高微觀經濟學習題

1、第一部分：消費者理論一、形式化表述分析消費者偏好的性質（完備性，傳遞性，連續(xù)性，嚴格單調性，嚴格凸性等等）二、效用函數存在性證明 請參考教材三、表述顯示性偏好弱公理及顯示性偏好強公理，并用于分析下面問題?？疾煲粋€對物品1和物品2有需求的消費者，當物品價格為（2，4）時，其需求為（1，2）。當價格為（6，3）時，其需求為（2，1），該消費者是否滿足顯示性偏好弱公理。如果（1.4，1）時，該消費者是否滿足顯示性偏好弱公理。解答： 消費束1偏好于消費束2 消費束2偏好于消費束1違反了顯示性偏好弱公理。如果（1.4，1）時： 消費束1偏好于消費束2 消費束1在價格2的情況下買不起。符合顯示性偏好弱公理

2、。四、效用函數，求瓦爾拉斯需求函數解答：從效用函數可知商品2對消費者沒效用，因此最大化效用的結果是所有的收入都用于購買商品1，對商品2的需求為0，或者由,可得到實際上，這是一個邊角解，五、效用函數，對其求1、瓦爾拉斯需求函數，間接效用函數；2、?？怂剐枨蠛瘮?，支出函數。答案：1、，2、，（形式可能不一樣）六、給出瓦爾拉斯需求函數、希克斯需求函數、間接效用函數、支出函數形式化描述，說明其性質，并證明其中的凹凸性性質。 請參考教材七、證明對偶原理中的1.2. 請參考教材八、考慮將瓦爾拉斯預算集擴展為一個任意消費集。假定。證明：如果是一個凸集，則也是凸集。 請參考教材九、效用函數，推導斯拉茨基方程，

3、并分析替代效應、收入效應和總效應。 請參考教材十、效用函數，求其貨幣度量的直接和間接效用函數。答案：十一、效用函數，當，求其等價變化和補償變化。答案： ，十二、分析福利分析在稅收方面的應用。 請參考教材十三、，假定，對商品1開征消費稅0.25元。求開征消費稅的無謂損失（包括兩種情況）。解答：max s.t. 1求瓦爾拉斯需求函數（1）建立拉格朗日函數（2）求極值一階條件 (a) (b) (c)由(a)和(b)整理得：（3）瓦爾拉斯需求函數分別將，代入預算約束(c)，有 2求間接效用函數將瓦爾拉斯需求函數代入目標函數，有3求支出函數由間接效用函數，求反函數得：4求?？怂剐枨蠛瘮捣ㄒ唬簩⒅С龊瘮荡?/p>

4、入瓦爾拉斯需求函數，得到 法二：根據謝伯特引理，對支出函數對價格求導，也可得到希克斯需求函數。5求貨幣度量的效用函數（1）貨幣度量的直接效用函數由，有（2）貨幣度量的間接效用函數6下標0表示征稅前，下標1表示征收消費稅后。，等價變化分析：按照征稅前的價格計算的，消費者對征收消費稅前后所獲得效用的變化：商品稅與收入稅對消費者的福利之差為:表明商品稅對消費者的福利影響更差。 補償變化分析：按照征稅后的價格計算的，消費者對征收消費稅前后所獲得效用的變化：商品稅與收入稅對消費者的福利之差為:=0.1213表明商品稅對消費者的福利影響更差。設xB, xB,0,1. 令x=x+(1-) x,因為x是一個凸

5、集，所以xX. 故px=(px)+ (1-)(px)w+ (1-)w=w因此，xB. 因為x(p,w)對w是一次齊次的，所以對任意0有x(p,w)=x(p,w).因此，x(p,w)= x(p,1)w.因為當kl時，(p,1)/= (p)/=0所以 x(p,1)只是關于p的函數，即可記為x(p,w)= x( p).又因為x(p,w)滿足零次齊次性，所以x( p)必定是p的-1次方。因此，存在0時，使x( p)=/ p.根據瓦爾拉斯定律,p（/ p）w=w=w.因此有=1 是個常數.2.F. 3 (a) 若100120+100y100100+100100且100100+80100100120+80

6、y 即,y75,80時,他的行為與弱公理矛盾. (b) 若100120+100y100100+100100且100100+80100100120+80y即,y100100+100100且100100+80100100120+80y即,y80時,消費者在第2年的消費束顯示出優(yōu)于第1年的消費束.(注:b,c假定弱公理成立) (d) 無論y取何值,都有充分的信息來斷定a,b,c 中有一個成立 (e) 當y100120+80y因此第2年的實際收入水平低于第1年的實際收入水平,同時商品1的相對價格上升.但是,因為y75100,商品2的需求量下降,這意味著商品1的收入效應是負的.故商品1(在某一價格上)是

7、劣等品.當80y100100+100100且100100+80100100120+80y因此第2年的實際收入水平高于第1年的實際收入水平,同時商品2的相對價格下降.但是,因為y100,商品2的需求量下降,這意味著商品2的收入效應是負的.故商品2(在某一價格上)是劣等品. (a) 令(x)=u(x)=(x- b)(x- b)(x- b),其中,因為函數uu是單調變換,因此, ,()與u()代表相同的效用水平. 因而我們可以不失一般性的假定. (b) 對已給出的效用函數進行另一種形式的單調變換： lnu(x)=ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b). 根據UMP的一階條件得出瓦爾拉斯

