高考數(shù)學(xué)壓軸必刷題8

1、高考數(shù)學(xué)壓軸必刷題1【2019年浙江10】設(shè)a，bR，數(shù)列an滿足a1a，an+1an2+b，nN*，則（）A當(dāng)b=12時，a1010B當(dāng)b=14時，a1010C當(dāng)b2時，a1010D當(dāng)b4時，a1010【解答】解：對于B，令x2-+14=0，得=12，取a1=12，a2=12，an=1210，當(dāng)b=14時，a1010，故B錯誤；對于C，令x220，得2或1，取a12，a22，an210，當(dāng)b2時，a1010，故C錯誤；對于D，令x240，得=1172，取a1=1+172，a2=1+172，an=1+17210，當(dāng)b4時，a1010，故D錯誤；對于A，a2=a2+1212，a3=(a2+12)

2、2+1234，a4=(a4+a2+34)2+12916+12=17161，an+1an0，an遞增，當(dāng)n4時，an+1an=an+12an1+12=32，a5a432a4a532a10a932，a10a4（32）6，a107296410故A正確故選：A2【2018年浙江10】已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4ln（a1+a2+a3），若a11，則（）Aa1a3，a2a4Ba1a3，a2a4Ca1a3，a2a4Da1a3，a2a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，奇數(shù)項符號相同，偶數(shù)項符號相同，a11，設(shè)公比為q，當(dāng)q0時，a1+a2

3、+a3+a4a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1a3，a2a4，a1a3，a2a4，不成立，排除A、D當(dāng)q1時，a1+a2+a3+a40，ln（a1+a2+a3）0，等式不成立，所以q1；當(dāng)q1時，a1+a2+a3+a40，ln（a1+a2+a3）0，a1+a2+a3+a4ln（a1+a2+a3）不成立，當(dāng)q（1，0）時，a1a30，a2a40，并且a1+a2+a3+a4ln（a1+a2+a3），能夠成立，故選：B3【2017年新課標(biāo)1理科12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激

4、活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是（）A440B330C220D110【解答】解：設(shè)該數(shù)列為an，設(shè)bn=a(n-1)n2+1+an(n+1)2=2n+11，（nN+），則i=1n bi=i=1n(n+1)2 ai，由題意可設(shè)數(shù)列an的前N項和為SN，數(shù)列bn的前n項和為Tn，則Tn211+221+2n+112n+1n2，可知當(dāng)N為n(n

5、+1)2時（nN+），數(shù)列an的前N項和為數(shù)列bn的前n項和，即為2n+1n2，容易得到N100時，n14，A項，由29302=435，440435+5，可知S440T29+b5230292+251230，故A項符合題意B項，仿上可知25262=325，可知S330T25+b5226252+251226+4，顯然不為2的整數(shù)冪，故B項不符合題意C項，仿上可知20212=210，可知S220T20+b10221202+2101221+21023，顯然不為2的整數(shù)冪，故C項不符合題意D項，仿上可知14152=105，可知S110T14+b5215142+251215+15，顯然不為2的整數(shù)冪，故D

6、項不符合題意故選A方法二：由題意可知：20第一項，20，21第二項，20，21，22第三項，20，21，22，2n-1第n項，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，求得每項和分別為：211，221，231，2n1，每項含有的項數(shù)為：1，2，3，n，總共的項數(shù)為N1+2+3+n=(1+n)n2，所有項數(shù)的和為Sn：211+221+231+2n1（21+22+23+2n）n=2(1-2n)1-2-n2n+12n，由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪只需將2n消去即可，則1+2+（2n）0，解得：n1，總共有(1+1)12+23，不滿足N100，1+2+4+（2n）0，解得：n5，總共有(1+5)52+318，不滿

7、足N100，1+2+4+8+（2n）0，解得：n13，總共有(1+13)132+495，不滿足N100，1+2+4+8+16+（2n）0，解得：n29，總共有(1+29)292+5440，滿足N100，該款軟件的激活碼440故選：A4【2017年上海15】已知a、b、c為實常數(shù)，數(shù)列xn的通項xnan2+bn+c，nN*，則“存在kN*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差數(shù)列”的一個必要條件是（）Aa0Bb0Cc0Da2b+c0【解答】解：存在kN*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差數(shù)列，可得：2a（200+k）2+b（200+k）+ca（100+k）2+b（

8、100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化為：a0使得x100+k，x200+k，x300+k成等差數(shù)列的必要條件是a0故選：A5【2016年浙江理科06】如圖，點列An、Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn+1|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ表示點P與Q不重合）若dn|AnBn|，Sn為AnBnBn+1的面積，則（）ASn是等差數(shù)列BSn2是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列Ddn2是等差數(shù)列【解答】解：設(shè)銳角的頂點為O，|OA1|a，|OB1|c，|AnAn+1|An+1An+2|b，|BnBn+1|B

