制圖基本知識與技能第02章

1、第2章 正投影基礎(chǔ) 投影法2.1三視圖的形成及其投影規(guī)律 2.2點(diǎn)的投影 2.3直線的投影 2.4平面的投影 2.5【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解投影法的基本概念和分類。 掌握平行投影尤其是正投影的基本性質(zhì)。 掌握三視圖的形成及其投影規(guī)律。 掌握點(diǎn)、直線、平面的投影規(guī)律。 學(xué)會利用換面法求解幾何問題。 2.1 投影法 2.1.1 投影法的基本概念 2.1.2 投影法分類2.1.3 正投影的基本性質(zhì) 2.1.1 投影法的基本概念 投影法就是投射線通過物體向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。投影所得到的圖形，稱為投影；投影法中得到投影的面，稱為投影面。 2.1.2 投影法分類 根據(jù)投射線之間的相互關(guān)系，投

2、影法可分為中心投影法和平行投影法。1中心投影法 投射線匯交于一點(diǎn)的投影法稱為中心投影法。2平行投影法 投射線相互平行的投影法稱為平行投影法。 在平行投影法中，根據(jù)投射線與投影面的角度不同，又分為以下兩種。正投影法：投射線與投影面相互垂直的平行投影法。斜投影法：投射線與投影面相互傾斜的平行投影法。 中心投影法 平行投影法 2.1.3 正投影的基本性質(zhì) 1真實(shí)性 直線或平面平行于投影面時(shí)，其投影反映直線的實(shí)長或平面的實(shí)形，這種投影特性稱為真實(shí)性。2積聚性 直線或平面垂直于投影面時(shí)，直線的投影積聚成點(diǎn)，平面的投影積聚成直線，這種投影特性稱為積聚性。3類似性 直線或平面傾斜于投影面時(shí)，直線的投影是小于

3、實(shí)長的直線，平面的投影是原平面的類似形，但面積小于原平面，這種投影特性稱為類似性。2.2 三視圖的形成及其投影規(guī)律 2.2.1 三視圖的形成2.2.2 三視圖的投影規(guī)律2.2.1 三視圖的形成 1投影面的設(shè)立 空間3個(gè)相互垂直的投影面形成三投影面體系，這3個(gè)投影面分別如下： 正立投影面，簡稱正面，用V表示。 水平投影面，簡稱水平面，用H表示。 側(cè)立投影面，簡稱側(cè)面，用W表示。 兩投影面之間的交線稱為投影軸，相互垂直的3根投影軸分別用OX、OY、OZ表示。 OX軸V面和H面的交線。 OY軸H面和W面的交線。 OZ軸V面和W面的交線。 投影軸的交點(diǎn)O稱為原點(diǎn)。 2三視圖的形成 從物體的前面向后投影

4、，在V面上得到的視圖稱為 主視圖。從物體的上面向下投射，在H面上得到的視圖稱為 俯視圖。從物體的左面向右投射，在W面上得到的視圖稱為 左視圖。3投影面的展開 要把3個(gè)視圖畫在同一張圖紙上，就需要把3個(gè)投影面展開成一個(gè)平面。保持V面不動(dòng)，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90，使H面、W面與V面形成同一平面，在旋轉(zhuǎn)過程中，需將OY軸分解成兩個(gè)，隨H面的稱為OYH，隨W面的稱為OYW。展開后三視圖的位置是：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，如此配置視圖時(shí)不標(biāo)注視圖的名稱，也不需要畫出投影軸和表示投影面的邊框。 2.2.2 三視圖的投影規(guī)律 三視圖的投影規(guī)律：

5、主視圖與俯視圖長對正主視圖與左視圖高平齊俯視圖與左視圖寬相等 主視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即高度和長度。 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即長度和寬度。 左視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即高度和寬度。 “長對正、高平齊、寬相等”是三視圖畫圖和看圖必須遵循的最基本的投影規(guī)律。 在俯視圖和左視圖中，靠近主視圖的一邊都反映物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一邊則反映物體的前面。物體的寬度在俯視圖中為豎直方向，在左視圖中為水平方向。因此在量取寬度時(shí)，不但要注意起點(diǎn)，還要注意量取的方向。 2.3 點(diǎn)的投影 2.3.1 點(diǎn)的三面投影2.3.2 兩點(diǎn)的相對位置2.3.1 點(diǎn)的三面投影 1點(diǎn)的三面

