應(yīng)用隨機(jī)過程第三章習(xí)題解

1、第三章更新過程第三章更新過程 第三章習(xí)題解3.1乘客按照更新流Sg、到達(dá)長途汽車站、假設(shè)每次到達(dá)一人.只要湊夠45人就發(fā)一輛車，將乘客全部運走計算每個乘客的平均候車時間.解：記平均更新間隔為比根據(jù)題意可得總的候車時間為45刀佝5-眇j=l那么每個乘客的候車時間就是45EQS45-SJ/45=22/1其中E(Sj)=j“J=l,2,.,45.3.2設(shè)更新過程N(t)的更新間隔有離散分布P(Xn=1)=P(Xn=2)=0.5,對于Ar=l,2,3,計算Pj=P(N(k)=j).解：因為巧=P(N伙)=j)=P(SjkSj+i),又已知PXn=1)=P(Xn=2)=0.5,所以/c=1,Po=P(S

2、。11)=0.5,pi=P(Si1S2)=P(Xi1)=().5./c=2,pt=P(Si2S2)=P(Xi2)=P(Xi=1,X2=2)+P(Xi=2,X2=1)+P(Xi=2,X2=2)=0.75.P2=P(S22S3)=P(X1+X22)=P(Xl=1,X2=1)=0.25./c=3,pi=P(Si3S2)=P(Xi3)=P(Xi=2,X2=2)=0.25.p2=P(S233)=0.625.P3=P03S4)=P(Xi+X2+X33)=P(X=1,X2=1忌=1)=0.125.3.3設(shè)事件A發(fā)生的概率是p.在獨立重復(fù)試驗中，如果第7i次試驗時4發(fā)生，則稱冗是一個更新時刻，并稱任何兩次更新

3、之間的實驗次數(shù)為更新間隔.例如試驗結(jié)果AAAAAAAAAA.的更新間隔依次是4,2,1,3.用/()表示第n次試驗時更新首次發(fā)生的概率，計算何；用代)表示出4最終發(fā)生的概率用Z表示第i更新間隔的長度，計算EZ-用Sr表示第r個更新的發(fā)生時刻，計算捫=P(Sr=n);nj對r=i+j.,推導(dǎo)公式f=於#Z.k=i解：/(n)=qf,其中g(shù)=1一p；00r=e/(n)=1；n=l00000000ez=nJ)=Enqf=Ep(qy=p(qnY=一n=ln=ln=ln=lP(d)卅)=P(Sr=n)第n次試驗發(fā)生第r次更新)=P(前n-1次試驗發(fā)生r-1次更新,3.4設(shè)1皿.獨立同分布，都服從二項分布

4、且與更新過程N(t)獨立。將N(t)的第i個更新間隔擴(kuò)大7；倍后，是否得到新的更新過程？如果是，計算新的更新間隔的分布函數(shù)。解：首蕪,石,6,相互獨立，X也相互獨立，且與X獨立，故XiTi也相互獨立；其次，nPiTiXit)=52P(TXxTi=i)P(Ti=t)卩=o)=p(必對+p(x：0,是否能找到來自總體T的隨機(jī)變量使得將)的第i個更新間隔擴(kuò)大Ti后,得到強度為入的泊松過程.解：可以找到。因為只要找到耳，使得TiXi服從(入)即可.設(shè)Ti的密度函數(shù)為曲)，/(x,tx)xdx其中f(t,tx)是Xi與TiXi的聯(lián)合密度函數(shù)：當(dāng)乂與TX獨立時，有g(shù)(t)=/AexpAtrrf(x)xd.