9、n+1Bn+2|d，由于a，c不確定，則dn不一定是等差數(shù)列，dn2不一定是等差數(shù)列，設(shè)AnBnBn+1的底邊BnBn+1上的高為hn，由三角形的相似可得hnhn+1=OAnOAn+1=a+(n-1)ba+nb，hn+2hn+1=OAn+2OAn+1=a+(n+1)ba+nb，兩式相加可得，hn+hn+2hn+1=2a+2nba+nb=2，即有hn+hn+22hn+1，由Sn=12dhn，可得Sn+Sn+22Sn+1，即為Sn+2Sn+1Sn+1Sn，則數(shù)列Sn為等差數(shù)列另解：可設(shè)A1B1B2，A2B2B3，AnBnBn+1為直角三角形，且A1B1，A2B2，AnBn為直角邊，即有hn+hn+

10、22hn+1，由Sn=12dhn，可得Sn+Sn+22Sn+1，即為Sn+2Sn+1Sn+1Sn，則數(shù)列Sn為等差數(shù)列故選：A6【2016年新課標(biāo)3理科12】定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k2m，a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)，若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（）A18個B16個C14個D12個【解答】解：由題意可知，“規(guī)范01數(shù)列”有偶數(shù)項2m項，且所含0與1的個數(shù)相等，首項為0，末項為1，若m4，說明數(shù)列有8項，滿足條件的數(shù)列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1；

11、 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14個故選：C7【2016年上海理科17】已知無窮等比數(shù)列an的公比為q，前n項和為Sn，且limnSn=S，下列條件中，使得2SnS（nN*）恒成立的是（）Aa10，0.6q0.7Ba10，0.7q0.6Ca10，0.7q0.8

12、Da10，0.8q0.7【解答】解：Sn=a1(1-qn)1-q，S=limnSn=a11-q，1q1，2SnS，a1(2qn-1)0，若a10，則qn12，故A與C不可能成立；若a10，則qn12，在B中，a10，0.7q0.6故B成立；在D中，a10，0.8q0.7，此時q212，D不成立故選：B8【2015年上海理科17】記方程：x2+a1x+10，方程：x2+a2x+20，方程：x2+a3x+40，其中a1，a2，a3是正實數(shù)當(dāng)a1，a2，a3成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程無實根的是（）A方程有實根，且有實根B方程有實根，且無實根C方程無實根，且有實根D方程無實根，且無實根【解答

13、】解：當(dāng)方程有實根，且無實根時，1a1240，2a2280，即a124，a228，a1，a2，a3成等比數(shù)列，a22a1a3，即a3=a22a1，則a32（a22a1）2=a24a12824=16，即方程的判別式3a32160，此時方程無實根，故選：B9【2015年上海理科18】設(shè) Pn（xn，yn）是直線2xy=nn+1（nN*）與圓x2+y22在第一象限的交點，則極限limnyn-1xn-1=（）A1B-12C1D2【解答】解：當(dāng)n+時，直線2xy=nn+1趨近于2xy1，與圓x2+y22在第一象限的交點無限靠近（1，1），而yn-1xn-1可看作點 Pn（xn，yn）與（1，1）連線的斜

14、率，其值會無限接近圓x2+y22在點（1，1）處的切線的斜率，其斜率為1limnyn-1xn-1=-1故選：A10【2013年新課標(biāo)1理科12】設(shè)AnBnn的三邊長分別為an，bn，cn，AnBnn的面積為Sn，n1，2，3若b1c1，b1+c12a1，an+1an，bn+1=cn+an2，cn+1=bn+an2，則（）ASn為遞減數(shù)列BSn為遞增數(shù)列CS2n1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列DS2n1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列【解答】解：b12a1c1且b1c1，2a1c1c1，a1c1，b1a12a1c1a1a1c10，b1a1c1，又b1c1a1，2a1c1c1a1，2c1a1，c1a12

15、，由題意，bn+1+cn+1=bn+cn2+an，bn+1+cn+12an=12（bn+cn2an），b1+c12a1，b1+c12a10，bn+cn2an0，bn+cn2an2a1，bn+cn2a1，由此可知頂點An在以Bn、cn為焦點的橢圓上，又由題意，bn+1cn+1=cn-bn2，bn+1-(2a1-bn+1)=2a1-bn-bn2=a1bn，bn+1a1=12(a1-bn)，bna1=(-12)n-1，bn=a1+(b1-a1)(-12)n-1，cn2a1bn=a1-(b1-a1)(-12)n-1，Sn2=3a12(3a12-a1)3a12-a1-(b1-a1)(-12)n-13a1

