大學(xué)線性代數(shù)矩陣教學(xué)最全件

1、大學(xué)線性代數(shù)矩陣教學(xué)最全件第一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣1 矩陣的概念一、矩陣的定義定義: 由mn個數(shù)aij (i = 1,2, , m ; j = 1,2, , n) 排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣,簡稱mn矩陣.第二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月 為表示它是一個整體，總是加一個括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作簡記為: A = Amn = ( aij )mn = ( aij ). 這mn個數(shù)稱為矩陣A的元素, 數(shù)aij稱為矩陣A的第i行第 j列元素.第二章 矩陣1 矩陣的概念第三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月 元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,

2、 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣. 本書中的矩陣除特別說明者外，都指實(shí)矩陣。 例如:是一個24實(shí)矩陣;是一個33復(fù)矩陣;是一個14(實(shí))矩陣;是一個31(實(shí))矩陣;是一個11(實(shí))矩陣.第二章 矩陣1 矩陣的概念第四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月二、幾種特殊矩陣?yán)?是一個3 階方陣. (1) 行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A, 稱為n階方陣. 也可記作An, (2) 只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).(3) 只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).第二章 矩陣1 矩陣的概念第五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月 (4) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣, 記作O.例如注意：不同階數(shù)的零矩陣

3、是不相等的.的方陣, 稱為單位矩陣，(5) 形如其中主對角線上的元素都是1，其他元素都是0。記作:第二章 矩陣1 矩陣的概念第六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣1 矩陣的概念的方陣, 稱為對角矩陣(或?qū)顷?, (6) 形如其中1, 2, , n不全為零.記作A=diag(1, 2, , n) (7) 設(shè)A = ( aij )為 n 階方陣, 對任意 i, j, 如果aij = aji都成立, 則稱A為對稱矩陣. 例如:為對稱矩陣.第七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣1 矩陣的概念 2. 如果A = ( aij )與B = ( bij )為同型矩陣, 并

4、且對應(yīng)元素相等, 即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n ) 則稱矩陣A與矩陣B相等, 記作A=B.三、同型矩陣與矩陣相等的概念1. 兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時，稱它們?yōu)橥途仃?例如:為同型矩陣.解: 由于矩陣A =B, 則由矩陣相等的定義,得:例1: 設(shè)已知A =B, 求x, y, z.x=2, y=3, z=2.第八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣1 矩陣的概念例2：見P36（自學(xué)）n個變量x1、x2、xn與m個變量y1、y2、ym之間的關(guān)系式表示一個從變量x1、x2、xn到變量y1、y2、ym的線性變換，其中aij為常

5、數(shù)。四、矩陣應(yīng)用舉例例3：(線性變換) 參考P44第九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣1 矩陣的概念系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.第十張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣1 矩陣的概念線性變換稱之為恒等變換.再如：它對應(yīng)著單位矩陣第十一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣1 矩陣的概念注：行列式與矩陣的區(qū)別:1. 一個是算式 ，一個是數(shù)表2. 一個行列數(shù)相同 , 一個行列數(shù)可不同.3. 對 n 階方陣可求它的行列式. 記為:第十二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義:設(shè)有兩個mn

6、 矩陣A = (aij )與 B = (bij ),那么矩陣A與B的和記作A+B,規(guī)定為注意:只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時,這兩個矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算.第十三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算例：第十四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算矩陣加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B、C都是mn 矩陣)： (1) 交換律：A+B= B+A, (2) 結(jié)合律：(A+B) +C= A+ (B+C), (3) 若記：-A = - (aij),稱為矩陣A的負(fù)矩陣，則有： A+ (-A)=O, A-B = A+ (-B).二、數(shù)與矩陣相乘定義:數(shù)與矩陣A的

7、乘積記作A或A, 規(guī)定為第十五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算例：第十六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算注意：矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別.矩陣數(shù)乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B都是mn 矩陣, , 為數(shù))矩陣相加與矩陣數(shù)乘合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.第十七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算 定義: 設(shè)A = ( aij )是一個 ms 矩陣, B = ( bij )是一個sn 矩陣, 定義矩陣A與矩陣B的乘積 C = ( cij )是一個mn 矩陣, 其中三、矩陣與矩陣相乘 ( i=1,2, m;