5、r所以這樣的Ti是存在的.3.6如果p=P(X=oo)0,則稱X是廣義的隨機(jī)變量.設(shè)X是廣義隨機(jī)變量，當(dāng)更新過程N(t)的更新間隔X”是來自總體X的隨機(jī)變量時，用三阻N表示0,00)中的更新次數(shù)計算T)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.解：因為p=P(X=90)(),所以P(XVoc)=1從tj=k=(),00)中更祈次數(shù)為kP(z/=k)=P(ShS上+i=oo)=oo,，Xkoo,=oo)=P(X1oo)-P(Xk0時是嚴(yán)格增加的，當(dāng)然是單調(diào)不減的，也即定理1.2(2)對于泊松過程是克立的。3.8設(shè)更新過程N(t)的更新間隔是來自總體X的隨機(jī)變量。當(dāng)X服從3(5,p)時，計算Pr(N(t)=k).當(dāng)X

6、服從P(入)時，計算Pr(N(t=k).第三章更新過程第三章更新過程 #證明：Pr(N(t)=k)=Pr(Sktt)i=li=lk=E丹(力久恐+1上一力0jt-j)=52(竽)滬嚴(yán)2(X1t-j).0jti=l0jt-j)/j0jti=l02,證明在條件N(t)=冗下,(Xi：X2,Xn)和(冷,Xi2，Xiri)同分布;E(Xi+X2+XNt)N(t)=n)=nE(XjN(t)=n);E(W+x篇+xg|;v()=E(Xi|Xi0=Xi0)=陀(W+氣話+心(護(hù)=,X1切=E(X】+X2+.+Xn|Xt)771n=-YfE(XiXlt).i=l又因為XbX2,.,Xn,則n力E(X,|Xi

7、t.)=tiE(Xi|Xi0)=(X1|X1)3.10在工作時間內(nèi)，校長辦公室的每部電話是一個開關(guān)系統(tǒng).在關(guān)狀態(tài)下電話占線，無法接通.設(shè)開狀態(tài)的平均時間為20分鐘，關(guān)狀態(tài)的平均時間是3分鐘.假設(shè)每臺電話獨立工作：一共有6部電話.估算上午10:30時恰有5部電話占線的概率.解：由題可知每臺電話占線的概率為p=務(wù)又各電話是否占線獨立，所以10:30有5部電話占線的概率為：P=C(i_p)3.11眨眼使淚水均勻地涂在角膜和結(jié)膜的表面，以保持眼球潤濕而不干燥。但是眨眼經(jīng)常給照相帶來麻煩。照相時如果每個人平均22秒眨眼一次，眨眼的時間為().1秒，10()個人照相時，計算至少有一個人眨眼的概率。為了以0

8、.95的概率保證相片中沒有人眨眼，至少應(yīng)當(dāng)重復(fù)拍攝幾次。第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # #解：將睜眼視為開狀態(tài)，眨眼視為關(guān)狀態(tài)。則ES=219W=()1第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # # #第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # # #第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # # #第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # # #P(至少有一個人眨眼的概率)=1(寺)=0.3659假設(shè)為了以0.95的概率保證相片中沒有人眨眼，至少應(yīng)當(dāng)重復(fù)拍n次。刀（）3659（”t）（10

9、.3659）20.95可解得:幾233.12已知甲蟲橫穿公路需要3分鐘，汽車流構(gòu)成更新流，平均5分鐘一輛通過該公路。忽略汽車的長度。更新間隔服從指數(shù)分布時，計算甲蟲被撞的概率；更新間隔服從均勻分布時，計算甲蟲被撞的概率；更新間隔是常數(shù)時，計算甲蟲被撞的概率；解：汽車每次通過為一次更新。假設(shè)更新的時間間隔為Xi.EXi=5,因為甲蟲橫穿公路需要3分鐘，所以t時甲蟲被撞相當(dāng)于汽車通過的剩余時間R(t)3.亙?yōu)閄i服從Exp(X),而EXi=5,故入=1/5.P(R(t)3)=1-e5A=1一e5x3=0.4512因為Xq服從t/(0,10)f()=希第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章

