趙樹源線性代數(shù)線性代數(shù)第1講

1、線性代數(shù)第1講下載網(wǎng)址：http:/應用數(shù)學.cn1第一章 行列式1.1 二階,三階行列式2(一) 二階行列式a11a12a21a22-+3例1. 4例2. 設問: (1) 當l為何值時D=0 (2) 當l為何值時D05解: l2-3l=0, 則l=0, l=3.因此可得 當l=0或l=3時D=0,(2) 當l0且l3時D0.6(二) 三階行列式7畫線法記憶a11a12a13a21a22a23a31a32a33+-8例1.9例2. a,b滿足什么條件時有解:若要a2+b2=0, 必須a=0且b=0.10例3. 的充分必要條件是什么?解:a2-10 當且僅當|a|1111.2 n階行列式12(一

2、)排列與逆序由n個不同數(shù)碼1,2,n 組成的有序數(shù)組 i1i2in, 稱為一個n級排列.例如, 1234及2341都是4級排列, 25413是一個5級排列.13定義 1.1 在一個n級排列i1i2in中, 如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is前面(is1)共有n!個n級排列, 其中奇偶排列各占一半.21證: n級排列的總數(shù)為n(n-1)21=n!, 設其中奇排列為p個, 偶排列為q個.設想將每一個奇排列都施以同一的對換, 例如都對換(1,2), 則由定理1.1可知p個奇排列全部變?yōu)榕寂帕? 于是有pq; 同理如將全部偶排列也都施以同一對換, 則q個偶排列全部變?yōu)槠媾帕? 于是又有qp, 所以得出

3、p=q, 即奇偶排列數(shù)相等, 各為n!/2個.用三級排列驗證, 見表1-1, 奇偶排列各三個22(二) n階行列式的定義觀察二階行列式和三階行列式:23(1) 二階行列式表示所有不同的行不同的列的兩個元素乘積的代數(shù)和. 兩個元素的乘積可以表示為j1j2為2級排列, 當j1j2取遍了2級排列(12, 21)時, 即得到二階行列式的所有項(不包含符號), 共為2!=2項.24三階行列式表示所有位于不同的行不同的列的3個元素乘積的代數(shù)和. 3個元素的乘積可以表示為j1j2j3為三級排列, 當j1j2j3取遍了3級排列時, 即得到三階行列式的所有項(不包含符號), 共為3!=6項.25(2) 每一項的

4、符號是, 當這一項中元素的行標按自然數(shù)順序排列后, 如果對應的列標構成的排列是偶排列則取正號, 是奇排列則取負號. 如在上述二階行列式中, 當N(j1j2)為偶數(shù)時取正號, 為奇數(shù)時取負號; 在上述三階行列式中, 當N(j1j2j3)為偶數(shù)時取正號, 為奇數(shù)時取負號.根據(jù)這個規(guī)律, 可給出n階行列式的定義.26定義1.2 用n2個元素aij(i,j=1,2,n)組成的記號稱為n階行列式, 其中橫排稱為行, 縱排稱為列. 它表示所有可能取自不同的行不同的列的n個元素乘積的代數(shù)和, 各項符號是: (接后)27當這一項中元素的行標按自然數(shù)順序排列后, 如果對應的列標構成的排列是偶排列則取正號, 是奇

5、排列則取負號. 因此, n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項可以寫為:(1.3)其中j1j2jn構成一個n級排列, 當取遍所有n級排列時, 則得到n階行列式表示的代數(shù)和中所有的項.28一階行列式|a|就是a.行列式有時簡記為|aij|.由定理1.2可知: n階行列式共有n!項, 且冠以正號的項和冠以負號的項(不算元素本身所帶的負號)各占一半.29例如, 四階行列式所表示的代數(shù)和中有4!=24項.例如, a11a22a33a44項取正號, a14a23a31a42項取負號, a11a24a33a44不是D的一項.30例1. 計算n階行列式的值, 其中aii0 (i=1,2,n).31解: D中各項

6、中不為零的項只有a11a22ann, 其它項均為零, 由于N(12n)=0, 因此這一項取正號, 得稱這種形式的行列式為下三角行列式.32同理可得上三角行列式其中aii0 (i=1,2,n).33特殊情況:其中aii0 (i=1,2,n).這種行列式稱為對角形行列式.34三角形行列式及對角形行列式的值, 均等于主對角線上元素的乘積. 這一結論在以后行列式計算中可直接應用.由行列式的定義不難得出: 一個行列式若有一行(或一列)中的元素皆為零, 則此行列式必為零.35定理1.3 n階行列式D=|aij|的一般項可以記為(1.4)其中i1i2in與j1j2jn均為n級排列.36證: 由于i1i2in

7、與j1j2jn都是n級排列, 因此(1.4)式中的n個元素是取自D的不同的行不同的列.如果交換(1.4)式中的兩個元素則其行標排列由i1isitin換為i1itisin, 逆序數(shù)奇偶性改變, 列標排列由j1jsjtjn換為j1jtjsjn,逆序數(shù)奇偶性也改變. 則對換后兩下標排列逆序數(shù)之和的奇偶性則不改變.37即有所以交換(1.4)式中元素的位置, 其符號不改變. 這樣我們總可以經(jīng)過有限次交換(1.4)式中元素的位置, 使其行標i1i2in換為自然數(shù)順序排列, 設此時列標排列變?yōu)閗1k2kn, 則(1.4)式變?yōu)?8例2. 若(-1)N(i432k)+N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五階行列式|aij|的一項, 則i,j,k應為何值? 此時該項的符號是什么?解: 由行列式定義, 每一項中的元素取自不同行不同列, 故有j=3, 且有i=1時k=5, 或i=5時k=1.因此當i=1,j=3,k=5時, -a15a42a33a21a54為|aij|的一項.當i=5, j=3, k=1時, a55a42a33a21a14也是|aij|的一項.39例3 用行列式定義計算行列式解: 因第1列和第3行都只有一個元素不為0, 為尋找不為0的項, 劃去相應元素的