全等三角形典型例題

1、【典型例題】例1.（2008年陜西）已知：如圖，B、C、E三點在同一直線上，ACDE，ACCE，ACDeqoac(,B)求證：ABCCDE分析：已知條件中具備ACCE，要證明兩個三角形全等，需要推證其它的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，而由ACDE得EACB，DACD，又因為ACDB，所以DB得到兩個三角形全等的條件。解：ACDE，ACDD，BCAE又ACDB，BD在ABC和CDE中，ABCCDE評析：從已知條件入手尋找三角形全等的條件，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)推導(dǎo)DACD，EACE解題關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)獲得三角形全等的條件。例2.（2008年浙江衢州）如圖，ABCD（1）用直尺和圓規(guī)作C的平分線CP，C

2、P交AB于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）中作出的線段CE上取一點F，連結(jié)eqoac(,AF)要使ACFAEF，還需要添加一個什么條件？請你寫出這個條件（只要給出一種情況即可；圖中不再增加字母和線段；不要求證明）分析：根據(jù)角平分線的作法，分三步得到C的平分線對于補(bǔ)充條件使ACFAEF，由于已具備公共邊AFAF，ACFAEF，根據(jù)全等三角形判定方法和題目要求再補(bǔ)充一個角相等即可解：（1）作圖略（2）AFCE，AFCAFB，CAFBAF（選一個即可）評析：掌握三角形全等的判定方法，分析已知，結(jié)合圖形探索全等所需條件是解題關(guān)鍵例3.如圖所示，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是BA

3、延長線上一點，AFeqoac(,AB)，已知ABEADF（eqoac(,1)）在圖中，可以通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中哪一種方法，使ABE變到ADF的位置（2）線段BE與DF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論分析：根據(jù)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的特點ABE經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變到ADF的位置，因為平移后對應(yīng)邊平行，翻折后有一組對應(yīng)邊在同一直線上討論BE與DF的關(guān)系要考慮它們之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，根據(jù)全等易得BEDF對應(yīng)位置關(guān)系，需要延長BE交DF于G，觀察證明DGB90解：（1）圖中通過繞點A旋轉(zhuǎn)eqoac(,90)，使ABE變到ADF的位置（2）延長BE交DF于G，ABEADF，BEDF，ABEADF又AEBDEG，DGBD

4、AB90BEDF評析：本題意在考查對平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的理解；合理猜想、探索、推理、論證能力也在考查之中例4.（2008年河南）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在ABC中，ABAC，P是ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使QAPBAC，連接BQ、CP，則BQCP”小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQCP之后，將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQCP”仍然成立，請你就圖給出證明分析：首先由旋轉(zhuǎn)的特點得AQAP，又由QAPBAC，結(jié)合圖形，利用角的差得QABPAC，又ABeqoac(,AC)，得

5、AQBAPC，從而BQCP而點P在ABC外部時，與點P在ABC內(nèi)部時基本相同，只是在證QABPAC時利用角的和而不是差解：QAPBAC，QAPPABBACPAB，即QABPAC在QAB和PAC中，QABPAC，BQCP評析：分析已知條件，觀察圖形，培養(yǎng)“直覺”圖形的意識，確認(rèn)邊、角之間的關(guān)系，盡快地找到解題的突破口例5.如圖所示，已知ABC中，a5cm，b4cm，c3cm，B53，C37，請你從中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)畫一個三角形，使之與ABC全等，把你所能畫的三角形全部畫出來，不寫畫法，并在所畫出的三角形中標(biāo)出你選用到的數(shù)據(jù)，并說明符合條件的三角形可有多少種不同的畫法？分析：利用SSS、AAS等方法

6、畫三角形與已知ABC全等時，同學(xué)們不夠熟練，為此不妨利用三角形內(nèi)角和為180，從而可知A90，在具體畫圖時可先畫出A90后仍選用SSS、AAS等方案畫圖為宜，即在所畫出的圖形中仍只標(biāo)明B、C的度數(shù)即可解：要畫出與ABC全等的三角形，可由題設(shè)中所給出的五個數(shù)據(jù)中任選三個得十種不同的畫法，其中有四種畫法不符合SAS、SSS、ASA、AAS，故有六種畫法符合要求（1）利用“SSS”，即a5cm，b4cm，c3cm；（2）利用“SAS”，即a5cm，c3cm，B53；（3）利用“SAS”，即a5cm，b4cm，C37；（4）利用“AAS”，即c3cm，B53，C37；（5）利用“AAS”，即b4cm，

