QR分解及其應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)矩陣分析與應用專題報告QR分解及應用學生姓名：盧楠、胡河群、朱浩2015年11月25日目錄 TOC o 1-3 h z u 1 引言 矩陣分解是指將一個矩陣表示為結構簡單或具有特殊性質的若干矩陣之積或之和，大體上可以分為滿秩分解、QR分解和奇異值分解。矩陣分解在矩陣分析中占有很重要的地位，常用來解決各種復雜的問題。而QR分解是工程中應用最為廣泛的一類矩陣分解。QR分解是目前求一般矩陣全部特征值的最有效并廣泛應用的方法，一般矩陣先經過正交相似變換成為Hessenberg矩

2、陣，然后再應用QR分解求特征值和特征向量。它是將矩陣分解成一個正交矩陣Q與上三角矩陣R，所以稱為QR分解。 參數(shù)估計是在已知系統(tǒng)模型結構時，用系統(tǒng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)計算系統(tǒng)模型參數(shù)的過程。它在系統(tǒng)辨識和無線通信領域有著廣泛的應用。18世紀末德國數(shù)學家C.F.高斯首先提出參數(shù)估計的方法，他用最小二乘法計算天體運行的軌道。20世紀60年代，隨著電子計算機的普及，參數(shù)估計有了迅猛的發(fā)展。參數(shù)估計有很多方法，如矩估計、極大似然法、一致最小方差無偏估計、最小風險估計、同變估計、最小二乘法、貝葉斯估計、極小極大熵法等。其中最基本的是最小二乘法和極大似然法。 本文將重點介紹QR分解及其在參數(shù)估計和通信系統(tǒng)中的

3、應用。 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter (Next) Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap h * MERGEFORMAT MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 2 Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap r 2 h * M

4、ERGEFORMAT 2 QR分解2.1QR分解的性質定理2.1.1（QR分解）若，且，則存在列正交矩陣 和上三角矩陣 使得 。當時，是正交矩陣。如果 是非奇異的 矩陣，則 的所有對角線元素均為正，并且在這種情況下 和 二者是唯一的。若 是復矩陣，則 和 取復值。 注意到 ,因此可以得出結論： 是 的下三角 因子。由于這個原因，在關于估計的文獻中，矩陣 常稱為平方根濾波器（算子）。 下面的引理稱為矩陣分解引理，它在矩陣的QR分解的應用中是一個很有結果。 引理2.2.1 若 和 是任意兩個 矩陣，則 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h

5、 * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)當且僅當存在一個 酉矩陣 ，使得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn

6、c * Arabic * MERGEFORMAT 2) 證明 充分性證明：若 ，并且 是酉矩陣，則 。 必要性證明：令 和 的奇異值分解分別為 式中， 和 均為 酉矩陣； 和 都是 酉矩陣；而 矩陣 和 分別包含了矩陣 和 的非負奇異值。由于 若 ,則有 和 。定義矩陣 易知 這就證明了引理的必要條件 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 10。 2. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT 2

7、 QR分解算法2.2.1 采用修正Gram-Schmidt法的QR分解矩陣 的QR分解可以利用Gram-Schmidt正交化方法實現(xiàn)。Gram-Schmidt正交化方法原本是一種由n個向量 構造互相正交且范數(shù)為1的向量 的方法。將向量 標準正交化的結果取作 ，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MER

8、GEFORMAT 1)然后，從 中除去與 平行的向量，再進行標準正交化，并將結果取作 ，則有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)進而，又從 除去與 和 平行的兩個分量，再進行標準正交化，并使用該結果作 ，即有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFOR

9、MAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)如此繼續(xù)，則對于 有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. S

10、EQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)容易驗證， 是標準正交基，即滿足 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)其中， 為Kronecker 函數(shù)。如果令 矩陣 的列向量 ，則以 為列向量的矩陣 與 之間有下列關系： MACROBUTTON MTP

11、laceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)又由于 組成標準正交基，所以 將 與 重寫在同一矩陣，應用以上Gram-Schmidt正交化的方法叫做經典Gram-Schmidt正交化法 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 6。2.2.2 Householder QR分解Householder變換可以

12、實現(xiàn)任意 矩陣 的QR分解，其原理是使用變維向量的Householder變換，使得該向量除第一個元素外，其他元素皆為0。根據(jù)Householder變換的相關知識，欲使一個 維向量 的第1個元素后面的所有元素變?yōu)?，則 維的Householder向量應取 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFOR

13、MAT 7)式中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8) 假定 矩陣 的列分塊形式為 首先令 ，并取 ，則按照式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (2.2.7)和式

14、 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (2.2.8)，可以計算得到 。此時， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)變換后，矩陣 的第1列 的第一個元素等于 ，而該列的

15、其他元素全部為0。 第二步針對矩陣 的第2列 ，令 和 又可按照式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (2.2.7)和式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (2.2.8)求出（m-1）維向量 。此時，取 ，又可得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c

16、* Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)變換后，矩陣 的第1列與 的第1列相同，而第2列 的第一個元素等于 ，第二個元素等于 ，而該列的其他元素全部為0。 類似地，又可針對矩陣 的第3列設計Householder變換矩陣 ，使得 的第一、二個元素保持不變，其他元素組成的m-2維向量 變換為除第一個元素外的全部元素變?yōu)?。 假定矩陣 經過k-1次Householder變換后，已變成 ，即 并且其前k-1列具有以下變換結果: 因此，第k

17、次Householder變換的目的就是保持前k-1列不變，實現(xiàn) 列第k列的下述變換： 這相當于對矩陣 進行Householder變換 時取 n次Householder變換后，即可實現(xiàn)QR分解。2.2.3 采用Givens旋轉的QR分解 Givens旋轉也可以用來計算QR分解。這里以 矩陣為例，說明Givens QR分解的思想： 其中， 表示用Givens旋轉進行變化你的元素。 從上述說明中易得出結論：如果令 代表約化過程中的第j次Givens旋轉，則 是上三角矩陣，其中 ，而t是總的旋轉次數(shù)。3 QR分解在參數(shù)估計中的應用 MACROBUTTON MTEditEquationSection2

18、Equation Chapter (Next) Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap h * MERGEFORMAT 31 基于 分解的參數(shù)估計問題現(xiàn)在以系統(tǒng)辨識為例，說明如何利用矩陣的 分解進行系統(tǒng)參數(shù)的遞推估計。令系統(tǒng)在 時刻的輸入為 ，系統(tǒng)輸出的觀測值由卷積方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. S

19、EQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)給出，其中， 表示離散卷積， 代表 時刻的觀測誤差，且 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)若將 的所有觀測數(shù)據(jù)組成一向量，則 M

20、ACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)式中， ， ， 。系統(tǒng)辨識問題的提法是：已知系統(tǒng)輸入 和輸出觀測值 ，其中， ，估計系統(tǒng)參數(shù)向量 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 7。在時變系統(tǒng)的辨識中，則要求在已估計 時刻的系統(tǒng)參數(shù)向量 的情況下，使用增加的 值，通過簡

21、單的運算，遞推出 時刻的系統(tǒng)參數(shù)向量 。 時刻的系統(tǒng)辨識問題可以簡化為最小二乘問題 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)求解，并且其解由“法方程” MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (

22、SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)確定。式中， 代表系統(tǒng)輸入 的協(xié)方差矩陣， 。 直接求解式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.5)的方法叫做協(xié)方差方法。例如，先計算協(xié)方差矩陣 的 分解 ,然后利用回帶法解三角矩陣 直接得到 。然而，由于 的條件數(shù)是 的條件數(shù)的平方，因此，直接計算

23、式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.5)的得到的解有可能是嚴重病態(tài)的（即條件數(shù)很大），即使 本身的條件數(shù)并不大，不是嚴重病態(tài)的。 在系統(tǒng)參數(shù)向量 的自適應遞推辨識中，標準的遞推最小二乘 法和 分解法都是針對協(xié)方差矩陣 進行更新的。雖然 分解（其中， 為上三角矩陣， 為對角矩陣）在數(shù)值上比較穩(wěn)定，但是這些遞推辨識方法也同樣存在條件數(shù)變大的毛病。相比之下， 的 分解可以保持原問題的條件數(shù)不變。不妨令 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT

24、SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)式中， 是 正交矩陣， 是 上三角矩陣，而 為 維零矩陣。由于正交變換可以保持被變換向量的 長度或范數(shù)不變，所以式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.4)的最小二乘問題可等價寫作 MACROB

25、UTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7)或 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic

26、* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8)式中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)且 為 向量， 為 向量，它們可以從 直接分塊得到。 一旦獲得了 ，即可由 得到 。解此方程需要 次計算，并且最小殘差值等于 。

