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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)立體幾何(幾何法)線面角例1(2012廣一模)(本小題滿分14分)圖5如圖5所示,在三棱錐中,平面平面,于點, ,(1)證明為直角三角形;(2)求直線與平面所成角的正弦值(1)證明1:因為平面平面,平面平面, 平面,所以平面1分記邊上的中點為,在中,所以因為,所以3分因為,所以為直角三角形因為,所以4分連接,在中,因為,所以5分因為平面,平面,所以在中,因為,所以6分在中,因為,所以所以為直角三角形7分證明2:因為平面平面,平面平面, 平面,所以平面1分記邊上的中點為,

2、在中,因為,所以 因為,所以3分連接,在中,因為,所以4分在中,因為,所以,所以5分因為平面,平面,所以6分因為,所以平面 因為平面,所以所以為直角三角形7分(2)解法1:過點作平面的垂線,垂足為,連,則為直線與平面所成的角8分由(1)知,的面積9分因為,所以10分由(1)知為直角三角形,所以的面積11分因為三棱錐與三棱錐的體積相等,即,即,所以12分在中,因為,所以13分因為所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法2:過點作,設,則與平面所成的角等于與平面所成的角8分由(1)知,且,所以平面因為平面,所以平面平面過點作于點,連接,則平面所以為直線與平面所成的角10分在中,因為,所以11分因為

3、,所以,即,所以12分由(1)知,且,所以13分因為,所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法3:延長至點,使得,連接、,8分在中,所以,即在中,因為,所以,所以因為,所以平面9分過點作于點,因為平面,所以因為,所以平面所以為直線與平面所成的角11分由(1)知,所以在中,點、分別為邊、的中點,所以12分在中,所以,即13分因為所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法4:以點為坐標原點,以,所在的直線分別為軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,8分 則,于是,設平面的法向量為,則即取,則,所以平面的一個法向量為12分設直線與平面所成的角為,則所以直線與平面所成角的正弦值為14分 若第(1)、(2)問都

4、用向量法求解,給分如下:(1)以點為坐標原點,以,所在的直線分別為軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,1分 則,于是,因為,所以所以所以為直角三角形7分(2)由(1)可得,于是,設平面的法向量為,則即取,則,所以平面的一個法向量為12分設直線與平面所成的角為,則所以直線與平面所成角的正弦值為14分例2(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無效)如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,。()證明:平面;()設二面角為,求與平面所成角的大小。【答案】解:方法一:(1)證明:因為底面ABCD為菱形,所以BDAC,又PA底面ABCD,所以PCBD.設ACBDF,連結EF.因為AC2eq r(2)

5、,PA2,PE2EC,故PC2eq r(3),ECeq f(2r(3),3),F(xiàn)Ceq r(2),從而eq f(PC,FC)eq r(6),eq f(AC,EC)eq r(6).因為eq f(PC,FC)eq f(AC,EC),F(xiàn)CEPCA,所以FCEPCA,F(xiàn)ECPAC90,由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD,EF都垂直,所以PC平面BED.(2)在平面PAB內(nèi)過點A作AGPB,G為垂足因為二面角APBC為90,所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB,故AG平面PBC,AGBC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA,AG都垂直,故BC平面PAB,于是BCAB,所以

6、底面ABCD為正方形,AD2,PDeq r(PA2AD2)2eq r(2).設D到平面PBC的距離為d.因為ADBC,且AD平面PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,AD兩點到平面PBC的距離相等,即dAGeq r(2).設PD與平面PBC所成的角為,則sineq f(d,PD)eq f(1,2).所以PD與平面PBC所成的角為30.方法二:(1)以A為坐標原點,射線AC為x軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.設C(2eq r(2),0,0),D(eq r(2),b,0),其中b0,則P(0,0,2),Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(4r(2),3),0,f(

7、2,3),B(eq r(2),b,0)于是eq o(PC,sup6()(2eq r(2),0,2),eq o(BE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3),b,f(2,3),eq o(DE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3),b,f(2,3),從而eq o(PC,sup6()eq o(BE,sup6()0,eq o(PC,sup6()eq o(DE,sup6()0,故PCBE,PCDE.又BEDEE,所以PC平面BDE.(2)eq o(AP,sup6()(0,0,2),eq o(AB,sup6()(eq r(2),b,0)

8、設(x,y,z)為平面PAB的法向量,則eq o(AP,sup6()0,eq o(AB,sup6()0,即2z0且eq r(2)xby0,令xb,則(b,eq r(2),0)設(p,q,r)為平面PBC的法向量,則eq o(PC,sup6()0,eq o(BE,sup6()0,即2eq r(2)p2r0且eq f(r(2)p,3)bqeq f(2,3)r0,令p1,則req r(2),qeq f(r(2),b),eq blc(rc)(avs4alco1(1,f(r(2),b),r(2).因為面PAB面PBC,故0,即beq f(2,b)0,故beq r(2),于是(1,1,eq r(2),eq

9、 o(DP,sup6()(eq r(2),eq r(2),2),cos,eq o(DP,sup6()eq f(no(DP,sup6(),|n|o(DP,sup6()|)eq f(1,2),eq o(DP,sup6()60.因為PD與平面PBC所成的角和,eq o(DP,sup6()互余,故PD與平面PBC所成的角為30.例2(2012高考天津文科17)(本小題滿分13分)如圖14,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,ADPD,BC1,PC2eq r(3),PDCD2.(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值;(2)證明平面PDC平面ABCD;(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值圖

10、14【答案】解:(1)如圖所示,在四棱錐PABCD中,因為底面ABCD是矩形,所以ADBC且ADBC,又因為ADPD,故PAD為異面直線PA與BC所成的角在RtPDA中,tanPADeq f(PD,AD)2.所以,異面直線PA與BC所成角的正切值為2.(2)證明:由于底面ABCD是矩形,故ADCD,又由于ADPD,CDPDD,因此AD平面PDC,而AD平面ABCD,所以平面PDC平面ABCD.(3)在平面PDC內(nèi),過點P作PECD交直線CD于點E,連接EB.由于平面PDC平面ABCD,而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線,故PE平面ABCD.由此得PBE為直線PB與平面ABCD所成的角在

11、PDC中,由于PDCD2,PC2eq r(3),可得PCD30.在RtPEC中,PEPCsin30eq r(3).由ADBC,AD平面PDC,得BC平面PDC,因此BCPC.在RtPCB中,PBeq r(PC2BC2)eq r(13).在RtPEB中,sinPBEeq f(PE,PB)eq f(r(39),13).所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為eq f(r(39),13).例3(2012高考浙江文20)(本題滿分15分)如圖15,在側棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,ADAB,ABeq r(2),AD2,BC4,AA12,E是DD1的中點,F(xiàn)是平面B1C1E與

12、直線AA1的交點(1)證明:(i)EFA1D1;(ii)BA1平面B1C1EF;(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值圖15 【答案】解:(1)證明:()因為C1B1A1D1,C1B1平面A1D1DA,所以C1B1平面A1D1DA,又因為平面B1C1EF平面A1D1DAEF,所以C1B1EF,所以A1D1EF.()因為BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1.又因為B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中,F(xiàn)是AA1的中點,tanA1B1FtanAA1Beq f(r(2),2),即A1B1FAA1B,故BA1B1F,所以BA1平面B1C1EF.(2)設BA1與B1F交點為H,連結C

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