16、2-a1+(b1-a1)(-12)n-1=34a12a122-(14)n-1(b1-a1)2單調(diào)遞增（可證當(dāng)n1時a124-(b1-a1)20）故選：B11【2012年浙江理科07】設(shè)Sn是公差為d（d0）的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是（）A若d0，則數(shù)列Sn有最大項B若數(shù)列Sn有最大項，則d0C若對任意nN*，均有Sn0，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列D若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對任意nN*，均有Sn0【解答】解：由等差數(shù)列的求和公式可得Snna1+n(n-1)2d=d2n2+（a1-d2）n，選項A，若d0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列Sn有最大項，故正確；選項B，若數(shù)列Sn有最大項，則

17、對應(yīng)拋物線開口向下，則有d0，故正確；選項C，若對任意nN*，均有Sn0，對應(yīng)拋物線開口向上，d0，可得數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，故正確；選項D，若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對應(yīng)拋物線開口向上，但不一定有任意nN*，均有Sn0，故錯誤故選：D12【2012年上海理科18】設(shè)an=1nsinn25，Sna1+a2+an，在S1，S2，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（）A25B50C75D100【解答】解：由于f（n）sinn25的周期T50由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，a1，a2，a240，a250，a26，a27，a490，a500且sin2625=-sin25，sin2725=-sin225但是f（n）=1n單調(diào)遞減

18、a26a49都為負數(shù)，但是|a26|a1，|a27|a2，|a49|a24S1，S2，S25中都為正，而S26，S27，S50都為正同理S1，S2，s75都為正，S1，S2，s75，s100都為正，故選：D13【2012年北京理科08】某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，則m的值為（）A5B7C9D11【解答】解：若果樹前n年的總產(chǎn)量S與n在圖中對應(yīng)P（S，n）點則前n年的年平均產(chǎn)量即為直線OP的斜率由圖易得當(dāng)n9時，直線OP的斜率最大即前9年的年平均產(chǎn)量最高，故選：C14【2011年上海理科18】設(shè)an是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長

19、為ai，ai+1的矩形的面積（i1，2，），則An為等比數(shù)列的充要條件是（）Aan是等比數(shù)列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比數(shù)列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列Da1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同【解答】解：依題意可知Aiaiai+1，Ai+1ai+1ai+2，若An為等比數(shù)列則Ai+1Ai=ai+2ai=q（q為常數(shù)），則a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比均為q；反之要想An為等比數(shù)列則Ai+1Ai=ai+2ai需為常數(shù)，即需要a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列

20、，且公比相等；故An為等比數(shù)列的充要條件是a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比數(shù)列，且公比相同故選：D15【2018年江蘇14】已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an，記Sn為數(shù)列an的前n項和，則使得Sn12an+1成立的n的最小值為【解答】解：利用列舉法可得：當(dāng)n26時，AB中的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個數(shù)列an，所以數(shù)列an的前26項分成兩組：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，41；2，4，8，16，32S26=21(1+41)2+2(1-25)1-2=441+62=5

21、03，a2743，12a27516，不符合題意當(dāng)n27時，AB中的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個數(shù)列an，所以數(shù)列an的前27項分成兩組：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，41，43；2，4，8，16，32S27=22(1+43)2+2(1-26)1-2=546，a284512a28540，符合題意，故答案為：2716【2017年上海10】已知數(shù)列an和bn，其中ann2，nN*，bn的項是互不相等的正整數(shù)，若對于任意nN*，bn的第an項等于an的第bn項，則lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=【解答】解：ann2，nN*，若對于一切nN

22、*，bn中的第an項恒等于an中的第bn項，ban=abn=(bn)2b1a11，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=2故答案為：217【2016年浙江理科13】設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若S24，an+12Sn+1，nN*，則a1，S5【解答】解：由n1時，a1S1，可得a22S1+12a1+1，又S24，即a1+a24，即有3a1+14，解得a11；由an+1Sn+1Sn，可得Sn+13Sn+1，由S24，可得S334+113，S4313+140，S5340+1121故答案為：

23、1，12118【2016年上海理科11】無窮數(shù)列an由k個不同的數(shù)組成，Sn為an的前n項和，若對任意nN*，Sn2，3，則k的最大值為【解答】解：對任意nN*，Sn2，3，可得當(dāng)n1時，a1S12或3；若n2，由S22，3，可得數(shù)列的前兩項為2，0；或2，1；或3，0；或3，1；若n3，由S32，3，可得數(shù)列的前三項為2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，1；或3，0，0；或3，0，1；或3，1，0；或3，1，1；若n4，由S32，3，可得數(shù)列的前四項為2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，1；或2，1，0，0；或2，1，0，1；或2，1，1，0；或2