8、 j=1,2, n ). 并把此乘積記作C=AB. 記號AB常讀作A左乘B或B右乘A。 注意: 只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時, 兩個矩陣才能相乘.第十八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算例5：求矩陣的乘積AB及BA .解：由于矩陣A與矩陣B均為二階方陣，所以二者可以互乘。第十九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算例5表明：矩陣乘法不滿足交換律, 即: AB BA,另外，矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（其中 為數(shù)）;定義: 如果兩矩陣相乘，有AB= BA, 則稱矩陣A與矩陣B可交換，簡稱A與B可換。第二十張，PPT共一百頁

9、，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算上節(jié)例3中的線性變換（1）利用矩陣的乘法，可記作其中，線性變換(1)把X變成Y，相當(dāng)于用矩陣A去左乘X得到Y(jié)。第二十一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算并且滿足冪運(yùn)算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中k, m為正整數(shù).注意: 由于矩陣乘法不滿足交換律, 則:若A是n 階方陣, 則Ak為A的k次冪, 即 方陣的冪：第二十二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義:把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT.例：矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下述

10、運(yùn)算規(guī)律(假設(shè)運(yùn)算都是可行的) :(1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;(3) (A)T = AT; (4) (AB)T = BTAT;第二十三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算解法1: 因?yàn)槔?: 已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT第二十四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算由矩陣轉(zhuǎn)置和對稱矩陣的定義可得:方陣A 為對稱矩陣的充分必要條件是: A=AT.證明: 自學(xué) （見P49） 例8: 設(shè)列矩陣X = (x1 x2 xn)T, 滿足XTX = 1, E為n 階單位矩陣, H =

11、E 2XXT, 證明: H為對稱矩陣, 且HHT = E.如果AT = -A，則稱A 為反對稱矩陣。第二十五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算五、方陣的行列式定義:由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變),稱為方陣A的行列式,記作|A| 或det A.例方陣的行列式滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1) | AT | = | A |;(2) | A | = n| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.第二十六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣2 矩陣的運(yùn)算六、共軛矩陣 定義: 當(dāng)

12、A = (aij) 為復(fù)矩陣時, 用 表示aij 的共軛復(fù)數(shù), 記 , 稱 為A 的共軛矩陣. 共軛矩陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A, B為復(fù)矩陣, 為復(fù)數(shù), 且運(yùn)算都是可行的):作業(yè)：P49習(xí)題2-2 5. 7.（用矩陣求解）第二十七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣定義:對于n階矩陣A,如果有一個n階矩陣B,使 AB = BA =E則說矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣,簡稱逆陣. 記作：A-1= B唯一性：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.證明：所以A 的逆矩陣是唯一的。一、逆矩陣的定義和性質(zhì)第二十八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3

13、逆矩陣方陣的逆矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律(1) 若矩陣A可逆, 則A-1亦可逆, 且(A-1)-1 = A.(2) 若矩陣A可逆, 且 0, 則 A 亦可逆, 且(3) 若A, B為同階可逆方陣, 則AB亦可逆, 且(AB)-1 = B-1A-1.(4) 若矩陣A可逆, 則AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.(5) 若矩陣A可逆, 則有| A-1 |=| A |-1.第二十九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣第三十張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣 定義: 行列式 | A | 的各個元素的代數(shù)余子式Aij 所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A

14、的伴隨矩陣.性質(zhì): AA* = A*A = | A |E.證明: 自學(xué) 二、伴隨矩陣的概念及其重要性質(zhì)第三十一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣三、矩陣可逆的判別定理及求法例9 設(shè)求A的逆矩陣.解: 利用待定系數(shù)法.是A的逆矩陣,設(shè)即由解得,則解完否？第三十二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣又因?yàn)樗约碅B = BA = E, 如上求逆矩陣的方法對于方陣的階較高時顯然是不可行的, 必須尋求可行而有效的方法.定理: 矩陣A可逆的充要條件是| A | 0, 且其中A*為矩陣A的伴隨矩陣.第三十三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章

