中國古代對角度的認識

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我 一、角的定羲除了黑占、面、H之外，角度是人I黑何直1!不I8掌握的一他概念。 但是在中閾古典的天文、唇孥奧數(shù)孥中，角度的熬言法似乎有欠圄滿。SiH琮曾 /中閾古代不知利用角度，然有周髀測望循日、月、星辰在天空中地位， 亦大概可知矣。U 1他遢在彳爰世教孥害中，一般角的概念沒有得到工鷹有的重視。M 2增建刖：中閾古代365分度方法封於碓定天醴空方位是有效的，惟其有效，才阻滯了其他分度方法的崖生，厚致了角度概 念的不彝連。U3K-nm： 中閾古代的天文家在明末西入之前， 一直未彝展出近似西方黑何!整的角度概念。常量度星醴的角大小或雨黑占的角距離隹畤，文獻中所用古度

2、值的意羲常因人而有畤近於垣代的角度值，有畤 郤直接以潭倭碟上的刻副差來表示，故常以窺管測趣星距趣度或日、月的H彳至畤， 其值往往敕今黑何孥中的角度值大一倍左右。U4崟U君爆更迤一步斷言：中閾除了直角之外沒有一般的角度覲念。U 5其角度比黑占、等基本襄何概念的內(nèi)涵更懸H富，因此可以優(yōu)上等, 但著眼黑占迥累的方向杰熬言敲它。若要究起來，垣代數(shù)孥甚至可由向量空旋 樽群等出彝，再逐步引入角度的概念。U 6西方古典襄何孥的代表作是歐黑 里得的襄何原本，根St Thomas L. Heath的翻。睪，定羲八描述了平面角度 的意羲：A plane angle is the inclination to on

3、e another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.U 7道他定羲在利瑞簧典徐光改的黑何原本中群懸：平角者，雨直于平面畿橫相遇交接SUU 83沒有黑占出inclination /的意味。Heath IS 懸inclination是歐襄里得的創(chuàng)意，因懸在他之前一般人是把角看作折曲或折斷的Heath遢粽述了西方古代封角度的槿槿不同看法，甚至角度鷹JBII、量遢是信在彳系哪一槿乾嚼，也引起不少的H謫。最彳爰他引用十九世女已末 Schotten的茨;法，把角度的定羲方式10

4、分懸三JS:（一）角是雨脩直方向的差別（二）角是優(yōu)一遏旋樽到連另一遏的量 （三）角是雨僚直相交的那部分平面。既然西方黑何孥中封角的熬晶敲也有黑套醴系,、我伸號似乎更致力釐清中閾 封角度理解的遮姬典特色，而不必就著在古代是否有垣代角度覲念的曲題上。二、技蓼木里的角度角是一他非常曾罩而易見的襄何覲念，古代人民通謾震具、兵器、隼IB、S 器的裂造不可能不樊垣角的存在。但是角道他字的原意，按文解字是 指默角，最初或不用它來耦呼襄何量?？脊ぱ约何蠢锸且再乒幢硎窘嵌?， 倨表金屯，勾表S&,正如用多少表示量，晨短表示晨?？脊ぱ约旱囊?氏有已倨JW不入，已勾JW不決，倨勾外博。倨勾中矩。韓人 有倨勾磬折，磬氏

5、有懸磬，倨勾一矩有半。 串人有倨勾磬折， 酒之中地?？梢娰乒词欠褐钢钡那鄢潭?，道有黑占I似歐黑里得以前希 月施人封角的定羲。串人中也言已戴了一些特殊的角，所滑半矩滑之宣，一宣 有半酒之橘，一橘有半酒之柯，一柯有半酒之磬折。很多謫述都由此推算出宣 是45 ,橘是67 30,樹是101 15,磬折是151 5230。不謾脫1第技蓼 的埸所，道些角度或沒有SOI彝展下去。本來有械曾作懸一般角統(tǒng)耦的倨勾， 彳爰來也不見了 W。迨一服最有可能典西方角度覲念合流的思路，在中閾很令人 惋惜的未能樊揭起來。 考工言己遢有另一修可以彝展出角度的服余各。篥氏有合六而成規(guī),弓人有懸天子之弓，合九而成規(guī)。懸褚侯之弓