8、需求函數: x(p,w)=( b, b, b)+(w-pb)(/p,) 其中pb= 將此需求函數代入u(),得到間接效用函數: v(p,w)= (w-pb)（本題（a）中驗證3.E.2和3.E.3不用作。） (a) 假設 .對于效用函數: lnu(x)=ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b).根據EMP一階條件得:h(p,u)= ( b, b, b)+u將此函數代入ph(p,u),得到支出函數:e(p,u)=pb+u. 其中, pb=.(b)對(a)中求出的支出函數求導，通過與h(p,u)比較,可得到支出函數的導數即為（a）中所求出的?？怂剐枨蠛瘮?。(c)根據(b)可得，Dh(p

9、,u)=De(p,u). 將a中的支出函數對p求二階導數，得到= 在3.D.6中，我們得到x(p,w)=( b, b, b)+(w-pb)(/p,) 于是，Dx(p,w)= (/p,) Dx(p,w)= -(w-pb) ( b, b, b)根據以上結果,我們可驗證斯拉茨基方程成立. (d) 根據Dh(p,u)=De(p,u)以及 De(p,u)即得。（e）根據=Dh(p,u)=De(p,u),我們可得出De(p,u)是半負定的，并且秩為2。3.G.6 (a) 根據瓦爾拉斯定律，可得到：x=(w-)/是齊次的。 對于任意，有：100-5+=100-5+，=.因為斯拉茨基替代矩陣具有對稱性，則有：

10、= 因此，代入=1，整理得： = 因為該方程對于所有和w都成立,則有，=，=-5， 得， =由于斯拉茨基矩陣的對角線上的所有元素均為非正的，則得到：=0 代入=1，對角線上的第一個元素為：-5+若0，則0，就可找到一組值使得上式0.故得：=0 所以，=.（d）因為對于任意價格，=，所以消費者的無差異曲線呈L型，拐點在坐標軸的對角線上，如下圖。X1 OX2根據d的結論，對于固定的，商品1和2的偏好可由表示，商品1和2的需求也無收入效應。因此得到：=+或是該形式的單調變換。3.I.7 (a) 根據瓦爾拉斯定律和零次齊次性，可得到三種商品的需求函數的定義域都是。于是我們可以從需求函數中得到一個33的

11、斯拉茨基矩陣。將該斯拉茨基矩陣的最后一行與最后一列去掉，可得到一個22的子矩陣，為.根據瓦爾拉斯定律和齊次性，當且僅當22的子矩陣對稱時，33的斯拉茨基矩陣也對稱。同樣，可得當且僅當22的子矩陣為半負定矩陣時，33的斯拉茨基矩陣也是半負定矩陣。因此，效用最大化所蘊含的參數限制為：c=e,b0,g0,且bg-c0. 首先，證明前兩種商品相應的?？怂剐枨蠛瘮蹬c效用水平無關，僅是前兩種商品價格的函數，它等于已給出的瓦爾拉斯需求函數。 =, = l=1,2 因為與收入無關，= 因此=。 故，與效用水平無關，它等于已給出的瓦爾拉斯需求函數。 若價格變化是遵循路徑：，則等價變化為： +=+ =+ 若價格變

12、化是遵循路徑：，則等價變化為： +=+ =+ 當且僅當c=e時，以上兩種等價變化相等。由以上可知：=a+(3/2)b+c =d+e+(3/2)g=d+c+(3/2)g =( a+(3/2)b+c)+(d+2e+(3/2)g)=a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g 因此, -(+)=c 與之和不包括由于第二種商品的價格上升到2引起的圖中需求函數的移動進而引起的等價變化的效應（同樣也可指不包括第一種商品的價格上升到2引起的圖中需求函數的移動進而引起的等價變化的效應）。從圖中看出，當c=e0，包括ABCD區(qū)域，但+不包括。X1d+ed+2e201DCBAX2 因為=a+2b+c,第一種商品的稅收

13、收入與它相等，因此，=( a+(3/2)b+c)-（a+2b+c）=-b/2因為=d+e+2g,第二種商品的稅收收入與它相等，因此，=(d+e+(3/2)g)-（d+e+2g）=-g/2因為=a+2b+2c, =d+2e+2g,兩種商品的稅收收入為：（a+2b+2c）+（d+2e+2g）=a+2b+4c+d+2g因此，=(a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g)-(a+2b+4c+d+2g)=-b/2-c-g/2 故，-（+）=-c（e）問題可以轉化為：s.t. R 其中， =- =-建立拉格朗日函數：=+（R-）對求一階導數：-=0但是，由于/= =+所以=/- - =-因此一階條件可以寫