7、B53，C37；（6）利用“ASA”，即B53，a5cm，C37評析：當(dāng)題目要求在所給條件中選擇進(jìn)行作圖時，可利用分類的思想進(jìn)行討論來作，因此其作圖具有開放性這就要求思考問題要周密，分類要準(zhǔn)確，做到不重不漏【方法總結(jié)】1.在探索三角形全等方法的時候，利用了一個非常重要的數(shù)學(xué)思想，就是分類討論思想在討論問題時，我們常常用分類的方法，分類要有標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同在分類討論時，要注意標(biāo)準(zhǔn)的一致性，做到討論的對象不丟，不漏，不交叉2.全等三角形的幾種識別方法都是采用直觀感知，操作確認(rèn)的方式得到的，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，就是由特殊事例推出一般結(jié)論的方法，在學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要體會這種方法的

8、運(yùn)用3.轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中常見的一種思想方法，解題時運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，可將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，化復(fù)雜為簡單【模擬試題】（答題時間：45分鐘）一.選擇題1.下列條件，不能使兩三角形全等的是（）A.兩邊一角對應(yīng)相等B.兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等C.三邊對應(yīng)相等D.兩邊及其夾角對應(yīng)相等2.如圖所示，已知OAOB，OCOD，AD、BC相交于E，則圖中全等三角形有（）A.2對B.3對C.4對D.5對3.（2008年成都）如圖，在ABC與DEF中，已有條件ABeqoac(,DE)，還需添加兩個條件才能使ABCDEF，不能添加的一組條件是（）A.BE，BCEFB.BCEF，ACDFC.AD，BED.AD，B

9、CEF4.如圖所示，ABAC，AEAD，則ABDACE；BOECOD；點O在BAC的平分線上以上結(jié)論（）A.都正確B.都不正確C.只有一個正確D.只有一個不正確5.如圖所示，欲測量內(nèi)部無法到達(dá)的古塔相對兩點A、B間的距離，可延長AO至點C，使COAO，延長BO至點D，使DOeqoac(,BO)，則CODAOB，從而通過測量CD就可得A、B間的距離，其全等的根據(jù)是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS6.如圖所示，ABC是不等邊三角形，DEBC，以D、E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作三角形與ABC全等，這樣的三角形最多可以作出（）A.2個B.4個C.6個D.8個二.填空題7.已知AB

10、CDEF，A52，B31，ED10，則F_，AB_eqoac(,E)8.如圖所示，BDAC，CEAB，垂足分別為D、，若ABDACE，則B_，BAD_，ADB_，AB_，AD_，BD_，如果BEOCDO，那么BOE_，DO_9.已知ABCDEF，BCEF6eqoac(,cm)，ABC的面積是18cm2，則EF邊上的高是_cm10.（2008年海南）已知在ABC和eqoac(,A)1B1C1中，ABA1B1，AAeqoac(,1)，要使ABCeqoac(,A)1B1C1，還需添加一個條件，這個條件可以是_11.如圖所示，已知：ABC中，ACBC，ACB90，l是過C的任意一條直線，ADl于D，B

11、El于E，且AD2厘米，BE5厘米，那么線段DE_厘米12.如圖所示，已知點C是AOB平分線上的點，點P、P分別在OA、OB上，如果要得到OPOP，需要添加以下條件中的某一個即可，請你寫出所有可能的結(jié)果的序號：_OCPOCP；OPCOPC；PCPC；PPOC三.解答題13.（2008年濟(jì)南）已知：如圖，ABDE，ACDF，BECF求證：ABDE14.（2008年北京）已知：如圖，C為BE上一點，點A、D分別在BE兩側(cè)ABED，ABCE，BCED求證：ACCD15.已知：如圖所示，D、A、E在一條直線上，ADCAEB，BAC40，D45求：（1）B的度數(shù)；（2）BMC的度數(shù)16.如圖，若點C是A

12、B的中點，CDBE且CDBE，則D與E相等嗎？小華的思考過程如下：CDBE1BACCB，1B，CDeqoac(,BE)ACDCBEACDCBEDE你能說明每一步的理由嗎？17.如圖所示，AD和BC相交于點O，BEAD，DFBC，BEDF，ABCCDA，那么ABCD嗎？說明理由四.應(yīng)用與探究題18.如圖所示，小冰想測量一下他手中舉起的等腰直角三角板的斜邊BC是否水平，于是他采用如下行動，從BC的中點D處懸掛一物體，若自然下垂后剛好垂直通過A，則說明：（1）ADBC；（2）BC處于水平位置，請解釋其中的幾何道理19.在一次戰(zhàn)役中，如圖所示，我軍陣地與敵軍陣地隔河相望為炸掉它需知我軍陣地與碉堡的距離，在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一個戰(zhàn)士想出一個辦法，他面向碉堡方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部，然后，他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才姿態(tài)，這時視線落在自己所在岸的某一點上，接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離（1）按這個戰(zhàn)士的方法，找出教室或操場與你距離相等的兩點，并通過測量加以驗證（2）你能解釋其中的道理嗎？【試題答案】一.選擇題1.A2.C3.D4.A