2022屆福建省三明市第一中學高三6月質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁福建省三明市第一中學2022屆高三6月質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知是虛數(shù)單位，若，則的值是（）ABCD12設(shè)集合，則（）ABCD3已知一個圓柱的底面直徑與高都等于球O的半徑，則該圓柱的表面積與球O的表面積之比為（）ABCD4已知某地區(qū)中小學生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機抽取的學生進行調(diào)查，其中被抽取的小學生有80人，則樣本容量和該地區(qū)的高中生近視人數(shù)分別為（）

2、A200，25B200，2500C8000，25D8000，25005已知，則（）ABCD6公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.某教師為幫助同學們了解“祖率”，讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為（）A720B1440C2280D40807已知圓，圓，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD8己知e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b均為大于1的實數(shù)，若，則（）A

3、BCD二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多 項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為，若曲線C上存在點P滿足，則曲線C的離心率可以是（）ABCD210已知向量，其中，下列說法正確的是（）A若，則B若，則C若與的夾角為鈍角，則D若，向量在方向上的投影為11已知，且，則下列不等式中一定成立的是（）ABCD12已知紅箱內(nèi)有6個紅球、3個白球，白箱內(nèi)有3個紅球、6個白球，所有小球大小、形狀完全相同第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依此類推，

4、第次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去記第次取出的球是紅球的概率為，則下列說法正確的是（）ABC第5次取出的球是紅球的概率為D前3次取球恰有2次取到紅球的概率是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13寫出一個滿足對定義域內(nèi)的任意x，y，都有的函數(shù)：_14已知函數(shù)，且方程在內(nèi)有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_15已知正方體中，點E為平面內(nèi)的動點，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點E的軌跡所圍成的面積為_16己知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，連接，若直線與另一條漸近線交于點，且，則_；的周長為_四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫

5、出文字說明、證明過程或演算步驟。17已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求角A；(2)若M為的中點，求面積的最大值18如圖，四邊形為菱形，將沿折起，得到三棱錐，點M，N分別為和的重心(1)證明：平面；(2)當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值19設(shè)數(shù)列的前n項和為，若(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和20當前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表年份20172018201920202021編號x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個）2.1563.7278.30524.2793

6、6.224(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個回歸方程類型適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程；(2)為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽比賽規(guī)則如下：每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公

7、司”的概率參考數(shù)據(jù)：，（其中）附：樣本的最小二乘法估計公式為，21如圖，已知拋物線的焦點為橢圓：（）的右焦點，點為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交拋物線于，兩點，交橢圓于，兩點（，依次排序），且，求直線的方程.22已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)求最大整數(shù)值；證明：PAGE 答案第 = 1頁，共 = sectionpages 2 2頁PAGE 16頁參考答案：1D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，求得的值，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運算法則，可得，因為，即，所以.故選：D.2

8、A【解析】【分析】先求出集合B，然后取并集即可.【詳解】集合則，故選：A3C【解析】【分析】設(shè)球的半徑為,分別求出球和圓柱的表面積即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為,則該圓柱的底面半徑為，高為所以圓柱的表面積為：,球的表面積為：則圓柱的表面積與球的表面積之比為故選：C4B【解析】【分析】由扇形分布圖觀察小學生在整個樣本中占40，可得樣本的容量為，再以此推出樣本中高中生的人數(shù)為，結(jié)合抽樣比和條形圖中高中生的近視率占比可算出該地區(qū)高中生的近視人數(shù).【詳解】由由扇形分布圖結(jié)合分層抽樣知識易知樣本容量為，則樣本中高中生的人數(shù)為，易知總體的容量為，結(jié)合近視率條形圖得該地區(qū)高中生近視人數(shù)為.故選：B.5B【解

9、析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選：B.6C【解析】【分析】以間接法去求解這個排列問題簡單快捷.【詳解】一共有7個數(shù)字，且其中有兩個相同的數(shù)字1.這7個數(shù)字按題意隨機排列，可以得到個不同的數(shù)字.當前兩位數(shù)字為11或12時，得到的數(shù)字不大于3.14當前兩位數(shù)字為11或12時，共可以得到個不同的數(shù)字，則大于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)為故選：C7D【解析】【分析】由題意求出的距離，得到 P 的軌跡，再由圓與圓的位置關(guān)系求得答案【詳解】由題可知圓O 的半徑為，圓M上存在點P，過點P作圓 O 的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則，在中，所以點 在圓上，由于點 P 也在

10、圓 M 上，故兩圓有公共點.又圓 M 的半徑等于1，圓心坐標，.故選：D.8B【解析】【分析】由題意化簡得到，設(shè)，得到，結(jié)合題意和函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由，可得，即，設(shè)，可得，因為，可得，又因為，所以，即，所以，當時，可得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即.故選：B.9AC【解析】【分析】結(jié)合橢圓和雙曲線的定義和離心率的求法，即可求得結(jié)果【詳解】若曲線是橢圓則其離心率為；若曲線是雙曲線則其離心率為；故選：AC10ABD【解析】【分析】利用共線向量的坐標表示可判斷A選項；利用向量垂直結(jié)合向量的模長公式可判斷B選項；由已知且、不共線，求出的取值范圍，可判斷C選項；利用平面向量的幾何意義可判斷

11、D選項.【詳解】對于A選項，若，則，解得，A對；對于B選項，若，則，所以，B對；對于C選項，若與的夾角為鈍角，則，可得，且與不共線，則，故當與的夾角為鈍角，則且，C錯；對于D選項，若，則，所以，向量在方向上的投影為，D對.故選：ABD.11BC【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)與基本不等式判斷.【詳解】，A錯；，成立，即B正確；，得，當且僅當時取等號，同理，當且僅當時取等號，又，即不同時等于1，C正確；當時，D錯.故選：BC12AC【解析】【分析】依題意求出，設(shè)第次取出球是紅球的概率為，則白球概率為，即可求出第次取出紅球的概率，即可得到，從而可判斷各個選項.【詳解】依題意， 設(shè)第次取出球是紅球的概