14、為：+=0 l=1,2又因為R=,則-=(a+b+c)+(d+c+g)=R第二部分：廠商理論產商的生產函數，求其要素需求函數和條件要素需求函數解答：（1）（2） 產商的生產函數，求其成本函數和利潤函數解答：將要素需求函數帶入利潤函數表達式就得到利潤函數，將條件要素需求函數帶入成本函數表達式就得到成本函數答案：產商的生產函數，（1）用三種方法求其供給函數（2）假定生產要素2固定為k，再重新求其供給函數。解答：（1）方法一：由利潤函數求解供給函數方法二：由生產函數求解供給函數方法三：由成本函數求解供給函數（注意：是利潤最大化條件）（2）同樣的三種辦法四、廠商利潤最大化條件的意義及應用邊界；廠商成本

15、最小化條件的意義及應用邊界（新加）參考書五、分析生產集的性質參考書六、闡述歐拉方程和克拉克分配定理的理論意義和現實意義。參考書七、證明利潤函數是價格的凸函數。參考書八、給出要素需求函數、條件要素需求函數、成本函數及利潤函數形式化描述，并解釋經濟意義。說明其性質，并證明其中的凹凸性性質。參考書第三部分不確定性選擇一、一決策者的效用函數為，初始財富160000，5%損失70000，5%損失120000，問其愿意支付的最大保險金額多大？如果保險公司不承擔損失中的7620，其愿意支付的最大保險金額又多大？解答：用確定性等值，（1）（2）二、給出簡單彩票、復合彩票、貨幣彩票及彩票空間的獨立性公理的形式化

16、描述，并解釋經濟意義。二*、期望效用函數的存在性證明參考書三、寫出并證明絕對和相對風險系數不變的效用函數。參考書四、簡要分析保險需求理論的基本框架。參考書五、簡要分析資產組合理論的基本框架參考書六、假定個人具有效用函數，（1）計算當財富水平時的絕對和相對風險規(guī)避系數。（2）計算彩票的確定性等價和風險溢價（3）計算彩票的確定性等價和風險溢價。將這一結果與（2）比較，并解釋。對同一個人，不同財富水平的彩票有不同確定性等價可能有相同的風險溢價。解答：（1），（2）， ，（3），。對同一個人，不同財富水平的彩票有不同確定性等價可能有相同的風險溢價。第四部分：局部、一般均衡和福利經濟學1有一個賣方壟斷者

17、，其需求和成本函數分別為和，請確定其在完全價格歧視和沒有p價格歧視情況下的最大利潤和對應的邊際價格與數量。（題目有錯，請對應書的例題）解答：（1）完全價格歧視 ,（舍去） （2）無價格歧視 ,（舍去）2一個賣方壟斷者為兩個空間上分離的市場服務，在這兩個市場上，可以采取兩種價格，不必擔心市場之間的競爭和返銷。賣方壟斷者的需求和生產成本函數為：，請確定的值。解答：由于兩個市場分離，因此兩個市場的價格、需求量獨立Max， ，可得到3考慮一種兩個人、兩種商品、純交換的競爭經濟。消費者的效用函數為，。消費者1的初始擁有量為8單位和30單位；消費者2每種商品各擁有10單位。決定這兩個消費者的超額需求函數和

18、這種經濟的均衡價格比率。答案： ，4考慮一種兩個人、兩種商品、有紙幣純交換的競爭經濟。消費者的效用函數為，。消費者1的初始擁有量初始擁有量為30單位、5單位和43單位貨幣；消費者2初始擁有量分別為20、10和2。每個消費者都想持有等于起初始商品擁有量價值的五分之一的貨幣存量。決定和 的均衡貨幣價格。表明如果消費者1、2的貨幣存量分別增加到129和6，則均衡價格應為原先的三倍。解答：首先不考慮貨幣存量，按第三題的做法求出，接著再從貨幣市場均衡求出均衡貨幣價格，。證明“如果消費者1、2的貨幣存量分別增加到129和6，則均衡價格應為原先的三倍”，再從貨幣市場均衡求出均衡貨幣價格或從貨幣均衡方程表達式

19、直接證明即可。5考慮具有下列結構的行業(yè)。50個以競爭方式行動的廠商，具有相同的成本函數，一個具有零邊際成本的壟斷者。產品的需求曲線由下式給出。（1）什么是壟斷者的利潤最大化產量？（2）什么是壟斷者的利潤最大化價格？（3）在此價格下，該競爭部門供給多少？（答案修改了）解答：競爭廠商的供給：，競爭廠商的總供給：由市場均衡：，壟斷者的產量：壟斷者的利潤為：利潤最大化一階條件：，6設某壟斷廠商的成本函數為，市場的需求函數為，求其進行完全價格歧視和沒有進行完全價格歧視兩種情況下的利潤、產量和價格。解答見書。7貨幣均衡分析的基本框架。見書。8、一般均衡的基本分析框架。9、利用艾奇沃斯盒式圖，說明兩種商品如何在兩個消費者之間進行配置的。后面為福利經濟學8有一種經濟，除了有一個生產者，其在產出市場上是個賣方壟斷者，在其產出的唯一投入市場上是個買方壟斷者。此外滿足帕雷托最優(yōu)的全部條件。其生產函