6、投影 在三投影面體系中，有一空間點(diǎn)A，過A點(diǎn)向V面投射得到A點(diǎn)的正面投影a，向H面投射得到A點(diǎn)的水平投影a，向W面投射得到A點(diǎn)的側(cè)面投影a。 2點(diǎn)的直角坐標(biāo)與投影規(guī)律 A點(diǎn)的3個(gè)直角坐標(biāo)（XA,YA,ZA）與其3個(gè)投影a、a、a的關(guān)系如下：點(diǎn)A到H面的距離： Aa =aaX=aaYW=OaZ=ZA點(diǎn)A到V面的距離： Aa=aaX =aaZ =OaY=YA點(diǎn)A到W面的距離：Aa=aaZ=aaYH =OaX=XA 點(diǎn)的正面投影a和側(cè)面投影a的連線垂直于OZ軸，即aaOZ。點(diǎn)的正面投影a和水平投影a的連線垂直于OX軸，即aaOX。點(diǎn)的水平投影a到OX軸的距離等于側(cè)面投影a到OZ軸的距離，即aaX=a

7、aZ。 點(diǎn)在三投影面體系中的投影規(guī)律：【案例2-1】已知點(diǎn)B的投影b和b，求作b。 過b作直線垂直于OYW軸與45輔助線相交，過交點(diǎn)作直線平行于OX軸； 過b作直線垂直于OX軸，與以上直線相交于點(diǎn)b，即為所求?！景咐?-2】已知點(diǎn)A（18,10,15），求作A點(diǎn)的三面投影。 畫出投影軸，在OX軸上量取18，得到aX 過aX作OX的垂線，在此垂線上向下量取10得a；向上量取15得a 由投影a、a作出a 3特殊位置點(diǎn)的投影規(guī)律 （1）投影面上的點(diǎn)。投影面上的點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為0，有一個(gè)投影在投影面上，另外兩個(gè)投影分別在投影軸上。（2）投影軸上的點(diǎn)。投影軸上的點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)為0，有兩個(gè)投影在投影軸上重合，

8、另一個(gè)投影在原點(diǎn)。（3）與原點(diǎn)重合的點(diǎn)。與原點(diǎn)重合的點(diǎn)的3個(gè)坐標(biāo)都為0，3個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。2.3.1 兩點(diǎn)的相對位置 1兩點(diǎn)的相對位置 空間兩點(diǎn)的相對位置是指兩點(diǎn)在空間的左右、前后、上下的位置關(guān)系，由兩點(diǎn)的坐標(biāo)差來決定。常選其中一點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)，以它為參照來判斷與另一點(diǎn)的相對位置。左右位置由正面和水平投影來判斷，X坐標(biāo)大的在左。前后位置由水平和側(cè)面投影來判斷，Y坐標(biāo)大的在前。上下位置由正面和側(cè)面投影來判斷，Z坐標(biāo)大的在上。 A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（XA,YA,ZA）和（XB,YB,ZB），若以A點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，則B點(diǎn)對A點(diǎn)的一組坐標(biāo)差分別為： X軸方向坐標(biāo)差：xXBXA Y軸方向坐標(biāo)差：yYBY

9、A Z軸方向坐標(biāo)差：zZBZA x、y、z為正時(shí)，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的左、前、上方。若x、y、z為負(fù)，則B點(diǎn)在A點(diǎn)的右、后、下方。下圖的B點(diǎn)在A點(diǎn)的右、后、上方。【案例2-3】已知點(diǎn)A的三面投影，點(diǎn)B在其右方14、上方12、前方8，求作B點(diǎn)的三面投影。 由aX沿X軸向右量取x=14，得到bX，過bX作直線垂直于OX軸，沿OYH軸向前量取y=8，得到b，沿OZ軸向上量取z=12，得到b。 由兩個(gè)投影求出第三投影 。 2重影點(diǎn) 當(dāng)空間兩點(diǎn)處于同一投射線上時(shí)，這兩點(diǎn)在該投射線垂直的投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱為對該投影面的重影點(diǎn)。 重影點(diǎn)有兩個(gè)坐標(biāo)相同，可以由另一個(gè)不同的坐標(biāo)來判斷其可見性。對重合投影所在