15、 矩陣3 逆矩陣證明：由伴隨矩陣的性質(zhì): AA*= A*A = | A | E, 知當(dāng)| A | 0時,由逆矩陣的定義得,第三十四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣 當(dāng)| A | = 0 時, 稱A為奇異矩陣, 否則稱A為非奇異矩陣. 由此可得, A是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異矩陣.推論: 若 AB=E (或 BA=E), 則 B=A-1.證明: 由 AB = E 得, | A | | B | = | E | = 1,故| A | 0.因而, A-1存在,于是B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.故結(jié)論成立.例10

16、求方陣 的逆矩陣.第三十五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣解同理可得第三十六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣所以例11 設(shè)求矩陣X使其滿足 AXB=C.解: 由于所以, A-1, B-1都存在. 且第三十七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣又由 AXB = C, 得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1,則 X = A-1CB-1.于是X = A-1CB-1第三十八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣3 逆矩陣注意：解矩陣方程時，要注意已知矩陣與X的位置關(guān)系，例如解AX=B,需先考察A是否

17、可逆，只有A可逆才可以解此矩陣方程，在方程兩邊同時左乘A的逆，而不能右乘，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律。矩陣方程解第三十九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣引言:對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，為了簡化運(yùn)算，常采用分塊法,使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.定義:將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣,每一個小矩陣稱為A的子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.一、分塊矩陣的定義例如:第四十張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣第四十一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則 (1) 分塊矩陣的加法: 設(shè)矩陣A與B是同

18、型的, 且采用相同的分塊法, 有其中子塊Aij與Bij是同型的( i=1,2, s ; j=1,2, r ), 則第二章 矩陣4 分塊矩陣第四十二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 分塊矩陣的數(shù)乘:第二章 矩陣4 分塊矩陣第四十三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣 (3) 分塊矩陣的乘法:設(shè)A為ml 矩陣, B為l n矩陣, 分塊為其中Ai1, Ai2, , Ait的列數(shù)分別等于B1j, B2j, , Btj的行數(shù), 則其中( i=1, 2, , s ; j=1, 2, , r ).第四十四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月例12 設(shè)求AB.解:

19、 把A, B分塊成則第二章 矩陣4 分塊矩陣第四十五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣而于是第四十六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣(4) 設(shè)則 (5) 設(shè)A為n階方陣, 若A的分塊矩陣除在對角線上有非零子塊外, 其余子塊均為零矩陣,且對角線上的子塊都是方陣，即其中Ai (i = 1, 2, , s)都是方陣,則稱A為分塊對角矩陣.第四十七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣1. | A | = | A1 | | A2 | | As |.2. 設(shè)分塊對角矩陣A, 若| Ai | 0 (i=1,2,s),

20、則| A | 0, 且3.分塊對角矩陣具有下述性質(zhì):第四十八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣其中則所以解: 將A 分塊例13 設(shè)求A-1.形成分塊對角矩陣. 第四十九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣對于線性方程組記三、分塊矩陣的應(yīng)用：線性方程組的表示(2)第五十張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣4 分塊矩陣其中A稱為系數(shù)矩陣,x稱為未知數(shù)向量, b稱為常數(shù)項向量, B稱為增廣矩陣.按分塊矩陣的記法,可記 B= (A b)或 B= (A , b) = (a1 , a2 , ,an , b).利用矩陣的乘法,方程組(

21、2)可記作 Ax = b作業(yè)：P56習(xí)題2-3 1.(2) 2.(3) P63習(xí)題2-4 5.第五十一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換分析: 用消元法解下列方程組的過程.引例: 求解線性方程組一、消元法解線性方程組解:2第五十二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換232第五十三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換+532第五十四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換用“回代”的方法求出解:其中x3可以任意取值.或令x3=c, 方程組的解可記作:其中c為任意常

