中南大學概率論A考試試卷答案

1、中南大學概率論A考試試卷答案(共100分，48學時，學分3)一、填空題(本題15分，共5題，每題3分) TOC o 1-5 h z 315.設(shè)X,Y為兩個隨機變量，且 P(X 0,Y 0) , P(X 0) , P(Y 0)則8283P(max(X,Y) 0)。一4.將一枚硬幣反復拋擲 n次，以X,Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則 X,Y的相關(guān)系數(shù)為13.設(shè) f(x) ke x2 6x，一、,，1為一概率密度，則 k的值為 -9-=e .4.設(shè) 啟他)為3,2上均勻分布的密度函數(shù),f2(X)為標準正態(tài)分布的概率密度，若a1fl(x),x 0f(x) 1(a2 f2(x),x 0率密度則a

2、1,a2應滿足_0.6a1 0.5a2 15.設(shè)隨機變量X,其EXDX存在，則P(|XEX | 2TdX) _0.25二、選擇題(本題 15分，共5題，每題3分) TOC o 1-5 h z .設(shè)X Y相互獨立，X服從參數(shù)為1的0-1分布，Y服從參數(shù)為1的0-1分布，則方程 23s2 2sX Y 0中s有相同實根的概率為 C(A)1(B) 2(C) 1(D) 13326口 人，,，g ，一八一-C 1、，-，、 口，.設(shè)X,Y是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布N(0,-)的隨機變量，則E(|X Y|) D(A) 0(B) 1(C) 0.5.某機器加工零件的次品率為 0.2, 一直加工到出現(xiàn)5件合格

3、品為止，X為加工 的次數(shù)，則X的分布律為 A_k _k _ _5_k _k _ _4_ k _k_ _5k 5(A) Ck 40.2 (0.8)(B) Ck 40.2 (0.8)(C) Ck 50.2 (0.8)(D) 0.2 (0.8)24、X : N( 1,)，若 P(X 3) a ,則 P( 3 X 1)=C(A) a(B) 1 a(C) 1 2a (D) 0.5 aX 一5、設(shè)二維隨機變量(X,Y): N(0,0,1,1,0),則 P(t 0) B(A) 0.25(B) 0.5(C) 0.65(D) 1三、(10分)產(chǎn)品由甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)，各廠產(chǎn)品所占比重分別為0.2,0.3和0

4、.5.甲廠產(chǎn)品次品率為0.02 ,乙廠產(chǎn)品的次品率為 0.05,丙廠產(chǎn)品的次品率為0.03.現(xiàn)取一件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)它是次品，問該產(chǎn)品恰為乙廠生產(chǎn)的概率。解：設(shè)產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)用事件A,B,C表示，產(chǎn)品為次品用事件 D表示，則有 P(A)=0.2 , P(B)=0.3 , P(C)=0.5 , P(D|A)=0.02,P(D|B)=0.05 , P(D|C)=0.03.所求概率為：P(B|D)P(BD)P(D)0.3X0.050.2X0,02 0.3X0.05 0.5X0.031534四、(10分)設(shè)X: N(0,1),求Y 2X2 3的分布與密度函數(shù)。解：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y),密度函

5、數(shù)為fY(y),有FyH) P(Y y),則當 y 3 時FY(y) 0；當 y 3 時 2 一FyH)P(Yy) P(2X 3 y)0, y 3Fy(Y)y32 (y2 ) 1, y 31一(),y 3求導得密度函數(shù)fY(y)為：fY(y)，2(y 3)0, othersX x(0 x 1)的條件下,五、(15分)設(shè)隨機變量 X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，在隨機變量Y在區(qū)間(x 1,x 1)上的均勻分布，求:(1)隨機變量X,Y的聯(lián)合概率密度；求概率P(X Y 1)；(3) Y的邊際密度fY(y)。解：(1) X的概率密度與在 X X (0 X 1)的條件下Y的條件概率密度分別為:fx(

6、X)1,0 x 10, others, x 1 y x 1fYix(ylx)20, others當 0 x 1, x 1y x 1時，隨機變量 X,Y的聯(lián)合概率密度為1,，f(x, y) fx (x) 丫供(y | x)，其它點處 f(x,y) 0,即有f(x, y)2，0 x 1,x 1 y x 10, others(2) P(X Y 1) 0.5y 12(3) fy(y) TOC o 1-5 h z ,、1f(x,y)dx=，1 0.5y,1 y 20, others六、(10分)假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障將導致全天停工，若一周5個工作日無故障，可獲利潤15萬

7、元，發(fā)生一次故障，可獲10萬元，發(fā)生2次故障, 可獲4萬元，發(fā)生3次以及以上次故障將虧損10萬元，求一周內(nèi)期望利潤為多少？解：設(shè)X表示隨機變量一周內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)，由題意知道X : B(5,0.2),從而_44P(X 1) 5 0.2 0.80.80.4096,P(X 2) 10 0.22 0.83 0.5 0.84 0.2048 , P(X 0) 0.85=0.32768,P(X 3) 0.05792故 一 周 內(nèi) 期 望 利 潤 為：EX 0.32768 15+0.4096 10+0.2048 4-0.05792 10=9.2512 (萬元)七、(10分)船在海上航行，根據(jù)經(jīng)驗可知，海浪導

8、致船的豎直方向上傾斜角大于6度的概一，1率為，現(xiàn)在船經(jīng)受了 100000次的海浪沖擊，問船豎直方向上傾角大于6度的次數(shù)介于424800次到25300次的概率。解：可將貨輪每遭受一次波浪沖擊看作是一次試驗，并認為實驗是獨立的。在100000次波浪沖擊中，縱搖角度大于6硒次數(shù)記為X，利用德莫佛-拉普拉斯定理來求。P 24800 X 25300P 24800npX np25300npnp 1pnp1 p np 1p25300 np24800 npnp 1 pnp 1 p(1.46) 1.八、(8分)設(shè)X的分布函數(shù)為FX(x)繼續(xù)且具有單值反函數(shù)，證明 Y FX(X): U (0,1)。解：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y),則FY(y) P(Y y),從而當 y1 時，F(xiàn)y(y) 1當 0 y 1 時，F(xiàn)y(y) P(Y y) P(Fx(X) y) P(X FX1(y) y從而Y的分布函數(shù)與U (0,1)的分布函數(shù)相同，所以Y服從U(0,1)。九、(7分)設(shè)X1,X2相互獨立，且均服從 N( , 2),試求Emax(X1,X2)。一 *X1.X。一一一解：令Y ，% ，則丫,丫2相互獨立且均服從 N(0,1),且maxX1,X2 maxY1,Y2maxY1,Y21