10、投影面的距離，即對該投影面的坐標(biāo)值較大的那個(gè)點(diǎn)是可見的，而另一個(gè)點(diǎn)是不可見的，不可見的投影須加注括號。 對正面、水平和側(cè)面投影的重影點(diǎn)的可見性判別分別是前遮后、上遮下、左遮右。 2.4 直線的投影 2.4.1 直線的三面投影2.4.2 各種位置直線的投影2.4.3 一般位置直線的實(shí)長及與投影面的傾角 2.4.4 直線上的點(diǎn)2.4.5 兩直線的相對位置2.4.1 直線的三面投影 直線的投影一般仍為直線，特殊情況下積聚為一點(diǎn)。畫直線的投影，可先畫出直線兩端點(diǎn)的投影，然后用直線連接其同面投影。 2.4.2 各種位置直線的投影 按與投影面的相對位置，直線分為3類：一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直

11、線。后兩類又稱為特殊位置直線。 直線一般位置直線特殊位置直線投影面平行線投影面垂直線 與3個(gè)投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線，它對H、V、W這3個(gè)投影面的傾角分別用、來表示，3個(gè)投影的長度如下：ab=ABcosABab=ABcosABab=ABcosAB 一般位置直線的投影特性如下：（1）直線的3個(gè)投影的長度均小于實(shí)長。（2）直線的3個(gè)投影都與投影軸傾斜，且與投影軸的夾角均不反映空間直線對投影面的傾角。 1一般位置直線的投影特性 平行于一個(gè)投影面、傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線稱為投影面平行線。投影面平行線又分為以下3種：正平線：平行于V面，傾斜于H、W面。水平線：平行于H面，傾斜于V、W面。

12、側(cè)平線：平行于W面，傾斜于V、H面。 投影面平行線的投影特性總結(jié)如下：（1）直線在所平行的投影面上的投影為反映實(shí)長的斜線，它與投影軸的夾角等于直線對另外兩個(gè)投影面的傾角。（2）其余兩投影的長度均小于實(shí)長，并平行于相應(yīng)的投影軸。投影面平行線的三面投影特性可以概括為“一斜兩平”，即三面投影中，一個(gè)是斜線，另兩個(gè)與相應(yīng)投影軸平行。 2投影面平行線 側(cè)平線（W，對V、H傾斜）水平線（H，對V、W傾斜）正平線（V，對H、W傾斜） 垂直于一個(gè)投影面、同時(shí)平行于另外兩個(gè)投影面的直線稱為投影面垂直線。投影面垂直線又可分為以下3種。正垂線：垂直于V面，平行于H、W面。鉛垂線：垂直于H面，平行于V、W面。側(cè)垂線：

13、垂直于W面，平行于V、H面。投影面垂直線的投影特性總結(jié)如下。（1）直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。（2）其余兩投影反映線段實(shí)長，并分別垂直于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線的三面投影特性可以概括為“一點(diǎn)兩垂”，即三面投影中，一個(gè)積聚成點(diǎn)，另兩個(gè)與相應(yīng)投影軸垂直。3投影面垂直線側(cè)垂線（W，OX）鉛垂線（H，OZ）正垂線（V，OY）2.4.3 一般位置直線的實(shí)長及與投影面的傾角 直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長和對投影面傾角的方法。 一般位置直線AB的投影如圖所示，在四邊形ABba中，過A點(diǎn)作AB1/ab，交Bb于B1點(diǎn)，得到直角三角形ABB1。其中一條直角邊AB1=ab；另一直角邊BB1=B

14、bAa=Z，即線段兩端點(diǎn)對H面的距離差；斜邊AB即為空間線段的實(shí)長；AB與AB1的夾角就是AB對H面的傾角。 在投影圖中求線段AB的實(shí)長和對H面的傾角的步驟如下： 以水平投影ab為一直角邊； 過b作ab的垂線，在其上量取bBo=ZBZA=Z，以Z為另一直角邊； 連接aBo得直角三角形abBo，其中斜邊即為線段AB的實(shí)長，斜邊與水平投影ab的夾角即為AB對H面的傾角。 另一種直角三角形法的作圖方法，步驟如下： 過a作OX軸的平行線與bb交于點(diǎn)b0； 量取b0A0=ab； 連接bA0得直角三角形bA0b0，其中斜邊bA0即為線段AB的實(shí)長，bA0b0為AB對H面的傾角。 直角三角形法的作圖要領(lǐng)總結(jié)

15、：以線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點(diǎn)對于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實(shí)長，斜邊與投影長之間的夾角即為線段對該投影面的傾角。 直角三角形法中有4個(gè)要素：實(shí)長、投影長、坐標(biāo)差及直線對投影面的傾角，只要知道其中的任意兩個(gè)，便可確定出另外兩個(gè)。【案例24】已知線段AB的水平投影ab、點(diǎn)A的正面投影a及AB對H面的傾角=30，求線段AB的正面投影ab。 由ab和=30作直角三角形abB； 過a作OX軸的平行線，過b作OX軸的垂直線，由兩直線的交點(diǎn)向上、向下量取bB，即得B點(diǎn)的正面投影b； 連接ab即為所求，此題有兩解。 【案例25】已知線段A