10、更新過程 # # #第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 #因為Xi=c.c為常數(shù)，故P(R(t)3)=0.6o3.13更新過程的更新間隔服從f(/c,A)分布，密度函數(shù)是對于充分大的t,估算剩余壽命的密度._解：根據(jù)定理5.1易知P(R(t)s).對上式兩邊同時對y求導(dǎo)可得密度函數(shù)為訶(y).所以入fg入血t上一1伽+加)(9)r/=jessklds(令s=Xt)3.14假設(shè)所用的手機(jī)失手落地N次后就更換新手機(jī).設(shè)手機(jī)落地的事件按強度為A的泊松流發(fā)生.當(dāng)N=9時，計算手機(jī)更新間隔的分布和數(shù)學(xué)期望：并對手機(jī)的剩余壽命證明limooER(t)=5/A:當(dāng)N服從參數(shù)為p的幾何分

11、布時，計算手機(jī)更新間隔的分布和數(shù)學(xué)期望，給出剩余壽命R(t)的分布.解:(a)因為手機(jī)落地事件按強度為A的泊松流發(fā)生，所以兩次落地事件發(fā)生的時間間隔X服從參數(shù)為A的指數(shù)分布.于是可知手機(jī)更新間隔丫=工二1兀，其中兀型(入).由指數(shù)分布的可加性可知Yr(9tA),且易知EY=9/A.由定理5.1可知，9丄812x*TOC o 1-5 h z(b)由題意可知Y=工XiXh其中P(N=k)=qk-p,k=12所以Y的分布函數(shù)為一OOP丫/)=52P(YfN=QP(N=Ar)Jt=lOOk=/PXYt)qfk=lX=1fqk-pdt又因為Xpe-dtP(YxA(t)=s),P(R(t)2xA(t+)=

12、s).解：P(R(t)xA(t)=s,N(t)=n)=P(Sn+1-txt-Sn=s,Sn+1t.)戸(Sn+ltXtSn=S：Sn+1t)P(tS”=S：Sn+1=S,Sn+it)戸(X“+i+s)P(Xn+lS)F(t.+s)W3.16在有償更新過程中，當(dāng)N(t)的更新間隔不是格點隨機(jī)變量，且數(shù)學(xué)期望有限時，以下結(jié)論是否成立？解：題中結(jié)論可以表示為第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # # #第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # # #第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # 第三章更新過程第三章更新過程1()其中錢為每個更

13、新間隔的平均費用.該結(jié)論在EY存在時均成立，下面證明.因為更新過程N由更新間隔兀,決定，與K獨立，所以利用瓦爾德定理(定理2.1)得到N(t)EM(t)=E(力嶺)=EN(t)E,j=l兩邊除以t后，由定理2.2得到結(jié)論lim譽=lim勢EY=鴛toottootEX從而可以得到limEM(t+s)M(t)=limEN(t+s)EY-ENEYtootoo=limm(t+s)too=SEYEXEX=sEY其中m(t)=EN(t.)是更新函數(shù)，最后一步用到定理2.3(1).3.17對于更新過程的年齡A(t)和剩余壽命R(t)和Xm)+i=A(t)+幾：計算lim曲進(jìn)too1lim盤丫竺;too1li

14、m盤護(hù)/t-oot解：(a)設(shè)在t處收益A(t),則更新間隔X,內(nèi)收益為7ifX=Ltdt=0.5X什單位時間內(nèi)平均收益為vfoA(s)dsEYEX2r-ootEX2“(b)用(n)的方法，同理可得limtocJoR(s)dsEX2莎第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 # #第三章更新過程第三章更新過程1()第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程第三章更新過程 第三章更新過程第三章更新過程1()(c)lim人Xnw+s=nm石A(s)ds*血.ARdstOCttOOtfOOt_EX2EX2二莎+莎EX2卩3.18自行車的使用壽命由分布函數(shù)F：當(dāng)自行車摔壞或者使用了三年

