高中數(shù)學(xué)選修1-1配北師版-課后習(xí)題第二章　3.2　雙曲線的簡單性質(zhì)

1、第二章DIERZHANG圓錐曲線與方程3雙曲線3.2雙曲線的簡單性質(zhì)課后篇鞏固提升1.已知雙曲線x22y2a=1的一條漸近線為y=2x,則實(shí)數(shù)a的值為() A.2B.2C.3D.4答案D解析由題意,得2=a2,所以a=4.2.已知ABP的頂點(diǎn)A,B分別為雙曲線x216y29=1的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)P在雙曲線上,則|sinA-sinB|sinP的值等于()A.45B.74C.54D.7答案A解析在ABP中,由正弦定理知|sinA-sinB|sinP=|PB|-|PA|AB|=2a2c=810=45.3.已知雙曲線C:x2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(-2,0),則雙曲線C的一條漸近線方程為()A.x

2、+3y=0B.3x+y=0C.x+3y-1=0D.3x+y-1=0答案B解析由題意知,a=1,c=2, 又c2=a2+b2,解得b=3.所以雙曲線C的一條漸近線方程為y=-bax=-3x,即3x+y=0.故選B.4.已知雙曲線C:x2a2y2b2=1(a0,b0)右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn),若MAN=60,則C的離心率為()A.2B.233C.5D.52答案B解析因?yàn)镸AN=60,而AM=AN=b,所以AMN是等邊三角形,A到直線MN的距離為32b,又A(a,0),漸近線方程取y=bax,即bx-ay=0,所以|ab|a2+b2=32b,化

3、簡得e=ca=23=233.故選B.5.已知雙曲線x2a2y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=410 x的焦點(diǎn)重合,且雙曲線的離心率等于103,則雙曲線的方程為()A.x2-y29=1B.x2-y2=1C.x29y29=1D.x29-y2=1答案D解析由題意可得雙曲線x2a2y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(10,0),所以c=10,又ca=103可得a=3,所以b2=c2-a2=1,故雙曲線的方程為x29-y2=1,故選D.6.雙曲線x24+y2k=1的離心率e(1,2),則k的取值范圍是.答案(-12,0)解析雙曲線方程可變?yōu)閤24y2-k=1,則a2=4,b2=-k,c2=4-k,e=ca=4-

4、k2,又因?yàn)閑(1,2),則14-k22,解得-12k0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=12,x1x2=-138,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+13122-4-138=3.9.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在x軸上,虛軸長為8,離心率為53;(2)與雙曲線x29y216=1有共同的漸近線,且過點(diǎn)(-3,23).解(1)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b2=1(a0,b0),則由題可得2b=8,e=ca=53,從而b=4,c=53a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29y216=1.(2)設(shè)所求雙曲線方程

5、為x29y216=(0),將點(diǎn)(-3,23)代入得=14,所以雙曲線方程為x29y216=14,即4x29y24=1.10.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為2,且過點(diǎn)(4,-10).(1)求雙曲線的方程;(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:MF1MF2=0;(3)在(2)的條件下,求F1MF2的面積.(1)解e=2,可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=(0).過點(diǎn)P(4,-10),16-10=,即=6.雙曲線方程為x2-y2=6,即x26y26=1.(2)證明由(1)可知,雙曲線中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0),kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,kMF1kMF2=m29-12=-m23.點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,9-m2=6,m2=3.故kMF1kMF2=