24、，1，1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，1；或3，0，1，0；或3，0，1，1；或3，1，0，0；或3，1，0，1；或3，1，1，0；或3，1，1，1；即有n4后一項都為0或1或1，則k的最大個數(shù)為4，不同的四個數(shù)均為2，0，1，1故答案為：419【2015年江蘇11】設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an+1ann+1（nN*），則數(shù)列1an的前10項的和為【解答】解：數(shù)列an滿足a11，且an+1ann+1（nN*），當(dāng)n2時，an（anan1）+（a2a1）+a1n+2+1=n(n+1)2當(dāng)n1時，上式也成立，an=n(n+1)21an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)數(shù)列1an的前n項

25、的和Sn=2(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=2(1-1n+1) =2nn+1數(shù)列1an的前10項的和為2011故答案為：201120【2015年新課標(biāo)2理科16】設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，an+1Sn+1Sn，則Sn【解答】解：an+1Sn+1Sn，Sn+1SnSn+1Sn，1Sn-1Sn+1=1，又a11，即1S1=-1，數(shù)列1Sn是以首項是1、公差為1的等差數(shù)列，1Sn=-n，Sn=-1n，故答案為：-1n21【2013年江蘇14】在正項等比數(shù)列an中，a5=12，a6+a73，則滿足a1+a2+ana1a2an的最大正整數(shù)n的值為【解答】解：設(shè)正項等比數(shù)列a

26、n首項為a1，公比為q，由題意可得a1q4=12a1q5(1+q)=3，解之可得：a1=132，q2，故其通項公式為an=1322n-1=2n6記Tna1+a2+an=132(1-2n)1-2=2n-125，Sna1a2an25242n6254+n6=2(n-11)n2由題意可得TnSn，即2n-1252(n-11)n2，化簡得：2n1212n2-112n+5，即2n-212n2-112n+51，因此只須n12n2-112n+5，（n1），即n213n+100，解得13-1292n13+1292，由于n為正整數(shù)，因此n最大為13+1292的整數(shù)部分，也就是12故答案為：1222【2013年新課

27、標(biāo)2理科16】等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，S1010a1+45d0，S1515a1+105d25，a13，d=23，Snna1+n(n-1)2d=13n2-103n，nSn=13n3-103n2，令nSnf（n），f（n）n2-203n，當(dāng)n=203時，f（n）取得極值，當(dāng)n203時，f（n）遞減；當(dāng)n203時，f（n）遞增；因此只需比較f（6）和f（7）的大小即可f（6）48，f（7）49，故nSn的最小值為49故答案為：4923【2012年新課標(biāo)1理科16】數(shù)列an滿足an+1+（1）nan2n

28、1，則an的前60項和為【解答】解：an+1+（1）n an2n1，故有 a2a11，a3+a23，a4a35，a5+a47，a6a59，a7+a611，a50a4997從而可得 a3+a12，a4+a28，a7+a52，a8+a624，a9+a112，a12+a1040，a13+a112，a16+a1456，從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列an的前60項和為 152+（158+1514216）183024【2011年江蘇13】設(shè) 1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7 成公比為q的等比數(shù)列，a2，

29、a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是【解答】解：方法1：1a1a2a7； a2，a4，a6 成公差為1的等差數(shù)列，a6a2+23，a6的最小值為3，a7的最小值也為3，此時a11且a1，a3，a5，a7 成公比為q的等比數(shù)列，必有q0，a7a1q33，q33，q33，方法2：由題意知1a1a2a7；中a1，a3，a5，a7 成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6 成公差為1的等差數(shù)列，得1a2q2q2a2+2q3，所以1a2q3-2，即q321，所以q33，解得q33，故q的最小值是：33故答案為：3325【2011年上海理科14】已知點O（0，0）、Q0（0，1）和點R0（3，1）

30、，記Q0R0的中點為P1，取Q0P1和P1R0中的一條，記其端點為Q1、R1，使之滿足（|OQ1|2）（|OR1|2）0，記Q1R1的中點為P2，取Q1P2和P2R1中的一條，記其端點為Q2、R2，使之滿足（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，得到P1，P2，Pn，則limn|Q0Pn|=【解答】解：由題意（|OQ1|2）（|OR1|2）0，所以第一次只能取P1R0一條，（|OQ2|2）（|OR2|2）0依次下去，則Q1、R1；Q2、R2，中必有一點在（3，1）的左側(cè)，一點在右側(cè)，由于P1，P2，Pn，是中點，根據(jù)題意推出P1，P2，Pn，的極限為：（3，1），所以limn|Q0Pn|=|Q0P1|=3，故答案為：326【2010年浙江理科14】設(shè)n2，nN，（2x+12）n（3x+13）na0+a1x+a2x2+anxn，將|ak|（0kn）的最小值記為Tn，則T20，T3=123-133，T40，T5=125-135，Tn，其中Tn【解答】解：根據(jù)Tn的定義，列出Tn的前幾項：T00T1=16=12-13T20T3