浙江省寧波市九校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期期末九校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知平面.則“兩兩垂直”是“兩兩垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的判定和性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】當(dāng)兩兩垂直時(shí)，在內(nèi)作，在內(nèi)作，因?yàn)?，，，，所以，所以‖，因?yàn)?，所以‖，因?yàn)?，所以‖，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，同理可證得，所以兩兩垂直，當(dāng)兩兩垂直時(shí)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以與是相交直線，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，同理可證得，所以兩兩垂直，所以“兩兩垂直”是“兩兩垂直”的充要條件，故選：C2.給出四組成對(duì)數(shù)據(jù)：（1）；（2）；（3）；（4），其中樣本相關(guān)系數(shù)最小的是（）（提示：樣本相關(guān)系數(shù)）A.（1） B.（2） C.（3） D.（4）【答案】D【解析】【分析】畫出散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)性的定義即可求解.【詳解】分別作出四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知：第（1）（2）呈正相關(guān)，第（3）（4）組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，但顯然第（4）組相關(guān)系數(shù)更小，故選：D3.已知函數(shù)，且的圖象過點(diǎn)是的反函數(shù)，則函數(shù)（）A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C.既是偶函數(shù)又是減函數(shù) D.既是偶函數(shù)又是增函數(shù)【答案】B【解析】【分析】首先代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出，即可求出的解析式，從而求出的解析式，再根據(jù)奇偶性的定義及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且的圖象過點(diǎn)，所以，解得（負(fù)值已舍去），所以，又是的反函數(shù)，所以，則，令，解得，所以的定義域?yàn)?，令，則，所以為奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.故選：B4.已知函數(shù)，先將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式與三角函數(shù)的伸縮變換和平移變換即可得解.【詳解】由，先將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得：，再將所得的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得，故選：A.5.在中，已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】對(duì)已知等式利用三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式和同角三角函數(shù)商關(guān)系進(jìn)行化簡和，最后利用誘導(dǎo)公式計(jì)算結(jié)果；【詳解】在中，化簡得兩式做比值得則故選：A.6.已知，則（）A.0.05 B.0.27 C.0.68 D.0.32【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式可得，進(jìn)而可得，即可由對(duì)立事件概率公式求解.【詳解】由可得,所以,故,故選：C7.在正三棱錐中，側(cè)棱，點(diǎn)在棱上，且.若球是正三棱錐的外接球，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面中，面積最小的截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取正的中心，根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征分析可知平面，且，結(jié)合外接球的性質(zhì)可得外接球的半徑為，分析可知當(dāng)且僅當(dāng)截面，截面圓的面積最小，據(jù)此運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖，取正的中心，連接，由題意可知：平面，且，由平面，可得，因?yàn)檎倪呴L為，則，可得，設(shè)正三棱錐的外接球的半徑為，則，解得，可知，在中，可知，由余弦定理可得，即，可得，則，由球的性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)截面，截面圓的半徑最小，即圓的面積最小，此時(shí)圓的半徑為，截面面積為，所以面積最小的截面的面積為.故選：B.8.已知實(shí)數(shù)，將這7個(gè)數(shù)適當(dāng)排列成一列數(shù)，滿足，則滿足要求的排列的個(gè)數(shù)為（）A.58 B.71 C.85 D.96【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，都比大，所以可能取或，分，和三類進(jìn)行討論.【詳解】根據(jù)題意，都比大，所以可能取或，當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中最大，有種選法，最后剩下一個(gè)就是，共有種，當(dāng)時(shí)，，有種選法，剩余數(shù)字中最大，而，有種選法，共有種，當(dāng)時(shí)，，，有種選法，剩余數(shù)字，只有1種，共有種，則滿足要求的排列的個(gè)數(shù)為種.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于的方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為.若，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A. B.1 C.0 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求得，討論，求得，結(jié)合條件，即可求解.【詳解】由韋達(dá)定理可知，，，，當(dāng)時(shí)，，則，得，當(dāng)時(shí)，，則，得.故選：ACD10.高考數(shù)學(xué)試題第二部分為多選題，共3個(gè)小題，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有2個(gè)或3個(gè)是正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.若正確答案是2個(gè)選項(xiàng)，只選對(duì)1個(gè)得3分，有選錯(cuò)的得0分；若正確答案是3個(gè)選項(xiàng)，只選對(duì)1個(gè)得2分，只選對(duì)2個(gè)得4分，有選錯(cuò)的得0分.小明對(duì)其中的一道題完全不會(huì)，該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)的概率是，記為小明隨機(jī)選擇1個(gè)選項(xiàng)的得分，記為小明隨機(jī)選擇2個(gè)選項(xiàng)的得分，則（）A. B.C D.【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，，分該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)和3個(gè)正確選項(xiàng)，計(jì)算出，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，計(jì)算出；C選項(xiàng)，求出的可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，計(jì)算出，同理可得，得到C正確；D選項(xiàng)，利用方差計(jì)算公式得到.【詳解】A選項(xiàng)，，若該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇1個(gè)，若該題有三個(gè)正確選項(xiàng)，則小明選擇錯(cuò)誤選項(xiàng)，故，，若該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，則小明從兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)中選擇1個(gè)，從兩個(gè)正確選擇中選擇1個(gè)，或選擇兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，若該題有三個(gè)正確選項(xiàng)，則小明選擇錯(cuò)誤選項(xiàng)，再從3個(gè)正確選項(xiàng)中選擇1個(gè)，故，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，即該題有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明從正確選項(xiàng)中選擇1個(gè)，故，，即該題有3個(gè)正確選項(xiàng)，小明從正確選項(xiàng)中選擇2個(gè)，故，故，B正確；C選項(xiàng)，的可能取值為，其中，，，即該題有3個(gè)正確選項(xiàng)，小明從正確選項(xiàng)中選擇1個(gè)，故，故，的可能取值為，其中，，，即該題有2個(gè)正確選項(xiàng)，小明選擇了2個(gè)正確選項(xiàng)，，故所以，C正確；D選項(xiàng)，，，顯然，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知，則（）A.