27、 假定增加了兩個已知數(shù)值 和 ，我們來討論如何更新系統(tǒng)參數(shù)的估計，即使用已估計的參數(shù)向量 和簡單的運算，得到 時刻的新估計 。為了減少過去數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)對參數(shù)估計的影響，對數(shù)據(jù) 和 采取指數(shù)加權，即 時刻的數(shù)據(jù)矩陣和觀測數(shù)據(jù)向量分別取作 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)式中，

28、稱為遺忘因子，且 。于是，可以寫出式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.4)在 時刻的形式為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 11)乍一看，上式似乎沒有什

29、么特別吸引人之處，其實不然。這是因為，如同下面的引理所述，式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.11)的極小化變量等價為下述式的極小化變量，而后者非常適合于遞推更新。引理3.1.2r若 ， ，其中， 是正交矩陣， 是上三角矩陣，則式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.11)的極小化變量等同于下式的極小化變量： MACROBUTTON MTPlaceR

30、ef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)證明見。如果將式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.12)的極小化變量記作 ，則以上討論可總結為 的自適應遞推估計算法如下。算法1（系統(tǒng)參數(shù)的自適應估計算法

31、）步驟1 對矩陣 進行 分解，得 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)式中， 是 正交矩陣， 為 上三角矩陣，且 是 零矩陣。步驟二 進行分塊運算 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT (

32、 SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)其中， 為 向量， 為 向量。步驟三 切結三角矩陣方程 得到 。3. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT 2基于 變換的快速時變參數(shù)估計考察 矩陣 的 分解，即 MACROBUT

33、TON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)顯然，只需要進行 次 變換即可。換言之，為了得到上述 分解，應該選擇 為 個 變換矩陣之積，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * A

34、rabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)式中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)是對矩陣 第 列向量 進行的 變換矩陣，

35、其參數(shù)選擇方法為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)其中 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ M

36、TSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)并且 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)遞推的 分解算法如下：基于 分解的自適應參數(shù)估計算法一般由兩個分開的過程組成：（1）遞推更新 分

37、解 中的上三角矩陣 ；（2）用回代法求解三角矩陣方程。由于直接的回代需要 次運算（ 為數(shù)據(jù)長度）。因此，即便 變換再快速，整個自適應算法也至少需要 次運算。文獻將上述快速 分解算法和求解三角矩陣方程的回代法綜合起來考慮，提出了只具有 復雜度的快速自適應算法。3. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT 3基于 旋轉的時變參數(shù)估計現(xiàn)在考慮另外一種遞推方法，遞推求解 的變化量 ，而不是直接遞推求 本身。換句話說，令

38、 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)問題是如何更新 。假定正交矩陣 為已知，它滿足 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFO

39、RMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)由式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.1.11)，式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.1)和式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum

40、* Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.2)易知， 是下式的極小化變量： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)此式又可化簡為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT

41、 ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)式中， 。因此， 可以從三角矩陣方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic *

42、 MERGEFORMAT 5)解出，其中， 滿足 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)為了求出滿足式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.2)的 ，可以使用

43、 平面旋轉進行清零，將式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.2)中的行向量 的全部元素變成零。由于 必須左乘式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.6)，所以對增廣的矩陣 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * ME

44、RGEFORMAT 3. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 3. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7)執(zhí)行所需要的清零。綜合以上分析，在每一步遞推更新中需要的步驟如下 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 5：（1）計算預測誤差 ；（2）形成式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.7)中的 矩陣；（3）利用一系列 旋轉將上述矩陣最底一行的左邊 個元素掃除為零；（4）解上三角矩陣方程 G

45、OTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (3.3.5)得到 。利用 旋轉求解方程 的遞推最小二乘算法的程序見文獻。該算法中，同時對矩陣 和向量 應用旋轉，因此無需存儲正交矩陣 。4 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter (Next) Section 1 SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec r 1 h * MERGEFORMAT SEQ MTChap h * MERGEFORMAT QR

