全等三角形典型例題

1、【典型例題】例1.（2008年陜西）已知：如圖，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，ACDE，ACCE，ACDeqoac(,B)求證：ABCCDE分析：已知條件中具備ACCE，要證明兩個(gè)三角形全等，需要推證其它的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，而由ACDE得EACB，DACD，又因?yàn)锳CDB，所以DB得到兩個(gè)三角形全等的條件。解：ACDE，ACDD，BCAE又ACDB，BD在ABC和CDE中，ABCCDE評(píng)析：從已知條件入手尋找三角形全等的條件，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)推導(dǎo)DACD，EACE解題關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)獲得三角形全等的條件。例2.（2008年浙江衢州）如圖，ABCD（1）用直尺和圓規(guī)作C的平分線CP，C

2、P交AB于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）中作出的線段CE上取一點(diǎn)F，連結(jié)eqoac(,AF)要使ACFAEF，還需要添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你寫出這個(gè)條件（只要給出一種情況即可；圖中不再增加字母和線段；不要求證明）分析：根據(jù)角平分線的作法，分三步得到C的平分線對(duì)于補(bǔ)充條件使ACFAEF，由于已具備公共邊AFAF，ACFAEF，根據(jù)全等三角形判定方法和題目要求再補(bǔ)充一個(gè)角相等即可解：（1）作圖略（2）AFCE，AFCAFB，CAFBAF（選一個(gè)即可）評(píng)析：掌握三角形全等的判定方法，分析已知，結(jié)合圖形探索全等所需條件是解題關(guān)鍵例3.如圖所示，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA

3、延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AFeqoac(,AB)，已知ABEADF（eqoac(,1)）在圖中，可以通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中哪一種方法，使ABE變到ADF的位置（2）線段BE與DF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論分析：根據(jù)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)ABE經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變到ADF的位置，因?yàn)槠揭坪髮?duì)應(yīng)邊平行，翻折后有一組對(duì)應(yīng)邊在同一直線上討論BE與DF的關(guān)系要考慮它們之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，根據(jù)全等易得BEDF對(duì)應(yīng)位置關(guān)系，需要延長(zhǎng)BE交DF于G，觀察證明DGB90解：（1）圖中通過(guò)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)eqoac(,90)，使ABE變到ADF的位置（2）延長(zhǎng)BE交DF于G，ABEADF，BEDF，ABEADF又AEBDEG，DGBD

4、AB90BEDF評(píng)析：本題意在考查對(duì)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的理解；合理猜想、探索、推理、論證能力也在考查之中例4.（2008年河南）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在ABC中，ABAC，P是ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，使QAPBAC，連接BQ、CP，則BQCP”小亮是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過(guò)對(duì)圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQCP之后，將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQCP”仍然成立，請(qǐng)你就圖給出證明分析：首先由旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)得AQAP，又由QAPBAC，結(jié)合圖形，利用角的差得QABPAC，又ABeqoac(,AC)，得

5、AQBAPC，從而BQCP而點(diǎn)P在ABC外部時(shí)，與點(diǎn)P在ABC內(nèi)部時(shí)基本相同，只是在證QABPAC時(shí)利用角的和而不是差解：QAPBAC，QAPPABBACPAB，即QABPAC在QAB和PAC中，QABPAC，BQCP評(píng)析：分析已知條件，觀察圖形，培養(yǎng)“直覺(jué)”圖形的意識(shí)，確認(rèn)邊、角之間的關(guān)系，盡快地找到解題的突破口例5.如圖所示，已知ABC中，a5cm，b4cm，c3cm，B53，C37，請(qǐng)你從中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)畫一個(gè)三角形，使之與ABC全等，把你所能畫的三角形全部畫出來(lái)，不寫畫法，并在所畫出的三角形中標(biāo)出你選用到的數(shù)據(jù)，并說(shuō)明符合條件的三角形可有多少種不同的畫法？分析：利用SSS、AAS等方法

6、畫三角形與已知ABC全等時(shí)，同學(xué)們不夠熟練，為此不妨利用三角形內(nèi)角和為180，從而可知A90，在具體畫圖時(shí)可先畫出A90后仍選用SSS、AAS等方案畫圖為宜，即在所畫出的圖形中仍只標(biāo)明B、C的度數(shù)即可解：要畫出與ABC全等的三角形，可由題設(shè)中所給出的五個(gè)數(shù)據(jù)中任選三個(gè)得十種不同的畫法，其中有四種畫法不符合SAS、SSS、ASA、AAS，故有六種畫法符合要求（1）利用“SSS”，即a5cm，b4cm，c3cm；（2）利用“SAS”，即a5cm，c3cm，B53；（3）利用“SAS”，即a5cm，b4cm，C37；（4）利用“AAS”，即c3cm，B53，C37；（5）利用“AAS”，即b4cm，

7、B53，C37；（6）利用“ASA”，即B53，a5cm，C37評(píng)析：當(dāng)題目要求在所給條件中選擇進(jìn)行作圖時(shí)，可利用分類的思想進(jìn)行討論來(lái)作，因此其作圖具有開放性這就要求思考問(wèn)題要周密，分類要準(zhǔn)確，做到不重不漏【方法總結(jié)】1.在探索三角形全等方法的時(shí)候，利用了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想，就是分類討論思想在討論問(wèn)題時(shí)，我們常常用分類的方法，分類要有標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同在分類討論時(shí)，要注意標(biāo)準(zhǔn)的一致性，做到討論的對(duì)象不丟，不漏，不交叉2.全等三角形的幾種識(shí)別方法都是采用直觀感知，操作確認(rèn)的方式得到的，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，就是由特殊事例推出一般結(jié)論的方法，在學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要體會(huì)這種方法的

8、運(yùn)用3.轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種思想方法，解題時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，可將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單【模擬試題】（答題時(shí)間：45分鐘）一.選擇題1.下列條件，不能使兩三角形全等的是（）A.兩邊一角對(duì)應(yīng)相等B.兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等C.三邊對(duì)應(yīng)相等D.兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等2.如圖所示，已知OAOB，OCOD，AD、BC相交于E，則圖中全等三角形有（）A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)3.（2008年成都）如圖，在ABC與DEF中，已有條件ABeqoac(,DE)，還需添加兩個(gè)條件才能使ABCDEF，不能添加的一組條件是（）A.BE，BCEFB.BCEF，ACDFC.AD，BED.AD，B

9、CEF4.如圖所示，ABAC，AEAD，則ABDACE；BOECOD；點(diǎn)O在BAC的平分線上以上結(jié)論（）A.都正確B.都不正確C.只有一個(gè)正確D.只有一個(gè)不正確5.如圖所示，欲測(cè)量?jī)?nèi)部無(wú)法到達(dá)的古塔相對(duì)兩點(diǎn)A、B間的距離，可延長(zhǎng)AO至點(diǎn)C，使COAO，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)D，使DOeqoac(,BO)，則CODAOB，從而通過(guò)測(cè)量CD就可得A、B間的距離，其全等的根據(jù)是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS6.如圖所示，ABC是不等邊三角形，DEBC，以D、E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作三角形與ABC全等，這樣的三角形最多可以作出（）A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)二.填空題7.已知AB

10、CDEF，A52，B31，ED10，則F_，AB_eqoac(,E)8.如圖所示，BDAC，CEAB，垂足分別為D、，若ABDACE，則B_，BAD_，ADB_，AB_，AD_，BD_，如果BEOCDO，那么BOE_，DO_9.已知ABCDEF，BCEF6eqoac(,cm)，ABC的面積是18cm2，則EF邊上的高是_cm10.（2008年海南）已知在ABC和eqoac(,A)1B1C1中，ABA1B1，AAeqoac(,1)，要使ABCeqoac(,A)1B1C1，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是_11.如圖所示，已知：ABC中，ACBC，ACB90，l是過(guò)C的任意一條直線，ADl于D，B

11、El于E，且AD2厘米，BE5厘米，那么線段DE_厘米12.如圖所示，已知點(diǎn)C是AOB平分線上的點(diǎn)，點(diǎn)P、P分別在OA、OB上，如果要得到OPOP，需要添加以下條件中的某一個(gè)即可，請(qǐng)你寫出所有可能的結(jié)果的序號(hào)：_OCPOCP；OPCOPC；PCPC；PPOC三.解答題13.（2008年濟(jì)南）已知：如圖，ABDE，ACDF，BECF求證：ABDE14.（2008年北京）已知：如圖，C為BE上一點(diǎn)，點(diǎn)A、D分別在BE兩側(cè)ABED，ABCE，BCED求證：ACCD15.已知：如圖所示，D、A、E在一條直線上，ADCAEB，BAC40，D45求：（1）B的度數(shù)；（2）BMC的度數(shù)16.如圖，若點(diǎn)C是A

12、B的中點(diǎn)，CDBE且CDBE，則D與E相等嗎？小華的思考過(guò)程如下：CDBE1BACCB，1B，CDeqoac(,BE)ACDCBEACDCBEDE你能說(shuō)明每一步的理由嗎？17.如圖所示，AD和BC相交于點(diǎn)O，BEAD，DFBC，BEDF，ABCCDA，那么ABCD嗎？說(shuō)明理由四.應(yīng)用與探究題18.如圖所示，小冰想測(cè)量一下他手中舉起的等腰直角三角板的斜邊BC是否水平，于是他采用如下行動(dòng)，從BC的中點(diǎn)D處懸掛一物體，若自然下垂后剛好垂直通過(guò)A，則說(shuō)明：（1）ADBC；（2）BC處于水平位置，請(qǐng)解釋其中的幾何道理19.在一次戰(zhàn)役中，如圖所示，我軍陣地與敵軍陣地隔河相望為炸掉它需知我軍陣地與碉堡的距離，在不能過(guò)河測(cè)量又沒(méi)有任何測(cè)量工具的情況下，一個(gè)戰(zhàn)士想出一個(gè)辦法，他面向碉堡方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過(guò)帽檐正好落在碉堡的底部，然后，他轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，保持剛才姿態(tài)，這時(shí)視線落在自己所在岸的某一點(diǎn)上，接著，他用步測(cè)的辦法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡間的距離（1）按這個(gè)戰(zhàn)士的方法，找出教室或操場(chǎng)與你距離相等的兩點(diǎn)，并通過(guò)測(cè)量加以驗(yàn)證（2）你能解釋其中的道理嗎？【試題答案】一.選擇題1.A2.C3.D4.A