22、數(shù).(2)或第五十五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換 1. 始終把方程組看作一個整體變形, 用到如下三種變換:歸納以上過程:(3) 一個方程加上另一個方程的 k 倍;(2) 以不等于0的數(shù) k 乘某個方程;(1) 交換方程次序;2. 上述三種變換都是可逆的.第五十六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換由于三種變換都是可逆的, 所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的. 故這三種變換是同解變換.在上述變換過程中, 只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,未知量并未參與本質(zhì)性運(yùn)算. 因此，若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(

23、方程組(1)的增廣矩陣)的變換.把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上，就得到矩陣的三種初等變換。第五十七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換二、矩陣的初等變換定義1: 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: (1) 對調(diào)兩行 (對調(diào) i, j 兩行, 記作 ri rj ) ; (2) 以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素 ( 第 i 行乘 k, 記作 ri k ); (3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的對應(yīng)元素上去 (第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去, 記作 ri+krj ). 把定義中的“行”換成“列”,即得矩陣的初等列變換的定義( 所用記號是把“r

24、”換成“c” )定義2: 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.對換變換倍乘變換倍加變換第五十八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換說明:三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換:ri rj 的逆變換為 ri rj;ri k 的逆變換為 ri (1/k), 或 ri k; ri+krj 的逆變換為 ri+(k)rj , 或 ri krj . 定義3: 如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊, 則稱矩陣A與矩陣B等價. 記作AB.矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)：(1) 反身性: A A;(2) 對稱性: 若A B, 則 B A;(3) 傳遞

25、性: 若A B, 且 B C, 則A C.第五十九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換用矩陣的初等行變換解方程組(1)，其過程可與方程組(1)的消元過程一一對照.r1r2r322第六十張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換r2r3r32r1r43r123r2 22第六十一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換r3+5r2r43r2+53r32r4r4r32第六十二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換r2r3r1r2B6對應(yīng)的方程組為:或令x3=c(c為任意常數(shù)),

26、 方程組的解可記作:第六十三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換定義4:矩陣B5和 B6都稱為行階梯形矩陣,其特點(diǎn)是: (1) 可畫出一條階梯線,線的下方全為0 ; (2) 每個臺階只有一行, 階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元,也就是非零行的第一個非零元. 行階梯形矩陣B6還稱為行最簡形矩陣, 其特點(diǎn)是：非零行的第一個非零元為1, 且這些非零元所在的列的其它元素都為0.第六十四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換 (2)利用初等行變換,解線性方程組只需把增廣矩陣化為行最簡形矩陣. (3)一個矩陣的行

27、最簡形矩陣是唯一確定的, 而其行階梯形矩陣卻不是唯一的，但是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的.行最簡形矩陣再經(jīng)過若干次初等列變換可化成標(biāo)準(zhǔn)形.說明: (1) 對于任何矩陣Amn,總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣；行最簡形矩陣一定是行階梯形矩陣，但行階梯形矩陣不一定是行最簡形矩陣。第六十五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初等變換c54c13c2+3c3矩陣F稱為矩陣B的標(biāo)準(zhǔn)形. 特點(diǎn): 標(biāo)準(zhǔn)形F的左上角是一個單位矩陣, 其余元素全為零.B6c3c4c4+c1+c2第六十六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣5 矩陣的初

28、等變換任一個矩陣Amn總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 此標(biāo)準(zhǔn)形由m, n, r三個數(shù)唯一確定, 其中r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).第六十七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月三、矩陣的初等變換的性質(zhì)第二章 矩陣5 矩陣的初等變換定理1 設(shè)A與B為mn矩陣，那么： 的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣P，使PA=B.（3）AB的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q,使PAQ =B. 的充分必要條件是：存在n階可逆矩陣Q，使AQ=B.推論 方陣A可逆的充分必要條件是 .第六十八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)| A | 0時, 則由 定理1及推論可知，存在可逆矩陣P，使