15、就換新車.假設(shè)一輛舊車可以賣80元，摔壞的車只能賣1()元，購買一輛新車用元.計算自行車每年的平均費用.解：一輛自行車實際使用時間為Tn=min(3?tn),在仏時刻的費用為Y_(80,九3,nI-10,tn3)+(7?-10)/(仏x)dxJoroo=/P(3xtx)dxJo=/P(tx)dxJo=/.Jo因為所以,m舟j=lfo7(x)dxEM(t)_EYi_70F(3)+Er)-80t-=EX?3.19乘客按照平均更新間隔為“分鐘的更新流到達(dá)渡口，每次到達(dá)一位乘客.當(dāng)有N個人候船時就開出一艘船，假設(shè)每開出一船渡口有收益m元、有n個人在渡口候船時，每分鐘還有收益nc元計算該渡口每分鐘的平均

16、收益.解：定義一艘船離開渡口為一次循環(huán)，得到一個有酬更新過程。一個有酬更新過程的時間為等待N個乘客到達(dá)的時間Np。所以E(一次循環(huán)的收益)=E(cXi+2cX2+(N1)cXn-i)+rnN(N-1)=一(中+m,因此每分鐘平均收益為：業(yè)尸lc+盤.3.20出租車加滿油后可以運營X小時，然后再加滿油，再運營.如果每次加油的費用是Y元3十算每小時的平均油費.N(t)解：設(shè)加一次油完成一次更新、且t時刻內(nèi)加油次數(shù)為N(t).即E(F)為所求.由瓦爾德定理知:Ar(t)VYE(臺)=EN宙EY其中m(t)為更新函數(shù).由基本更新定理有：N(t)EX所以當(dāng)t充分大時，E(+)=錢3.21乘客按照每分鐘入

17、個人胡泊松流到達(dá)渡口，每次到達(dá)一位乘客。有11個人在渡口侯船時，每分鐘渡口有收益DC元?，F(xiàn)在渡口每T分鐘發(fā)一艘船。計算該渡口在單位時間內(nèi)的平均收益。解：設(shè)乘客到達(dá)渡口的泊松流為SjJ=12對應(yīng)泊松過程N(t)則發(fā)船時渡口在T時間段內(nèi)的獲利為：丫=吃；.畑)_民)則由E(SjIN(T)=n)=jT/n+1)知:渡口每分鐘的車均收益為：EY/T=(1/T)(E(E(YN(T)=n)=cE(n(n-1)/2(“+1)此處，nPiosson(XT)3.22產(chǎn)品在生產(chǎn)線上依次經(jīng)過12道工序，第i道工序的加工時間是來自總體7的隨機(jī)變量。每道工序需要加工的時間是相互獨立的。對于充分大的t,計算t時一件產(chǎn)品正

18、處于第i道工序的概率。解：這是一個擁有12個工作狀態(tài)的系統(tǒng)，每一道工序就是一個狀態(tài)。總體是X=(7Y：石2)更新間隔是Xi,Xi=T譏+Ti2+Tg2=1,2，對應(yīng)的更新過程N(t),即N(t)為擁有12個工作狀態(tài)的更新過程。limP處于第i道工序=ETMET+E兀+ETl2)too3.23試驗結(jié)果A出現(xiàn)的概率是().5,在獨立重復(fù)試驗中，計算等待結(jié)果AAAA出現(xiàn)的平均試驗次數(shù)；計算兀4和兀4兀4中，誰出現(xiàn)的頻率更高.解：記K表示每次試驗的結(jié)果，可知Yi為i.i.cl,且P(Yi=A)=0.5,P(Xi=A)=0.5.設(shè)N(ti)表示前n次試驗中的更新次數(shù)，設(shè)t表示t的整數(shù)部分，則AT(n)=N(芷0是一個延遲更新過程.設(shè)更新在t=n處發(fā)生的充要條件為P(K-3,K-2,K-i,K)=p(人a,A.A)P(n處有更新)=P(K-3,K-2?YnYn)=P(AA.A)=,n4P(n處無更新)=l-0.54,n4更新間隔XbX2為