46、分解在通信系統(tǒng)中的應用4.1 基于QR分解的穩(wěn)健干擾對齊算法 考慮K用戶MIMO干擾信道，每個發(fā)送端的天線數(shù)為 ，每個接收端的天線數(shù)為 ，每個用戶對應的自由度為 ，此處的自由度代表每個用戶能使用的獨立數(shù)據(jù)流個數(shù)。為了讓系統(tǒng)自由度達到最大值，即 ，那么每個發(fā)送端所提供的信號空間的維數(shù)應該相等，故此處不妨設 ，并假設在同一時刻同一頻率上的各個發(fā)送接收對之間的信道是平坦衰落的，且信道系數(shù)獨立同分布。在一個特定的時頻資源上，接收端 的接收信號可以表示為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap

47、 c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)其中維數(shù)為 的 和 分別是發(fā)送端 和 到接收端 的信道矩陣。 和 分別是發(fā)送端 和 對應接收端 和 的預編碼矩陣，且滿足 ， 。維數(shù)為 的 是接收端 的下行數(shù)據(jù)矢量信號，且滿足功率約束 。維數(shù)為 的 是均值為0，方差為1的加性高斯白噪聲噪聲，且 。 干擾對齊往往要求完美的 ，但在實際通信系統(tǒng)中，發(fā)送端得到 常常是有誤差的。為了構建穩(wěn)健的干擾對齊算法，此處引入信道誤差變量 ， 表示真實的信道

48、矩陣， 表示具有誤差的信道矩陣，并且假設的元素服從均值為0，方差為 的循環(huán)對稱復高斯分布（GSCG），即滿足 。故式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.1)變?yōu)?MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * A

49、rabic * MERGEFORMAT 2)此時整個系統(tǒng)的聯(lián)合接收信號可以表示為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)對得到的誤差聯(lián)合信道矩陣 進行QR分解有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFOR

50、MAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)其中，Q是維數(shù)為 的酉矩陣，R是維數(shù)為 的上三角矩陣。因為Q是酉矩陣，根據(jù)矩陣理論可知R和 有相同的統(tǒng)計特性，所以定義R為系統(tǒng)的誤差等效聯(lián)合信道矩陣。 根據(jù)式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.4)，式 GOTOBUTTON ZEqnN

51、um * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.3)可以改寫為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)這是考慮聯(lián)合接收，對式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF Z

52、EqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.5)的聯(lián)合信號接收信號進行左乘 的預處理，得到如下的聯(lián)合接收信號： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6) 因為 是酉矩陣，于是 和 有相同的統(tǒng)計特性，同理 和 有相同的統(tǒng)計特性。通過式 GOTOB

53、UTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.1.6)，在接收端 經過干擾抑制矩陣 處理后，接收端 的接收信號為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7) 通過穩(wěn)健干擾對齊算法得到最優(yōu)

54、干擾對齊矩陣 和 ，具體算法流程總結為 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 8：初始化 ，這里可以隨機選擇均值為0，方差為1的矩陣 。計算出，并且單位化 計算出，并且單位化 重復步驟（2）和（3），直到收斂。4. MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Section (Next) SEQ MTEqn r h * MERGEFORMAT SEQ MTSec h * MERGEFORMAT 2基于 分解的 置信傳播檢測器在一個 個發(fā)射天線和 個接收天線的 系統(tǒng)中， 是 傳輸信號向量。系統(tǒng)的輸入輸出關系可以寫為 MACROBUTTO

55、N MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)其中， 是 接收信號向量， 是 噪聲向量， 的元素是零均值、方差 的獨立同分布（i.i.d）復高斯隨機變量。 是 的 信道矩陣， 。由 分解， 信道矩陣 可以寫為 ,其中 是 酉矩陣， 是 非零矩陣， 是 上三角矩陣 MACROBUTTON MTPlaceRef

56、 * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)由于 , 是非零矩陣， 。式 GOTOBUTTON ZEqnNum * MERGEFORMAT REF ZEqnNum * Charformat ! * MERGEFORMAT (4.2.1)可以寫為 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ M

57、TEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)這樣， 相比于由 得出的全連接的偶圖就是一個包含更少的邊數(shù)和環(huán)數(shù)的的偶圖。如下圖所示。圖中， , 。在第一次迭代前，全部 初始化為0，其中 且 。在第 次迭代時，每一個 可以由最大對數(shù)近似得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTChap c * Arabic * MERGEFORMAT 4. SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 2. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)其中， 和 是 中的第 比特和第 比特對應的 中的第 比特和第 比特， 表示第 次迭代時第 節(jié)點發(fā)出、第 節(jié)點檢測的消息。計算出 后，有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * M