習題反常積分的收斂判別法

1、 /18習題8.2反常積分的收斂判別法1.證明比較判別法(定理8.2.2)；舉例說明，當比較判別法的極限形式中l(wèi)=0或+s時，J+sp(x)dx和aJ+sf(x)dx的斂散性可以產(chǎn)生各種不同的的情況.a解(1)定理8.2.2(比較判別法)設在a,+s)上恒有0f(x)0，鞏上a，VA，仁A0：JA(x)dxA于是|JAf(x)dx|JAKp(x)dx0，VAa，3A,A,A:JAf(x)dxKe000A于是JAp(x)dxJAA1AKf(x)dxe0，所以J+sp(x)dx也發(fā)散.a(2)設在a,+s)上有f(x)0,p(x)0，且limf(x)=0則當J+sf(x)dx發(fā)散xT+s時，J+s

2、P(x)dx也發(fā)散；但當J+sf(x)dx收斂時，J+sp(x)dx可能收斂，也可能發(fā)aaa散.例如f(x)=，P(x)=丄(0p2)，貝ylim=0顯然有x2xpxt+sp(x)J+sf(x)dx收斂，而對于J+sp(x)dx，則當1p2時收斂，當0p0,申(x)0,且limf(x)=.則當f+TOf(x)dx收XT+g斂時，卜s(x)dx也收斂；但當J+gf(x)dx發(fā)散時，卜暫(x)dx可能發(fā)散，也可能aaa收斂.例如f(x)=丄,申(x)=(p1)，貝ylim竺=+g.顯然有XxP2xT+gJ+gf(x)dx發(fā)散，而對于J+g申(x)dx，則當1p1時收斂.112證明Cauchy判別法

3、及其極限形式(定理8.2.3).證定理8.2.3(Cauchy判別法)設在a,+g)u(0,+g)上恒有f(x)0，K是則卜f(x)dx收斂;a則J+gf(x)dx發(fā)散.a正常數(shù).若f(x)1,xp(2)若f(x)，且p0，且limxpf(x)=l，xT+g則若0l1，則J+gf(x)dx收斂；a若0l+g，且p0時有11一1+xsinx1+x而積分I+80dx發(fā)散,所以積分I+8011+xIsinxIdx發(fā)散.(4)當xT+8時,xq11+xpxp_q所以在pq1時，積分f+Vxdx收斂，在其余情況下積分11+xpJ+8dx發(fā)散.11+xp證明：對非負函數(shù)f(x),(cpv)I+sf(x)d

4、x收斂與I+sf(x)dx收斂是等價的.TOC o 1-5 h z8S證顯然，由I+Sf(x)dx收斂可推出(cpv)I+Sf(x)dx收斂，現(xiàn)證明當f(x)0時ss可由(cpv)I+Sf(x)dx收斂推出I+Sf(x)dx收斂.ss由于(cpv)I+sf(x)dx收斂，可知極限slimF(A)=limIAf(x)dxAt+sAt+sA存在而且有限，由Cauchy收斂原理，Vs0，3A00，VA,A,A0:|F(A)F(A)|A，成立00|IAf(x)dx|F(A)F(A)|s與I-Bf(x)dx|F(B)F(B)|lnx而積分I込|sin2x匹1(1-cos2x),lnx2lnx|J+8|l

5、n1nxdx發(fā)散，+8卜cos2xdx收斂，所以積分J+8sinxdx發(fā)散，2|lnxI2IlnxI2lnx即積分J+8sinxdx條件收斂.2lnxTOC o 1-5 h zsinx1r1(2)當p1時，1時積分xpxp1xpJ+8沁dx絕對收斂；1xp當0p1時，因為F(A)=JAsiixdx有界，在1,+8)單調(diào)，且1xplim=0，由Dirichlet判別法，積分J+8血“dx收斂；但因為當0p1時積xT+8xp1XP分J+81sinxIdx發(fā)散，所以當0p1時，1時積分xp2xp1xpJ+8sinxarctanxdx絕對收斂；1xp當0p1時，因為F(A)=JAsinxdx有界，ar

6、ct3x1在l,+8)單調(diào)，且1xpHmarc匹二0，由Dirichlet判別法，積分廣血Xarctanxdx收斂；但因為當xt+8xp1XP0P1時積分j+8arctanx-1sinxdx發(fā)散，所以當0pm+1且x充分大時，有Pmx)sinxm+1時積分q(x)x2nj+8Pmx)sinxdx絕對收斂.aq(x)n當n=m+1時，因為F(A)=j1Asinxdx有界，且當x充分大時，需單調(diào)n且limPm(x)=0，由Dirichlet判別法可知jxT+8q(x)n+8Zm凹sinxdx收斂；但由于當aq(x)nP(x)a HYPERLINK l bookmark20 o Current Do

7、cument xT+8時,m.q(x)xn分j+8上竺sinxdx條件收斂.aq(x)n當n0，若當x屬于b的某個左鄰域b-n0,b)時，存在正常數(shù)K，使得f(x)且p1則Jbf(X)dx收斂;af(x)(bF；且p則Jbf(x)dx發(fā)散.aJT一-一dxb-n(b-x)p由于Jb-n，f(x)dxbqJrdxs,b-q(b-x)p所以Jbf(x)dx收斂.a證(1)當p0，350，Vn,ne(0,8):由于Jb-qf(x)dxJb-q-,Kb-q(b-x)pdxs0，所以Jbf(x)dx發(fā)散.a(2)當p1時，積分Jb-dx發(fā)散，由反常積分的Cauchy收斂原理,a(b-x)pJb-q一-一

8、dxb-q(b-x)p玉00，V50，3q,qw(0,5):推論(Cauchy判別法的極限形式)設在a,b)上恒有f(x)0，且lim(b一x)pf(x)=l，xTb則若0l+8，且p1，則Jbf(x)dx收斂；a若0l1，則Jbf(x)dx發(fā)散.a證(1)由lim(b一x)pf(x)=l(p1,0l0，Vxg(b-5,b):f(x)1,0l0，Vxg(b-5,b):f(x)l2(b-x)p再應用定理8.2.3,的(2).定理8.2.5，若下列兩個條件之一滿足，則Jbf(x)g(x)dx收斂：a(Abel判別法)Jbf(x)dx收斂，g(x)在a,b)上單調(diào)有界；a(Dirichlet判別法)

9、F(n)=Jtf(x)dx在(0,b-a上有界，g(x)在a,b)上a單調(diào)且limg(x)=0.xb證(1)設Ig(x)lG，因為Jbf(x)dx收斂，由Cauchy收斂原理，as-2G由積分第二中值定理，JAf(x)g(x)dxA1g(A)小f(x)dx+AGJ：f(x)dx+GJA，f(x)dx0,360,VA,Ae(b6,b):JA，f(x)dx(2)設IF(n)IM，于是VA,Aea,b)，有JAf(x)dx0，360，Vxe(b6,b)，有|g(x)由積分第4M二中值定理，Jaf(x)g(x)dxA1g(A)小f(x)dx+1g(A)|JAA，f(x)dx,ss2MIg(A)I+2M

10、Ig(A)I0充分XT0+X21(2)因為lim-二-，且對任意061,XTl-X212小時，有|1所以積分J1dx收斂.0X21(3)因為cos2xsin2x(xT0+),cos2xsin2x以積分J21.dx發(fā)散.0COS2xsin2x(4)因為1COsx(xT0+),xp2xp2所以當p3時積分J2dx發(fā)散.0 xp(5)首先對任意的060充分x-0+11小時，有|lnx|p1時，積分x6(1一x)-pJ1IlnxIpdx收斂，當p0,q0時積分J1xp1(1x)q1dx收斂，在其余情況下積分0J1xp1(1x)q1dx發(fā)散.0(7)xp-1(1x)q-1IlnxI1(1x)q(xT1)

11、，且xp1(1一x)q1|lnx|0充分小時，有x-0+所以當p0,q1時積分J1xp-1(1x)q-1IlnxIdx收0斂，在其余情況下積分J1xp-1(1x)q-1IlnxIdx發(fā)散.0 /188.討論下列反常積分的斂散性:f1_dx(p,qeR+);o1Inxf+8dx;o3x(x1)2(x2)f+80ln(1+x)dx;xpf+8arCtanxdx；0 xptanxf兀/2dx;f+8xp1exdx;0 xp0f+81dx;f+8dx.0 xp+xq2xplnqx解（1）f10 xp1xq11xp11xq11xp1一xq1.dx=f2dx12dx+11dx.lnx0lnx0lnx1ln