29、得(i)式表明A經(jīng)一系列初等行變換可變成E，(ii)式表明E經(jīng)同樣的初等行變換即變成A-1，利用分塊矩陣的形式， (i)、 (ii)兩式可合并為：四、矩陣的初等變換的應(yīng)用 及()()即, 對n2n矩陣(A|E)施行初等行變換, 當(dāng)把A變成E的同時, 原來的E就變成了A-1.1. 利用初等變換求可逆矩陣的逆陣 第二章 矩陣5 矩陣的初等變換第六十九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 利用初等變換求矩陣A-1B 同樣，對矩陣方程 AX = B, 其中A為n階方陣, B為ns 階矩陣, 如果A可逆, 則X =A-1B.考慮分塊矩陣(A | B), 可得即, 當(dāng)一系列初等行變換將A化為E 的

30、同時也將B化為了A-1B.第二章 矩陣5 矩陣的初等變換第七十張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月解:r22r1r33r1r1+r2r3r2r12r3r25r3例1: 設(shè)A=求A-1.第二章 矩陣5 矩陣的初等變換第七十一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月例2: 求矩陣X, 使AX=B, 其中解: 若A可逆, 則 X=A-1B.r22r1r33r1r2(2)r3(1)所以第二章 矩陣5 矩陣的初等變換第七十二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月r2(2)r3(1)所以作業(yè)：P71習(xí)題2-53. (3) 4. (3) (4) 5.(2)（提示見下頁）r1+r2r3r2r12r3r2

31、5r3第二章 矩陣5 矩陣的初等變換第七十三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月如果要求X=BA-1, 則可對矩陣作初等列變換.列變換即可求得X=BA-1.通常更習(xí)慣作初等行變換，此時應(yīng)對(AT|BT)作初等行變換.行變換即可求得XT=(AT)-1BT=(A-1)TBT =(BA-1)T,從而求得X=BA-1.第二章 矩陣5 矩陣的初等變換習(xí)題2-5：5（2）提示：第七十四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩一、矩陣秩的概念 定義: 在mn矩陣A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于這 k 行 k 列交叉處的 k2個元素, 不改變它們在A中所處的位置

32、次序而得到的 k 階行列式, 被稱為矩陣A的k階子式.說明：mn矩陣A的k階子式共有定義:設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的一個最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩,記作 R(A) . 規(guī)定: 零矩陣的秩等于0. 說明: mn矩陣A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高階數(shù).第七十五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩例3: 求矩陣A和B的秩，其中A的3階子式只有| A |, 且經(jīng)計算可知 | A | = 0.所以, R(A)=2.B =解: 在矩陣A中，容易看出一個2階子式 而矩陣 B是一個行階梯形

33、矩陣, 其非零行有3行,所以B的所有4階子式全為零.而以三個非零行的第一個非零元為對角元的3階行列式所以, R(B)=3.第七十六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩二、矩陣秩的求法定理2: 若A B, 則 R(A) = R(B).證明不作要求 利用初等變換求矩陣秩的方法: 用初等行變換把矩陣變成為行階梯形矩陣, 行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4: 求矩陣A=的秩. 并求A的一個最高階非零子式.解: 用初等行變換將A化為行階梯矩陣:第七十七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩r1r4r2r4r32r1r43r1r33r2r44

34、r2r4r3由階梯形矩陣有三個非零行可知: R(A)=3.以下求A的一個最高階非零子式.第七十八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩將矩陣A按列分塊, A=(a1 a2 a3 a4 a5), 則矩陣B=(a1 a3 a5)的行階梯形矩陣為由于R(A)=3，可知A的最高階非零子式為3階。矩陣A的3階考察A的行階梯形矩陣.子式共有 所以R(B)=3, 故B中必有3階非零子式, B的3階子式共有4個. 計算B的前三行構(gòu)成的子式 第七十九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩則這個子式便是A的一個最高階非零子式. 對于n階可逆方陣A ，因?yàn)閨 A