6、，合七而成祝。大夫之弓， 合五而成祝。士之弓，合三而成烷。SiH琮適是用圄心角的大小來規(guī)定 弓背的曲率。U 2似乎斷言謾強了。我伸號只能用圄弧的畏度規(guī)定了弓背 的曲程度，而圄弧有可能引出角度的覲念。即使沒有把圄心角明碓的指出來， 圄弧的度量也可以看作是一槿典角度在上等的系統(tǒng)。道槿覲念在描述大球上星醴的位置典逋勤方面，更有它不可磨滋的值。三、天文桂的度中閾古代大n逋勤的度量是以太隔的逋勤懸定襟型的依at。天之勤也，一查一夜而逋謾周，星徙天而西，日遑天而束。日之所行典逋周，在天成度，在唇 成日。U 9道未里所成的度又如何碓定呢？ 唇教之生也，乃立倭、表，以 校日景。景日速，大度之端也。日彝其端，周

7、而懸蕨，然其景不彳復，四周千 四百六十一日，而景彳復初，是刖日行之以周除日，得三百六十五四分度之一，懸ft之日數(shù)。日日行一度，亦懸大度。U 10因此周天懸三百六十五又四 分之一度著眼黑占不在圄心角的度量，而是大距離隹的襟定。度道他I字的本意便是指辰度。度者，分、寸、尺、丈、引也，所以度房短也。U 11 故醴有房短，橫以度；U 12信在增建在他的謫文中相常清楚明了道槿 以辰度量大的醴系。周髀算系墨卷下明碓的言已戴了分圄的方法：衍曰：倍正南方，以正勾定之。即平地彳至二十一步，周六十三步。令其平矩以水正，JW位彳至一百二十一尺七 寸五分。因而三之，懸三百六十五尺、四分尺之一，以鷹周天三百六十五度、四

8、 分度之一。塞定分之瓢令有微。分度以定JW正督系圣。而四分之一合各九十一 度、十六分度之五，於是圄定而正。U 13在適槿逋作下，圄弧封鷹的圄 心角襄乎已呼之欲出，但是古人的眼光或沒有適麼看。 他伸號立表正南北之中 央，以余地!m,立周度者，各以其所先至游倭度上。串幅引余地，就中央之正 以懸轂，JW正矣。U 14用封鷹比例的思想，以地面的尺寸量起大醴的度 數(shù)。但是因懸筮星趣旋樽，而所重圄心或不在趣下，所以測出的地面弧Hat不 完全正比於周大的弧H。即使周髀醴系內(nèi)的蓋大家知道造槿偏差，他伸號也不 可能跑到趣下去作測量。蓋大的適槿弱黑占在潭大中可以得到相常的校正，因懸在潭大的模式木里，只要把潭倭擺到

9、地中，JW子午碟上的分度就正比於大球 上的分度。因此我伸號可以在逾常的大醴模式下，以弧畏作懸度量的醴系，是等於角度，特別是用radian作K位的角度醴系。只不謾道槿等信制彳系有 一方，是中閾古代不曾自清楚的。四、黑何桂的隅典角周髀算系區(qū)雖隹然在地面重圄分度，但是適槿分度方法或沒有鷹用到中閾古 代的襄何醴系，去度量不同角的大小。數(shù)孥中最重要的一他角度概念就是直角， 以矩作懸度量它的工具。所滑矩者，所以矩方器械，令不失其形也。U 15但是矩在很多埸合也指矩形，所以要指矩形的1B角畤只好使用另外一他 法隅了。隅本指房子的角落，例如謫言吾.述而有名的法：聚 一隅不以三隅反。隅逐漸普遍用來指各槿建篥物的

10、角落，迤而在襄何上耦 滑等於直角的角。例如考工言己有宮隅之制七雉，城隅之制九雉。爵.鄴 M.靜女有俟我乎城隅。周髀算系區(qū)有勾H三，股脩四，彳至隅五。16九章算衍.勾股有柬因南至隅步教，以乘南盟柬至隅步教懸17/值得注意的是周髀算系墨典九章算循1的正文，除了以上引用隅的 例子外，或沒有用角的文句?；蛘呖赏茢嘣谠煊瓯娟瘸申鹊漠嚁?shù)孥家的 注意力基本上遢在指滑直角的隅。由尖默角引中來，有可能指滑非直角的角，遢未贏得它鷹有的地位。澳善.律唇志角，斶也，物斶地而 出，戴芒角也。U 18角的解釋雖隹然脫離卸I默角，但仍然是描嘉尖 的形狀。因懸垣代中閾人已趣少使用隅字，迨槿數(shù)孥衍言吾由隅懸主，演 化到以角懸主