16、B的正面投影ab、點(diǎn)A的水平投影a、AB的實(shí)長30，求線段AB的水平投影ab。 過b作OX軸的垂線，過a作OX軸的平行線，兩線交于b0； 以b為圓心、30為半徑畫弧，與ab0的延長線交于A0； 以a為圓心、b0A0為半徑畫弧，與bb0的延長線交于b； 連接ab即為所求。 2.4.4 直線上的點(diǎn) 若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各面投影必在該直線的同面投影上；反之，如果點(diǎn)的各面投影都在直線的同面投影上，則該點(diǎn)一定在該直線上。屬于直線上的點(diǎn)，其投影仍屬于直線的投影，且點(diǎn)分線段的比例投影后不變，即AKKB=akkb=akkb=akkb。 已知直線AB的正面投影ab、水平投影ab以及直線上點(diǎn)K的正面投影k，求其水

17、平投影k。 方法1：1求出AB的側(cè)面投影ab；2求出K的側(cè)面投影k；3依投影規(guī)律，由k、k求出k 。方法2：1過a點(diǎn)作輔助線；2量取a k0=ak，k0 b0 =kb；3連接b0 b，過k0作b0b的平行線交ab于k點(diǎn)，即為所求。 2.4.5 兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置 同面直線 異面直線 平行 相交 交叉 若空間兩直線相互平行，則它們的各組同面投影必相互平行；反之，若兩直線的各組同面投影均相互平行，則兩直線在空間必定相互平行。1兩直線平行 兩直線平行的判定方法如下：（1）當(dāng)兩直線均為一般位置時(shí)，只要有兩對同面投影互相平行就可判定兩直線在空間平行。（2）當(dāng)兩直線均為某一投影面的平行線

18、時(shí)，則需根據(jù)它們在所平行的那個(gè)投影面上的投影是否平行來判定兩直線是否平行。（a）平行 （b）不平行 若空間兩直線相交，則它們的各組同面投影都相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律；反之，若兩直線的各組同面投影都相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則該兩直線在空間必相交。 當(dāng)直線為某一投影面的平行線時(shí)，它們是否相交需要進(jìn)一步判斷，通常有以下兩種判定方法。 2兩直線相交 （1）用定比的方法判定。（2）用兩條直線的第三投影來判定。 直角投影定理如果兩直線垂直，只要其中一條直線為投影面平行線，則在所平行的投影面上兩直線的同面投影必相互垂直。 已知直線AB與直線BC在空間相互垂直，AB平行于H面。因?yàn)锳BB

19、C，ABBb，由幾何定理可知：AB必垂直BC和Bb所決定的平面Q及Q面上的任一直線（如BC1、BC2、bc等），又已知ABab，所以ab也必垂直于Q面及Q面上的任一直線，即abcb 。 兩直線的一個(gè)投影互相垂直，在空間不一定互相垂直，只有符合直角投影定理的條件才是空間相互 垂直的直線。 如果空間兩直線既不平行也不相交，則稱為兩直線交叉。交叉兩直線的投影可能有1組、2組甚至3組都是相交的，但它們的交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律，是重影點(diǎn)的投影。 判斷交叉兩直線重影點(diǎn)可見性的步驟為：從重影點(diǎn)入手畫一根垂直于投影軸的直線到另一個(gè)投影，就可以得到重影點(diǎn)不重合的兩個(gè)投影點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)中坐標(biāo)值大的點(diǎn)為可見點(diǎn)，坐標(biāo)值小的點(diǎn)為不可見點(diǎn)，不可見點(diǎn)的投影應(yīng)加括號。 3兩直線交叉2.5 平面的投影 2.5.1 平面的表示法2.5.2 各種位置平面的投影2.5.3 平面上的直線和點(diǎn) 2.5.1 平面的表示法 不在同一直線上的3個(gè)點(diǎn)；直線及直線外一點(diǎn)；兩平行直線；兩相交直線；任意平面圖形。 平面的空間位置可由下列幾種方法來確定：2.4.2 各種位置平面的投影 根據(jù)與投影面的相對位置不同，平面分為3類：一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面。后兩類又稱為特殊位置平面。 平面一般位置平面特殊位置平面投影面平行面投影面垂直面 對3個(gè)投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面。平面對H、V、