大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件第六章3逆矩陣與分塊矩陣

1、逆矩陣與逆矩陣 引言 對(duì)于數(shù)的運(yùn)算，如果對(duì)于數(shù) ，存在數(shù) ，使得 ，則稱數(shù) 為數(shù) 的倒數(shù)，記作 。從而有 對(duì)于矩陣運(yùn)算，是否有相似之處呢？ 逆矩陣的概念 設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣B為方陣A的逆矩陣，記作B=A-1.逆矩陣也稱為非奇異矩陣。例如：所以當(dāng)然 逆矩陣存在的充分必要條件性質(zhì)2、逆矩陣存在的充分必要條件 方陣A可逆且推論：如果A是n階方陣，則推論：如果A可逆，則注意足標(biāo)的變化1、方陣 的伴隨矩陣 為元素 的 代數(shù)余子式 例1 判斷下面的矩陣是否可逆，如果可逆，則求逆矩陣（1）（2）解 因?yàn)樗跃仃嘇可逆所以（2）因?yàn)樗?，矩陣B不可逆例2 用逆矩陣

2、求解線性方程組解 將方程組改寫成矩陣形式，得因?yàn)橐蚨兴裕禂?shù)矩陣A可逆解 記原矩陣方程為 AXB=C，因?yàn)樗裕仃?A、B 都可逆在原方程兩邊同時(shí)左乘 A-1，右乘 B-1，得例3 求解矩陣方程逆矩陣的性質(zhì) 1、逆矩陣是唯一存在的。 2、AB=E BA=E3、若A可逆，則A-1也可逆，且 . 4、若A可逆，數(shù) ，則 5、若A、B為同階可逆矩陣，則 6、若A可逆，則 7、 （此性質(zhì)可將定義簡化） 解例4 設(shè)三階方陣A的伴隨矩陣為 ，且 ，求分塊矩陣 分塊矩陣的概念 用穿過矩陣的橫線和豎線將矩陣A分割成若干個(gè)子塊，以這些子塊為元素的矩陣A稱為分塊矩陣。例如則A可記作稱A為以子塊A11、A12

3、、A13、A21、A22、A23為元素的分塊矩陣。如：則不是分塊矩陣。 分塊矩陣分塊矩陣的加減運(yùn)算設(shè)A、B同型，且采用完全相同的分塊方法，得則注意：A i j與B i j同型 分塊矩陣的數(shù)乘及轉(zhuǎn)置 設(shè)將A分塊得則記作列分塊 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算子塊當(dāng)作元素轉(zhuǎn)置后子塊本身再轉(zhuǎn)置。如先把子塊當(dāng)作元素運(yùn)算，然后子塊再運(yùn)算。只適用于矩陣的加、減、數(shù)乘、相乘、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算。 分塊矩陣的乘法運(yùn)算設(shè)A、B矩陣分塊得則其中注意： A的列塊數(shù)=B的行塊數(shù)；A i k的列數(shù)=B k j的行數(shù)例題：設(shè)將A、B適當(dāng)分塊，計(jì)算AB解 將A、B作如下分塊：在一、二行之間插入橫線， 在一、二列之間插入豎線（如題目所示），則則而

4、 所以1、矩陣的分塊運(yùn)算分兩步完成，首先，視子塊為元素，按 矩陣的運(yùn)算法則作第一步運(yùn)算，然后，在子塊的運(yùn)算中， 再進(jìn)行實(shí)質(zhì)上的矩陣運(yùn)算。2、在對(duì)矩陣進(jìn)行分塊時(shí)，必須遵守相應(yīng)運(yùn)算的前提條件。 如：相加減的矩陣，需采取完全相同的分塊方法；相乘 時(shí)，左矩陣的列塊數(shù)必須等于右矩陣的行塊數(shù)，同時(shí)還 須保證子塊運(yùn)算時(shí)的左子塊的列數(shù)必須等于右子塊的行 數(shù)。小結(jié)：分塊對(duì)角矩陣 如果可將矩陣A進(jìn)行適當(dāng)分塊，得到如下形式，則稱矩陣A為分塊對(duì)角矩陣。其中A i i 為方陣子塊，其余子塊均為零子塊分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)（1）（2）若A可逆，則 分塊對(duì)角矩陣其中對(duì)角線上的子塊全是方陣，其余子塊是零矩陣。如（方陣）是 不是