11、的魔史，似乎也反映了由直角走向一般角的fgSBS程。三閾畤期的超爽在注周髀算余墨畤已茨:謾：隅，角也。U19可見到三世余己畤角的用法至少典隅已相常接近了。起爽用角的例子在 注文中有伸圄之周而懸勾，展方之匝而懸股，共結(jié)一角，邪逾弦五。U 20在他著名的勾股圄方圄那段謫中有K矩勾之角，K矩股之角。 M21但典超爽同畤代的崟U徽在九章算循注中，似乎比敕愛隅字， 例如：三面，三廉，一隅皆已有幕，隔焉之形，方金隹一隅也。今滑四柱屋隅懸隔焉。依隅之周半於依垣，雨隅相去一丈懸弦，滿此方JW雨端之矩重於隅中，令黃幕逋於下隅，U 22崟U徽用角的一人熟知的例子，是勾股章K始解釋勾股形畤!泥： i短面曰勾，辰面曰

12、股，相典結(jié)角曰弦。U 23此霓相奧結(jié)角的茨:法 典前引起爽注共結(jié)一角I似，但因崟U徽基本上是以隅耦呼直角，所以適 句的另一槿合理解釋是：直角三角形的短遏叫勾，叫股，典短遏（或H 遏）結(jié)角的遏叫弦。此虞用角而不用隅，是強湖所結(jié)的角不曾是 直角。崟U徽另一他用角的地方是在言寸謫K方畤!泥：欲除朱幕之角黃乙之幕， 其意如初之所得也。U 24Bffl角字用得相常特殊，因懸隨彳爰言寸謫H 立方畤，又恢彳復使用隅。隅字在K方利里的用法懸彳爰代的教孥善籍承H 下去，衍中到唐初古算系墨畤，甚至以方、廉、隅來明方程的各彳系 數(shù)。崟U徽以彳爰，在K方街之外，隅、角出琪的埸合可聚其大要如下。五世余己的舔子算系墨有今

13、有田，桑生中央，徙角至桑一百四十七步，曲 田黑何？衍曰：置角至桑一百四十七步，U25但是此題目中的角字，到六世余已甄鴛的五曹算系墨未里郤又改懸隅字。唐朝李淳蜀注周髀算系墨用謾角隅正方，自然之數(shù)M 26的法 注九章算利1用謾自然優(yōu)角至角，其彳至二尺可知。角彳至亦皆一尺。更優(yōu) 飆角外畔祝，M 27此霓優(yōu)角至角度量的始是角的1B黑占， 但是不鷹把角字解釋作或等同於黑占字，因懸沒有角的烘托，黑占的位置就 失去了著落。且由此可見角字使用的意味已SfP意含敕H羲的角了。北宋沈括在茅溪肇未里言寸謫隙稹衍畤曾謾招童求兄方之稹，隙 稹求兄合角不翥，益出羨稹也。其中所合之角是一他方金隹的1B角（如圄一），U28所

14、以角字也可以指立H角了。圜一南宋根輝在群解九章算法言寸謫垛稹畤，用了三角垛、四隅垛的 名耦，遢沒有把四隅耦懸四角。但到元朝朱世傣四元玉未里已耦四 角垛。U 29封於城睛的四隅也改用四角：令侵城四角遇逗撅圜池。注30舞（似舔子算余區(qū)的桑生田中題目，建成直田中生出竹，已知四 角至竹各十三。U 31常角逋隅也取代之彳爰，角字真的成懸 一槿統(tǒng)相的名箭1。四元玉金黑未里到八角形，U 32到明朝程大位算法統(tǒng)宗U 33 更是普遍的使用圄容六角、六角容圄、圄容三角、三角容圄、三角田、六角形、八角形等，角在耦呼多遏形的用法上已奧琪 代沒有什麼出入了。在黑何孥的卻埸內(nèi)，隅由耦呼直角的正統(tǒng)地位，逐漸抽象化成K方法的