12、率為，則白球概率為，對于第次，取出紅球有兩種情況從紅箱取出的概率為，從白箱取出的概率為， 對應(yīng)，即，故B錯誤；所以，令，則數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，因為，所以，故，所以，故選項A，C正確；第1次取出球是紅球的概率為，第2次取出球是紅球的概率為，第3次取出球是紅球的概率為，前3次取球恰有2次取到紅球的概率是，故D錯誤；故選：AC13（答案不唯一）【解析】【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)可知函數(shù)符合題意.【詳解】若函數(shù)，則滿足題意，故答案為：（答案不唯一）14【解析】【分析】由題意可得在內(nèi)有實數(shù)根，a的取值范圍即為函數(shù)的值域.【詳解】，方程在內(nèi)有實數(shù)根，即在內(nèi)有實數(shù)根，得，即a的取值范圍是，故答案為：15

13、【解析】【分析】連接交平面于，連接，則有四面體為正三棱錐，由題意可得在平面內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓即可得答案.【詳解】解：如圖所示，連接交平面于，連接， 由題意可知平面， 所以是與平面所成的角，所以.由可得，即. 在四面體中，,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示： 所以解得 ，,又因為，所以 ，即在平面內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:.16 【解析】【分析】求出直線的斜率，分析可知，可得出，可求得正數(shù)的值，計算出，利用余弦定理可求得，進而可求得的周長.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，如下圖所示：不妨設(shè)點在第三象限，則直線的方程為，因為，則，則為的中點，又因為為

14、的中點，則，所以，即，則，解得，所以，即直線的傾斜角為，則，在中，由余弦定理可得，因此，的周長為.故答案為：；.17(1)(2)【解析】【分析】（1）解法一：根據(jù)正弦定理邊化角求解即可；解法二：利用余弦定理將用邊表示再化簡即可；（2）解法一：根據(jù)基底向量的方法得，兩邊平方化簡后可得，再結(jié)合基本不等式與面積公式求面積最大值即可；解法二：設(shè)，再分別在，和中用余弦定理，結(jié)合可得，再結(jié)合基本不等式與面積公式求面積最大值即可(1)解法一：因為，由正弦定理得：，所以，因為，所以，為，所以解法二：因為，由余弦定理得：，整理得，即，又由余弦定理得所以，因為，所以(2)解法一：因為M為的中點，所以，所以，即，即

15、，而，所以即，當且僅當時等號成立所以的面積為即的面積的最大值為解法二：設(shè)，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以所以+式得在中，由余弦定理得，而，所以，聯(lián)立得：，即，而，所以，即，當且僅當時等號成立所以的面積為即的面積的最大值為18(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）延長交于點P，延長交于O點，連接,證明即可.（2）證明兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.(1)延長交于點P，延長交于O點，連接因為點M，N分別為和的重心，所以點P，O分別為和的中點，所以，又平面，平面，所以平面(2)當三棱錐的體積

16、最大時，點D到底面的距離最大，即平面平面，連接，因為和均為正三角形，于是，又平面平面，所以平面，所以兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，所以，又二面角即二面角，設(shè)平面的一個法向量為，則可得，取，則，同理設(shè)平面的一個法向量為，則,即，取，則，所以，由圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為19(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)及等比數(shù)列的定義即可求得答案；（2）由錯位相減法即可求得答案.(1)因為所以，解得當時，所以，所以，即因為也滿足上式，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以(2)由（1）知，所以，所以-得，所以20(1)適宜；(2)【解析】【分析】

17、（1）根據(jù)題目中給的數(shù)據(jù)及公式進行計算可得回歸方程;（2）由概率的加法公式與乘法公式進行計算即可得到答案.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量，令，則，,，由公式計算可知，即.(2)設(shè)事件“甲公司獲得“優(yōu)勝公司”，事件“在一場比賽中，甲勝乙”，事件“在一場比賽中，甲勝丙”，事件“在一場比賽中，乙勝丙”，則，因為兩兩獨立，兩兩互斥，由概率的加法公式與乘法公式得，所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為21(1)(2)【解析】【分析】（1）確定拋物線即橢圓的右焦點坐標，繼而求得點，由此列出方程組，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，和拋物線以及橢圓分別聯(lián)立，求得相應(yīng)的弦長，即的表達式，

18、利用，解方程可得答案.(1)由拋物線可知：，故由得： ,故 ，則 ，則對于有： ，解得，故橢圓方程為：；(2)過點的直線 的斜率不存在時，則有不符合題意，故設(shè)直線 的斜率為k，則直線方程為 ，聯(lián)立拋物線方程： ，整理得： ，設(shè) ，則，故 ，聯(lián)立，整理得： ，設(shè),則，則 ，又,故，即，整理得，解得 ，由題中所給圖可知， ，故，故直線的方程為.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，以及直線和橢圓相交時的弦長問題，綜合考查了學生分析問題，解決問題以及計算的能力，解答的關(guān)鍵是明確解答的思路，即聯(lián)立方程，計算弦長，難點就是計算量大且繁雜，要十分細心.22（1）（2）2見解析【解析】【詳解】試題分析：（1）將代入到函數(shù)，再對求導(dǎo)，分別求出和，即可求出切線方程；（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立，則先證明，構(gòu)造新函數(shù)，求出單調(diào)性，再同理可證，即可求出的最大整數(shù)值；由得，令，可得，累加后利用等比數(shù)列求和公式及放縮法即可得證.試題