12、x2當p0,q0時積分f2-dx與積分f2-dx顯然收斂，且當xT1olnx0lnx時,xp1xq1lnx,+(x1)p1H+(x1)q一1Lpq)(x1)x一1InG+(x-1)即f1xp-1-xq-1dx不是反常積分，所以積分f1lnx02xp一1一xq1dx收斂.lnxdx=3x(x一1)2(x一2)幻x(x一1)2(x一2)dx+f213x(x1)2(x2)dx+f+82,dx.3x(x1)2(x2)因為3x(x1)2(x2)11/n、(x0+)，321x313x(x1)2(x2)(xT1-)，2(x一1)3所以積分x（dx收斂;因為x-1)2(x-2) /183x(xI)2(x2)2

13、(x-1)313x(x1)2(x2)1V2(x2),1(x-2)3dx收斂;(x2+),1(x-2)3所以積分f213x(x-1)2(x-2)因為11x(x-1)2(x-2)3213x(x1)2(x2)所以積分廣8213x(x1)2(x2)dx收斂.由此可知積分嚴013x(x1)2(x2)dx收斂.TOC o 1-5 h z(3)十ln(1+x)dx=f1ln(1+x)dx+f+-ln(1+x)dx.0 xP0 xP1xP由ln(1+x)1(xT0+)，可知當p2時，積分f1唄+x)dx發(fā)散；0 xp當p1時，limx2-ln(1+x)=0，即當x0充分大時，有xT+xxpln(1+x)1，可

14、知當p1時，積分f+xln(1+x)dx收斂，當xp3p-121xpx2p1時，積分f+n(l+x)dx發(fā)散；1xp綜上所述，當1p2時，積分f+xln(1+x)dx收斂，在其余情況下積分0 xpf+x型匕dx發(fā)散.0 xpTOC o 1-5 h z“arctanx1arctanx丄arctanx(4)j+sdx=J1dx+J+8dx.0 xp0 xp1xp由arctanx丄(x一十)，可知當卩1時積分J+sarctanxdx收斂.xp2xpixp所以當1p2時積分j+sarctanxdx收斂，在其余情況下積分0 xpj+s竺業(yè)dx發(fā)散.0 xp/、(，八i1tanx(八；tanxr/nJta

15、nx(5)/2dx二卜/4dx+JK/2dx.0 xp0 xp兀/4xp由、tanx一1(xT0+)，可知當p時積分J兀/八tan%dx發(fā)散;20 xp由工豈(xT-)，可知積分卩/2衛(wèi)丑dx收斂.xp/兀x12兀/4xp兀p(x)22I所以當p2時積分卩/2豆dx發(fā)散.0 xp(6)J+sxp1exdx0J1xp1exdx+J+sxp1exdx.01由于積分J+sxp-1e-xdx收斂,11及xp-1e-x(xT0+)，所以當p0時x1p積分J+sxp1exdx收斂，當p0時積分J+sxp1exdx發(fā)散.00J+s0 xp1+xqdx=J】0 xp+xqdx+J+s-1xp+xqdx.當p=

16、q時，顯然積分J+s0 xp1+xqdx發(fā)散;當p豐q時，由于亠1(xT0+)，(xT+生)，xp+xqxmin(p,q)xp+xqxmax(p,q)所以當min(p,q)1時積分f+w0dx收斂,xp+xq其余情況下積(8)設p1,則對任意的q,當x充分大時，有11xplnqxp+1x2可知積分f+TO1一dx收斂.2xplnqx設p一p+1x2可知積分J+dx發(fā)散.2xplnqx設p=1，令lnx=t，則J+8dx2xplnqx二嚴d,ln2tq由此可知當p1或p=1,q1時積分W2xplnqx9.討論下列反常積分的斂散性:f+s玉丄dx;01+x2丄sesinp11xp11由(xT0+)

17、，(xT+s)，可知當0p0);11+xp+sesinxsin2x,J+sdx;0 xp.(1)sinx+f+s_V_耳dx(p0).1xp解(1)f+s旦dxJUdx+f+s6dx.01+x201+x211+x2分J+8dx收斂，在其余情況下積分J+8dx發(fā)散.01+X201+X2當qp-1時，由口皿X1丄，可知積分卜sXq沁Xdx絕對收+xpxp-qi1+xp斂.當p-1qp時，因為F(A)=fAsinxdx有界，當x充分大時妙單11+xp調(diào)減少，且lim-=0，由Dirichlet判別法，積分j+s血xdx收斂；xT+s1+xp11+但因為積分J+s-dx發(fā)散，所以當p-1qp時，由于n