15、 用辟，而被角出了舞臺。道槿由隅到角的演化謾程，相常程度也 反映了中閾古典黑何孥，徙封直角三角形的注中，逐漸把祝移到更一般的 平面BI形。例如南宋秦九韶教耆九章卷五田域的尖田求稹、三斜求 稹、斜藻求稹、言十地容民，就言寸謫了在此之前未曾有謾的題型。雖隹然 秦九韶的公式仍可由勾股形逐步醇來，34但在題目的表垣上已脫離隹勾 股形的曾覃堆疊。五、角的遮嬉/角字懸什麼曾由默角逐步提升到封一般角的統(tǒng)耦，或不容易優(yōu)文獻中碓它的原委典40亦。本文答就提出一僚看來合理的路彳至。默角衍中的直意羲自然曾包含尖感，因此前面引謾澳耆.律唇志便 曾角，斶也，物斶地而出，戴芒角也。按文芒是指草端，在 尖的意羲上，芒典角便

16、結(jié)合在一起了，也因此封光芒的形容就可以用 角字。以史言己.天官善懸例，用角描述星光的言吾句可列聚如下：U 35大一、檐、楮、矛、盾，勤搐、角、大，兵起。j有五串。串星角，若益筮，及不具，feaMo j狼角、燮色、多盜賊。竄星勤、角、益希，及五星犯北落，入竄，竄起。其角勤，乍小乍大，若色數(shù)建，人主有夏。若角勤，之，及乍前乍彳爰，左右，殃益大。赤角，犯我城。黃角，地之手。白角，哭泣之瞥。青角，有兵、夏。黑角， u水。起小以角勤，兵起。角，敢於 n角所指,吉。赤角有戟。白角有喪。黑圜角夏，有水事。青圜小角夏，有木事。黃圜和 角，有土事，有年。青角，兵夏。黑角，水。赤角，犯我城。黃角，地之手。白角，虢

17、泣之瞥。昭明星大而白，瓢角，乍上乍下。造些覲察到的芒角,可能是因窺管測象而崖生。黃一晨以銅管仿裂窺管，徙 中了道槿覲察的可能性。U 36其它用芒典角的例子遢有， 北周庾季才的寮臺秘苑中耦：勤者光醴搐勤；芒者光耀生芒刺；角者St角 房大芒；喜者光色潤涕；恕（怒）者光芒威大潤涕?？赡苁敲鞒瘝昒基所It,但 之唐朝李淳蜀所撰的覲象玩占,芒角已有更量化的定羲：光曜外出生絳曰芒，五寸以下滑之芒：芒而畏四出曰角，一曰七寸以上滑之角。37芒角的生是封耦的，也就是把芒角的端逋起來曾形成正多遏形。 封於 正多遏形古代也有一他特殊的字狐來描述。澳善.律唇志其算法 用竹，彳至一分，房六寸，二百七十一枚而成六1,懸一

18、握。U38崟U徽在注解九章算初1求圄田的方法畤，涉及六遏、十二遏、二十四遏、四十八遏、 九十六遏、一百九十二遏、一千五百三十六遏、三千七十二遏的正方形。雖隹然南 宋鮑搟之刻本及明永攀大典本均用若干弧，但清朝戴震校懸若干班。 飆字本意懸有八棱的酒器，上古原是以默角盛灑歐酒，因此用來命名酒器的 字多優(yōu)角。適槿字源的貌近性以及通寸星光描述的媒介，致飆角不分。角優(yōu)尖的芒角，謾渡到SE厚的飆角，再統(tǒng)合了隅角，而日漸成懸一般 角的統(tǒng)耦。五、角的遮嬉角字懸什麼曾由默角逐步提升到封一般角的統(tǒng)耦，或不容易優(yōu)文獻 中碓它的原委典40亦。本文答就提出一僚看來合理的路彳至。默角衍中的直意羲自然曾包含尖感，因此前面引謾澳耆.律唇志便 / 曾角，斶也，物斶地而出，戴芒角也。按文芒是指草端，在 尖的意羲上，芒典角便結(jié)合在一起了，也因此封光芒的形容就可以用 角字。以史言己a大官善懸例，用角描述星光的言吾句可列聚如下：U 35/大一、檐、楮、矛、盾，勤搐、角、大，兵起。j有五串。串星角，若益筮，及不具，feaMo j狼角、燮色、多盜賊。竄星勤、角、益希，及五星犯北落，入竄，竄起。其角勤，乍小乍大，若色數(shù)建，人主有夏。若角勤，之，及乍前乍彳爰，左右，殃益大。赤角，犯我城。黃角，地之手。白角，哭