2020-2021哈爾濱備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)-相似的綜合

1、OF=2m+1，HF=1，2020-2021哈爾濱備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)相似的綜合一、相似1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸相交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=1.求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含a的代數(shù)式表示)；聯(lián)結(jié)AC、BC，若ABC的面積為6,求此拋物線的表達(dá)式；在第(2)小題的條件下，點(diǎn)Q為x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)G與點(diǎn)C,點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱，當(dāng)CGF為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】(1)解：拋物線y=ax2+bx+c(a0)的對(duì)稱軸為直線x=1,而拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B

2、的坐標(biāo)為(3,0)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3)，即y=ax2-2ax-3a，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3a，C(0，-3a)解：TA(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),AB=4，OC=3a，S“CB=ABOC=6，6a=6，解得a=1,拋物線解析式為y=x2-2x-3解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,0).過點(diǎn)G作GH丄x軸，垂足為點(diǎn)H,如圖，琳GT點(diǎn)G與點(diǎn)C,點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱,QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，當(dāng)/CGF=90時(shí)，TZQGH+ZFGH=90,ZQGH+ZGQH=90,ZGQH=ZHGF,RtAQGH-RtAGFH,GhQh3m.

3、-=，即.，解得m=9,.Q的坐標(biāo)為（9,0）；當(dāng)ZCFG=90時(shí)，TZGFH+ZCFO=90,ZGFH+ZFGH=90,.ZCFO=ZFGH,RtAGFH-RtAFCO,GhFh31f，即-.；：；:=，解得m=4,.Q的坐標(biāo)為（4,0）；ZGCF=90不存在，綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4,0）或（9,0）.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線是軸對(duì)稱圖形和已知條件可求得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用交點(diǎn)式可求得拋物線的解析式，然后根據(jù)拋物線與y軸交于點(diǎn)C可得x=0,把x=0代入解析式即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；1（2）由（1）的結(jié)論可求得AB=4,OC=3a，根據(jù)三角形ABC的面積=ABOC=6

4、可求得a的值，則解析式可求解；（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m,0）.過點(diǎn)G作GH丄x軸，垂足為點(diǎn)H,根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)可得QC=QG,QA=QF=m+1,QO=QH=m,OC=GH=3。分兩種情況討論：當(dāng)ZCGF=90時(shí)，由同角的余角相等可得ZGQH=ZHGF,于是根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得GHQhRtAQGH-RtAGFH，則可得比例式二,代入可求得m的值，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)可求解；當(dāng)ZCFG=90時(shí)，同理可得另一個(gè)Q坐標(biāo)。2.如圖，在中，工-匚二，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作分別交X于點(diǎn).（1）求證：-匕2）填空：若AB=6，當(dāng)彳=2Dk時(shí)，DE=；連接，當(dāng)弍的度數(shù)為時(shí)，四邊形ODME是

5、菱形.【答案】（1）證明：:厶ABC=90,AM=MC，ABM=AM=MC,二ZA=ZABM.T四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，AZADE+ZABE=180，又ZADE+ZMDE=180，AZMDE=ZMBA，同理證明：ZMED=ZA，AZMDE=ZMED，AMD=MEDE【解析】【解答】解：由（1）可知，ZA=ZMDE，ADEIIAB，Mb11.TAD=2DM，ADM：MA=1：3，ADE=AB=x6=2.故答案為：2.當(dāng)ZA=60時(shí)，四邊形ODME是菱形.理由如下：連接OD、OE.TOA=OD，ZA=60，AAOD是等邊三角形，AZAOD=60.TDEIAB，AZODE=ZAOD=60，ZM

6、DE=ZMED=ZA=60，AODE，DEM都是等邊三角形，AOD=OE=EM=DM,A四邊形OEMD是菱形.故答案為：60.【分析】（1）要證MD=ME，只須證ZMDE=ZMED即可。根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=AM=MC，則ZA=ZABM，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)易得ZMED=ZA，ZMDE=ZMBA，所以可得ZMDE=ZMED；DE聽（2）由（1）易證得DEIIAB，可得比例式：廠，結(jié)合中的已知條件即可求解；當(dāng)ZA=60時(shí)，四邊形ODME是菱形.理由如下：連接OD、OE，由題意易得ODE，DEM都是等邊三角形，所以可得OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。3.如