18、Ts時J2nn+n乂sinxdx不趨于零，可知積分2ne1+xpJ+s半如dx發(fā)散.11+xp+sesinxcosx1esinxcosx+sesinxcosx,TOC o 1-5 h zJ+sdx=J1dx+J+sdx.0 xp0 xp1xp由esinxcosx丄(xT0+)，可知當p1時積分J1esinxcosxdx收斂，在其xpxP0 xp余情況下積分J14蘭dx發(fā)散.0 xp當P1時，易知積分J+sesinxlcosx1dx發(fā)散；當P0時，易知積分1xpJ+sesnH空dx發(fā)散.1xp、1當0p1時，因為JAesinxcosxdxe-1，單調(diào)減少，且lim=0，1xpxT+sxp由Dir

19、ichlet判別法；可知積分J+C0Sxdx收斂.1xp綜上所述，當0P1時，積分J+sesinxcosxdx條件收斂，在其余情況下積0 xp丄sesinxCOSX,分J+sdx發(fā)散.TOC o 1-5 h z0XP丄小esinxsin2x1esinxsin2x丄小esinxsin2x,(4)J+8dx二J】dx+J+8dx.XPXP0 xp0 xp1由esinxsin2x2(xT0+)，可知當p2時積分J戶nxsin2xdx收斂,xPxpT0 xp在其余情況下積分Jiesinxsin2xdx發(fā)散.0 xp當1p2時，顯然積分J+s1sin2x1dx收斂；當p1時，易知積分1xpJ+S貿(mào)土凹d

20、x發(fā)散；當p0時，易知積分J+sest吐dx發(fā)散.1xp1xp當0p1時,因為J(k+1)兀esinxsin2xdx二0，可知JAesinxsin2xdx有界,01xp單調(diào)減少,lim=0，由Dirichlet判別法，可知積分xT+SxpJ+sesinxsin2xdx收斂.TOC o 1-5 h z1xp綜上所述，當1p2時積分J+Sesinxsin2xdx絕對收斂，當0p1時積分0 xpJ+sx磯“dx條件收斂，在其余情況下積分J+sx磯“dx發(fā)散.0 xp0 xp(5)令t=丄，則x2J1丄cos丄dx=0 xpx2J+scostdt.213p11于是可知當p1時積分J1COAdx絕對收斂

21、；當1p3時積分J1丄cos丄dx發(fā)散.0 xpx20 xpx2n=1(1)(1)sinx+1時，因為dx絕對收斂.兀當0p-_n兀+I2丿-，而級數(shù)P1(兀)pn兀+I2丿發(fā)散,所以積分嚴1(1)sinx+Ix丿dx發(fā)散；又因為XPsin(x+J+8x1xpdx=J+81.1sincosx+cossmxxxdx，注意至U當x充分大時,xp1sinx與xp1cos一x都是單調(diào)減少的，由Dirichlet判別法可知積分J+8xp1.(1)sinx+Ix丿xpdx收斂，所以積分J+81.(1)sinx+Ix丿xpdx條件收斂.10證明反常積分J+8xsinx4sinxdx收斂.0證對任意AAA，由

22、分部積分法，JAxsinx4sinxdx=-JAAA4x2AA-sinx”八d(cosx4)Acosx4cosxAcosx4sinx+JdxJdx.4x2AI4x2丿顯然，當AT+8時，等式右端的三項都趨于零，由Cauchy收斂原理，可知反常積分J+8xsinx4sinxdx收斂.011.設f(x)單調(diào)，且當xT0+時f(x)T+8，證明：J1f(x)dx收斂的必要條0件是limxf(x)=0.x0+證首先由f(x)的單調(diào)性，對于充分小的0 x1，有x0a-f(x)0，且01x(lnx)f(x)a，VxA，有|f(x)|A時，xT+a成立f2(x)If(x)|.因為積分卜f(x)dx絕對收斂，于是由比較判別法，a積分f+af2(x)dx收斂.a若f+af2(x)dx收斂，則稱f(x)在a，+a)上平方可積(類似可定義無界函數(shù)在a,b上平方可積的概念).對兩種反常積分分別探討f(x)平方可積與f(x)的反常積分收斂之間的關系；對無窮區(qū)間的反常積分，舉例說明，平方可積與絕對收斂互不包含；對無界函數(shù)的反常積分，證明：平方可積必定絕對收斂，但逆命題不成立.解(1)J+gf(x)dx收斂不能保證J+gf2(x)dx收斂，例如：f(x)=響,TOC o 1-5 h zaa才x則J+gf(x)dx收斂，但J+gf2(x)dx發(fā)散；11J+gf2(x)dx收斂不能保證J+gf(