距預(yù)習(xí)交流 1：提示：在橢圓定義中，要求常數(shù)應(yīng)該大于兩定點(diǎn)F ，F(xiàn) 之間的距離，這是12一個(gè)非常重要的條件如果常數(shù)等于|F F |，動(dòng)點(diǎn)的軌跡應(yīng)是一條線(xiàn)段；如果常數(shù)小于|F F |，121 2其軌跡將不存在在應(yīng)用橢圓定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)務(wù)必注意這一隱含條件y x222 1 (c,0)a b22x y22預(yù)習(xí)交流 2：提示：給出一個(gè)橢圓方程 1(其中 m0，n0，mn)，判斷該橢圓m n焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時(shí)，可用如下方法：橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上坐標(biāo)軸的重要方法課堂合作探究mn，這是判斷橢圓焦點(diǎn)所在mn；橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸

6、上【問(wèn)題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究 1：思路分析：利用橢圓定義，結(jié)合充要條件定義作出判斷B 解析：若 P 點(diǎn)軌跡是橢圓，則一定有|PA|PB|2a(a0，為常數(shù))所以甲是乙的必要條件反過(guò)來(lái)，若|PA|PB|2a(a0，為常數(shù))，當(dāng) 2a|AB|時(shí)，P 點(diǎn)軌跡是橢圓；當(dāng)2a|AB|時(shí)，P 點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段 AB；當(dāng) 2a|AB|時(shí)，P 點(diǎn)的軌跡不存在，所以甲不是乙的充分條件綜上，甲是乙的必要不充分條件遷移與應(yīng)用：1C 解析：A 中常數(shù) 8|F F |，B 中常數(shù) 6|F F |，所以軌跡都不是121 2橢圓；可計(jì)算 C 中常數(shù)等于 4 10|F F |，符合橢圓定義，軌跡是橢圓；D 中點(diǎn)的軌跡應(yīng)該12是一條直

7、線(xiàn)，故選 C27 解析：設(shè) F ，F(xiàn) 為橢圓的兩焦點(diǎn)，且 a 25，即 a5212又|PF |PF |2a10，設(shè)|PF |3121|PF |7，即 P 到另一焦點(diǎn)的距離為 72活動(dòng)與探究 2：解：(1)橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，2 / 5 x y22設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為 1(ab0)a b222a (53) 0 (53) 0 10,2c6，2222a5，c3b a c 16222x y22所求橢圓方程為 125 16y x22(2)焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為 1(ab0)a b222a26,2c10，a13，c5b a c 144222y2x2所求橢圓方程為1169 144x y22(3)方法

8、一：當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1(ab0)，a b22( 3) (2)221，a2b2a15，5. 2依題意，有解得b(2 3) 1 222 1，ab22x y22所求橢圓的方程為 115 5y x22當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1(ab0)a b22(2) ( 3)221，a2b2a5，15. 2依題意，有解得b1 (2 3) 2221，ab22ab，不合題意，x y22所求橢圓的方程為 115 5方法二：設(shè)所求橢圓方程為 Ax By 1(A0，B0 且 AB)，依題意，得221A ，3A4B1，12AB1， 15解得1B .5x y22所求標(biāo)準(zhǔn)方程為 115

9、5遷移與應(yīng)用：1B 解析：依題意 a 16，b a c 16412，又焦點(diǎn)在 x 軸上，2222x y22所以橢圓方程為 116 129A16B1，A9B1，252解：設(shè)所求橢圓方程為 Ax By 1(A0，B0，AB)，則有2216253 / 5 wordA1，解得1B . 25y2故此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 12251活動(dòng)與探究 3：思路分析：由 S |PF|PF|sinFPF 可知，只要求得2F PF212121|PF|PF|即可，而|FF|是已知的，可結(jié)合余弦定理求得|PF|PF|121212解：如圖所示，在PFF 中，12|FF| |PF| |PF| 2|PF|PF|cos 60，222

10、121212即 25|PF| |PF| |PF|PF|221212由橢圓的定義得10|PF|PF|，12即 100|PF| |PF| 2|PF|PF|221212由得|PF|PF|25，12125 34所以S |PF|PF|sin 602F PF2121遷移與應(yīng)用：12 120 解析：如題圖，|PF|PF|2a6，12|PF|6|PF|2在FPF 中，2112|PF| |PF| |FF|222cosFPF121 22|PF|PF|1212164282421 ，2FPF120122解：由已知得a2，b 3，所以c ab 43122從而|FF|2c212在PFF 中，由勾股定理可得12|PF| |

11、PF| |FF|，222211 2即|PF| |PF| 42221又由橢圓定義知|PF|PF|224，12所以|PF|4|PF|213從而有(4|PF|) |PF| 4解得|PF| 22211111 33所以PFF 的面積S |PF|FF| 2 22 221211 2當(dāng)堂檢測(cè)1已知定點(diǎn)F，F(xiàn)，且|FF|8，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF|PF|8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()121212A橢圓C直線(xiàn)B圓D線(xiàn)段答案：D 解析：由于|PF|PF|FF|，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是橢圓，而是線(xiàn)段FF12121 24 / 5 wordx2y2 =12若P是以F，F(xiàn) 為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，則三角形PF F 的周長(zhǎng)等于(1 2)25

12、912A16B18C20D不確定25 9答案：B 解析：依題意 a5，c|FF|2a2c108184，所以PFF 的周長(zhǎng)是|PF|PF|121212x2y2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值 X 圍是(3已知方程)25 m m 9A9m25C16m25B8m25Dm825 m 0,m 9 0,答案：解析：由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以m 9 25 m,解得 8m25x2y2 =14已知F，F(xiàn) 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F 的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|F A|25 91212|FB|12，則|AB|_2答案：8 解析：由橢圓的定義得|AF|AF|2a10，12|BF|BF|2a10，12|AF|AF|BF|BF|201212又|FA|F B|12，|AB|AF|BF|85一個(gè)動(dòng)圓與已知圓Q：(x3) y1 外切，與圓Q：(x3) y81 內(nèi)切，試求2211222212這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程答案：解：由已知兩定圓的圓心和半徑分別為Q(