7、圖1,在RtAABC中，ZB=90，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接。，將厶EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.1）問題發(fā)現(xiàn)AhAh當(dāng)a=0時(shí)，冊(cè)=；當(dāng)a=180時(shí)，乩=.(2)拓展探究AL試判斷：當(dāng)0a360時(shí)，AC=4J，,CD=4,CD丄AD,.AD=J-:+AD=BC，AB=DC，ZB=90，.四邊形ABCD是矩形，BD=AC=叮.如圖4,連接BD,過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P,的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.3)問題解決當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長2)解：如圖2，AE當(dāng)0a360時(shí)

8、，的大小沒有變化,ZECD=ZACB,ZECA=ZDCB,/.IfBD=BD的長為叨:或.綜上所述，【解析】【解答】（1）當(dāng)a=0時(shí)，RtAABC中，ZB=90,.AC=I,T點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，如圖1,S圖1z當(dāng)a=180時(shí)，可得ABIIDE，AC_BC.字_JAE_AC_序石.云-廠-:-【分析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，RtAABC中，根據(jù)勾股定理算出AC的長，根據(jù)中點(diǎn)的定義得出AE,BD的長，從而得出答案；如圖1,當(dāng)a=180時(shí)，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AC:AE=BC:BD,再根據(jù)比例的性質(zhì)得出AE:BD=AC:BC,從而得出答案。當(dāng)0a?一.二:?CP.CP=8故答案為

9、【分析】（1）延長AB到M,使BM=AB,則A和M關(guān)于BC對(duì)稱，連接EM父BC于P,此時(shí)AP+EP的值最小，根據(jù)勾股定理求出AE長，根據(jù)矩形性質(zhì)得出ABIICD，推出ECP-MBP，得出比例式，代入即可求出CP長；（2）點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位到M,點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F,連接MF,交BC于Q,要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，證MNQ-FCQ即可求BP的長；（3）作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,作點(diǎn)P關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接GH,交AB,AC于點(diǎn)M,N,此時(shí)PMN的周長最小.S旳邊形ampn=S“gm+S“nh=S“gh-S“mn，即S“mn的值最小時(shí)，S四邊形ampn的值最大.1

10、0.已知：如圖，在RtAABC中，ZC=90,AC=3cm,BC=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0VtV2.5)，解答下列問題：BQ=，BP=;(用含t的代數(shù)式表示)設(shè)PBQ的面積為y(cm2)，試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻上，使厶PBQ的面積為厶ABC面積的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻上，使厶BPQ為等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，請(qǐng)說明

11、理由.【答案】(1)5-2t；t；y=-t2+-t(2)解：不存在，理.由：AC=3,BC=4,二SBC=X3X4=6，J.J由(1)知，SPBQ=-t2+-t,TPBQ的面積為厶ABC面積的二分之一,二-t2+-t=3,二2t2-5t+10=0,T=25-4x2x10V0,此方程無解,即：不存在某一時(shí)刻上，使厶PBQ的面積為厶ABC面積的二分之一(3)解：由(1)知，AQ=2t，BQ=5-2t，BP=t，TBPQ是等腰三角形，當(dāng)BP=BQ時(shí)，二t=5-2t,ZBEP=90=ZC,ZB=ZB,BEP-BCA,ZBFQ=90=ZC,ZB=ZB,.BFQ-BCA,BF_BG.,46t=,25b46