35、| 0, 所以 A的最高階非零子式為| A |, 則R(A)=n. 即可逆矩陣的秩等于階數(shù). 故又稱可逆(非奇異)矩陣為滿秩矩陣, 奇異矩陣又稱為降秩矩陣.第八十張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩例5:設(shè)求矩陣A和矩陣B=(A | b)的秩.分析: 設(shè)矩陣B的行階梯形矩陣為B=(A| b),則A就是A的行階梯形矩陣.因此可以從B=(A| b)中同時考察出R(A)及R(B).解:r22r1r3+2r1r43r1第八十一張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩所以, R(A)=2, R(B)=3.r22r3r2r4+3r2r35r4r3=B1說

36、明：此例中的矩陣B為矩陣A和向量b所對應(yīng)的線性方程組Ax=b的增廣矩陣. B1為與Ax=b等價的線性方程組A1x=b1的增廣矩陣. A1x=b1的第三個方程為0=1, 即矛盾方程,由此可知: 方程組A1x=b1無解, 故方程組Ax=b也無解. 第八十二張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩三、矩陣秩的性質(zhì)性質(zhì)1: 0 R(Amn) minm, n;性質(zhì)2: R(AT) = R(A);性質(zhì)3: 若A B, 則R(A) = R(B);性質(zhì)4: 若P, Q可逆, 則R(PAQ) = R(A);性質(zhì)5: maxR(A), R(B) R(A B) R(A) + R(B)；性質(zhì)6

37、: R(A + B) R(A) + R(B).性質(zhì)7: R(AB) minR(A), R(B).性質(zhì)8: 若AmnBnl =O, 則R(A)+R(B) n .第八十三張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣6 矩陣的秩例6: 設(shè)n階方陣A滿足A2=A ,E為n階單位矩陣， 證明：R(A)+R(AE) = n .所以, 由矩陣秩的性質(zhì)8可知:R(A)+R(AE) n.證明: 由條件A2=A得, A(AE)=O, 再由矩陣秩的性質(zhì)6結(jié)論得:R(A)+R(AE) = R(A)+R(EA) R(A+(EA)= R(E) = n.因此, 有R(A)+R(AE)=n.作業(yè)：P77習(xí)題2-6 6

38、. (3)第八十四張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣 本章小結(jié)1.內(nèi)容提要 名 稱 要 點(diǎn)矩陣的概念(1)矩陣的定義以及七種特殊矩陣(2)同型矩陣及矩陣相等的概念矩陣的運(yùn)算(1)矩陣的各種運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律逆矩陣（重點(diǎn)）(1)可逆矩陣的定義及性質(zhì)(2)伴隨矩陣的性質(zhì)(3)矩陣可逆的判別定理及可逆矩陣的求法分塊矩陣(1)分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則(2)利用分塊矩陣求逆矩陣第八十五張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣 本章小結(jié)名 稱 要 點(diǎn)矩陣的初等變換(1)三種初等變換(2)矩陣的行階梯形、行最簡形及標(biāo)準(zhǔn)形（牢記）(3)矩陣初等變換的應(yīng)用(重點(diǎn))矩陣的秩(1)矩陣秩的定義

39、及性質(zhì)(2)矩陣秩的求法(重點(diǎn))第八十六張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣 本章小結(jié)(4)初等變換法.2. 求逆矩陣的方法:牢記(2)伴隨矩陣法:(3)分塊矩陣法；(1)待定系數(shù)法; 第八十七張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣 本章小結(jié)3.求矩陣秩的方法 (1)利用定義(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù)); (2)初等變換法(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).4.對n階方陣A，下列說法等價是可逆矩陣是非奇異矩陣是滿秩矩陣AE第八十八張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣 習(xí)題課例1設(shè)方陣A滿足方程(1)證：(2)第八十九張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于2022年6月第二章 矩陣習(xí)題課例2 設(shè)三階方陣A, B滿足關(guān)系式: A-1BA=6A+BA,且求B.解: 由于|A|=1/56 0,所以A可逆, 且由 A-1BA=6A+BA, 得 A-1BABA=6A,則 (A-1E)BA= 6A,第九十張，PPT共一百頁，創(chuàng)作于20