展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為0B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】二項(xiàng)式系數(shù)和為，得出A；令，得到，令，得到，得出B；由二項(xiàng)式定理可得，所以，它是的展開，得到C；，，化簡即可得D.【詳解】，展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，所以A錯(cuò)；令，得到，令，得到，，所以B對(duì)；由二項(xiàng)式定理可得：，，所以，，，，故C對(duì)；，，，，，故D對(duì).故選：BCD.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合.若的真子集個(gè)數(shù)是3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】的真子集個(gè)數(shù)是3，所以共有2個(gè)元素，分和兩種情況即可解出答案.【詳解】的真子集個(gè)數(shù)是3，共有個(gè)元素，所以，.若，則有，；若，則有，無解綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知平面向量滿足，與的夾角為，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到由，當(dāng)且僅當(dāng)與向量反向時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合，得到的最小值為，即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄繚M足，與的夾角為，可得，由，當(dāng)且僅當(dāng)與向量反向時(shí)，等號(hào)成立，又由，當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.14.已知定義在上的函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：①；②.請(qǐng)你寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)解析式__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)已知條件寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，可得，設(shè)，可得.因?yàn)椋?，所以，且，符合題意.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是對(duì)已知條件化簡得到，再構(gòu)造函數(shù).四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15已知函數(shù).（1）設(shè)，若是奇函數(shù)，求的值，并證明；（2）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在內(nèi)恰有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將代入，結(jié)合奇函數(shù)定義可得答案.（2）由內(nèi)恰有兩個(gè)不同解，得和兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，過定點(diǎn)，結(jié)合圖象分析即可.【小問1詳解】法一：，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以整理得：所以，所以，法二：，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，則，取得，所以.，由上，且定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，即奇函數(shù)，得證.【小問2詳解】由題意得和兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，得到，若時(shí)，由，解得，且過，又也經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，由圖可知的取值范圍是.16.如圖，在三棱錐中，平面是以為直徑的圓周上的一點(diǎn)，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，二面角的大小為.（1）求證：；（2）求證：平面；（3）當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得出線線平行；（2）先證明平面，再由即可得證；（3）先找出線面角，再由轉(zhuǎn)化為求最小值，此時(shí)可得.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所?【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，因?yàn)槭且詾橹睆降膱A周上一點(diǎn)，所以，又平面平面平面，所以平面，由（1）得，所以平面.【小問3詳解】由（2）可知平面平面，所以平面平面當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，則，且，則，由平面平面，為交線，平面，，可得平面，所以在平面上的射影為，則直線和平面所成的角為..所以當(dāng)最小時(shí)，最大.此時(shí)，由，，可得.17.4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)該地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)；（2）為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，二組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了20個(gè)學(xué)生，得到均值為8，方差為3.75，現(xiàn)在已知這一組學(xué)生的均值為5，方差為2；求這一組學(xué)生的均值和方差；（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中.當(dāng)最大時(shí)，寫出的值，并說明理由.【答案】（1）11.5（2）平均值為9，方差為（3），理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中概率之和等于1，得出再計(jì)算高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣抽取人數(shù)，利用平均數(shù)和方差公式解出結(jié)果；（3）以樣本的頻率估計(jì)概率，該問題是二項(xiàng)分布問題，根據(jù)最大不等式節(jié)出的值；【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得頻率分布直方圖中，第一個(gè)小長方形面積為第二個(gè)小長方形面積為第三、四個(gè)小長方形面積為第五個(gè)小長方形面積為第六個(gè)小長方形面積為前六個(gè)長方形面積和為0.8，所以高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)在第六個(gè)小長方形內(nèi)，設(shè)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的上四分位數(shù)為；，解得【小問2詳解】按分層抽樣二組內(nèi)的學(xué)生抽取的學(xué)生分別為5人，15人設(shè)這一組的平均值，方差所以總體方差是，解得【小問3詳解】以樣本的頻率估計(jì)概率，該問題是二項(xiàng)分布問題，由頻率分布直方圖可知內(nèi)的概率是，由得解得所以當(dāng)最大時(shí)，18.在中，角所對(duì)邊分別為，已知.（1）若，求的面積；（2）若為銳角，外接圓半徑是，求的內(nèi)切圓半徑的最大值.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理求出角B,再分類討論應(yīng)用兩角和差正切公式求出角C，再求面積即可；（2）應(yīng)用三角形面積等于周長乘以半徑的一半，再結(jié)合不等式求最大值即得.【小問1詳解】由得，所以.因?yàn)?，所以，或（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋曰喌?，所以，或①?dāng)時(shí)，（舍去）；②當(dāng)時(shí)，作于，得，所以，此時(shí)（ii）當(dāng)時(shí)，類似可得：化簡得：，所以，或者.①當(dāng)，舍去；②當(dāng)為鈍角，舍去綜上得.【小問2詳解】由（1）可知記內(nèi)切圓半徑為得，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，即，所以由，?所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).19.（1）我們學(xué)過組合恒等式，實(shí)際上可以理解為，請(qǐng)你利用這個(gè)觀點(diǎn)快速求解：.（計(jì)算結(jié)果用組合數(shù)表示）（2）（i）求證：；（ii）求值：.【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）依題意，將已知式拆開，使其可利用組合恒等式，通過多次提取系數(shù)運(yùn)用恒等式即可求得；