12、即：t為秒或秒或秒時(shí)，BPQ為等腰三角形.【解析】【解答】(1)在RtAABC中，AC=3cm,BC=4cm,根據(jù)勾股定理得，AB=5cm，由運(yùn)動(dòng)知，BP=t，AQ=2t，BQ=AB-AQ=5-2t,故答案為：5-2t,t；如圖1,過點(diǎn)Q作QD丄BC于D,圖1ZBDQ=ZC=90,IZB=ZB,BDQ-BCA,DQ_BCDQ5-2t,DQ=(5-2t)11.j.jy=S“c=BPDQ=-xtx(5-2t)=-t2+-t；【分析】(1)先利用勾股定理求出AB,即可得出結(jié)論；過點(diǎn)Q作QD丄BC于D,進(jìn)而得出厶BDQ-BCA,用t表示出DQ,最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論;(2)先求出ABC的面

13、積，再利用厶PBQ的面積為厶ABC面積的二分之一，建立關(guān)于t的方程，進(jìn)而判斷出此方程無解，即可得出結(jié)論；(3)分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，得出比例式建立關(guān)于t的方程求解，即可得出結(jié)論.11.如圖，在ABC中，ZC=90,AE平分ZBAC交BC于點(diǎn)E,O是AB上一點(diǎn)，經(jīng)過A,E兩點(diǎn)的O0交AB于點(diǎn)D,連接DE，作ZDEA的平分線EF交O0于點(diǎn)F,連接AF.(1)求證：BC是OO的切線;(2)若sinZEFA=,AF=，求線段AC的長.【答案】(1)解：如圖1,連接,平分_門；,.上二.，TI,、.T為-的半徑，是-*的切線.(2)解：如圖2,連接.由題可知為的直徑,二平分

14、ZDEF=ZAEF=15廠.:7.AFD為等腰直角三角形在-中,DF=AF=_丄_丄匸，止二_.4；.=匯-二空.【解析】【分析】（1）連接OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義可得北，根據(jù)平行線的判定可得OEIIAC，再由平行線的性質(zhì)可得ZBEO=ZC=90，即可證得結(jié)論；（2）連接，,根據(jù)已知條件易證.：-亠：.在2血中，根據(jù)勾股定理求得妙-16.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及已知條件可得4MED丸二mw/EFA二一工在RrA址中求得AE的長，再證明AACE-AAED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得線段AC的長.12.如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD

15、移動(dòng)，以CE為直徑作圓0,點(diǎn)F為圓0與射線BD的公共點(diǎn)，連接EF、CF,過點(diǎn)E作EG丄EF，EG與圓0相交于點(diǎn)G,連接CG.1）求證：四邊形EFCG是矩形；（2）當(dāng)圓0與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)E停止移動(dòng)，在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說明理由【答案】（1）證明：如圖1，CE為O0的直徑，ZCFE=ZCGE=90.TEG丄EF,.ZFEG=90.ZCFE=ZCGE=ZFEG=90.四邊形EFCG是矩形（2）存在.連接0D,如圖2,四邊形ABCD是矩形,ZA=ZADC=90.點(diǎn)O是CE的中點(diǎn).OD=OC.點(diǎn)D在OO上.TZFCE

16、=ZFDE,ZA=ZCFE=90,CFE-DAB.S/j-.7Cb.=(?)2.TAD=4,AB=3,.BD=5,a沐CFE=()2%dab/-=xx3x4=.S矩形Bcd=2SacfeT四邊形EFCG是矩形,.FCIIEG.ZFCE=ZCEGTZGDC=ZCEG,ZFCE=ZFDE,.ZGDC=ZFDETZFDE+ZCDB=90,.ZGDC+ZCDB=90.ZGDB=90I.當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A(Ez)處時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)B(Fz)處，點(diǎn)G在點(diǎn)D(Gz處，如圖2所示.此時(shí),CF=CB=4口.當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D(F)處時(shí)，直徑FG丄BD，如圖2所示,此時(shí)O0與射線BD相切，CF=CD=3.皿.當(dāng)CF丄BD時(shí),CF最小，此時(shí)點(diǎn)F到達(dá)F,如圖2所示.匯bcd=BCCD=BDcf.4x3=5xCF.12CF=12CF4.3CR矩形ABCD1：.X(1)2SX42.矩形ABCD108S12.矩形ABCD108.矩形EFCG的面積最大值為12,最小值為-.【解析】【分析】(1