初三數(shù)學 圓的綜合的專項 培優(yōu) 易錯 難題練習題含詳細答案

1、初三數(shù)學圓的綜合的專項培優(yōu)易錯難題練習題含詳細答案一、圓的綜合1.(1)如圖1,在矩形ABCD中，點0在邊AB上，ZAOC=ZBOD,求證：AO=OB；(2)如圖2,AB是OO的直徑，PA與O0相切于點A,0P與O0相交于點C,連接CB,ZOPA=40，求ZABC的度數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)25.【解析】試題分析：(1)根據(jù)等量代換可求得ZAOD=ZBOC，根據(jù)矩形的對邊相等，每個角都是直角，可知ZA=ZB=90,AD=BC，根據(jù)三角形全等的判定AAS證得AODBOC，從而得證結論.(2)利用切線的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質得到圓心角ZPOA的度數(shù)，然后利用圓周角定理來求

2、ZABC的度數(shù).試題解析：(1)TZAOC=ZBODZAOC-ZCOD=ZBOD-ZCOD即卩ZAOD=ZBOCT四邊形ABCD是矩形ZA=ZB=90,AD=BCAAOD=ABOC.AO=OB(2)解：TAB是OO的直徑，PA與OO相切于點A,PA丄AB,ZA=90.又TZOPA=40,ZAOP=50,TOB=OC,.ZB=ZOCB.又TZAOP=ZB+ZOCB,1ZB二ZOCB=-ZAOP=25。22.如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑作OO,OO交BC于點D,交CA的延長線于點E.過點D作DF丄AC，垂足為F.（1）求證：DF為OO的切線;(2)若AB=4,ZC=30，求劣弧BE的

3、長.【答案】（1）證明見解析（2）3兀【解析】分析：（1）連接AD、OD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可得ZADB=90。，然后根據(jù)等腰三角形的性質求出BD=CD，再根據(jù)中位線的性質求出OD丄DF,進而根據(jù)切線的判定證明即可；（2）連接OE，根據(jù)三角形的外角求出ZBAE的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理求出ZBOE的度數(shù)，根據(jù)弧長公式求解即可.詳解：（1）連接AD、OD.TAB是直徑,ZADB=90.TAB=AC,.BD=CD,又:OA=OB,OD是AABC的中位線，ODIIAC,TDF丄AC,OD丄DF即ZODF=90.DF為OO的切線；(2)連接OE.TAB=AC,ZB=ZC=30,ZBAE=60

4、,TZBOE=2ZBAE,ZBOE=120,點睛：本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質和判定、切線的性質和判定、三角形的中位線、圓周角定理，靈活添加輔助線是解題關鍵.3.已知AB,CD都是G0的直徑，連接DB,過點C的切線交DB的延長線于點E.（1）如圖1,求證：zAOD+2ZE二180；G）如圖2,過點A作AF丄EC交EC的延長線于點F,過點D作DG丄AB，垂足為點G,求證：DG=CF；（3）如圖3,在（2）的條件下，當=3時，在OO外取一點H,連接CH、DH分別交CE4OO于點m、N，且乙HDE=ZHCE，點p在HD的延長線上，連接PO并延長交CM于點Q，若PD=11，DN=14，MQ

5、=OB，求線段HM的長.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）屈+7【解析】【分析】（1）由ZD+ZE=90,可得2ZD+2ZE=180，只要證明ZAOD=2ZD即可；（2）如圖2中，作OR丄AF于R.只要證明厶AOR里ODG即可；（3）如圖3中，連接BC、OM、ON、CN,作B廠丄C厶于八作NK丄CH于K,設CH交DE于W解直角三角形分別求出KM,KH即可；【詳解】圖1VOO與CE相切于點C,OC丄CE,ZOCE=90,:上D+ZE=90,2ZD+2ZE=180,.ZAOD=ZCOB,ZBOC=2ZD,ZAOD=2ZD,:,ZAOD+2ZE=180（2）證明：如圖2中，作OR丄AF于

6、r.ZOCF二乙F二乙ORF二90。,-四邊形OCFR是矩形，AF/CD,CF=OR,.ZA=ZAOD,在AOR和ODG中，.ZA=ZAOD,ZARO=ZOGD二90,OA=DO,.AOR匕人ODG,.OR=DG,DG=CF,(3)解：如圖3中，連接BC、OM、ON、CN,作BT丄CL于T,作NK丄CH于K,設CH交DE于W.設DG=3m，則CF=3m,CE=4m,ZOCF=ZF=ZBTE二90,AF/OC/BT,OA=OB,CT=CF=3m,ET=m,CD為直徑，.ZCBD二ZCND二90=ZCBE,.ZE二90-ZEBT二ZCBT,tanZE=tanZCBT,.BT_CTET_BT，.BT

7、_3m*BT，.BT_y3m（負根已經(jīng)舍棄），3m；tanZE_*3,m/.ZE_60,.ZCWD_ZHDE+ZH,ZHDE_ZHCE,ZH_ZE_60,ZMON_2ZHCN_60,OM_ON,.OMN是等邊三角形，.MN_ON,QM_OB_OM,ZMOQ_ZMQO,.ZMOQ+ZPON_180-ZMON_120,ZMQO+ZP_180-ZH_120,ZPON_ZP,.ON_NP_14+11_25.CD_2ON_50MN_ON_25在RUCDN中，CN_CD2-DN2_J莎二142_48,CN48l在RUCHN中，tanZH_P3,HNHNHN_163在RUKNH中，KH_2hN_8j3,NK

8、_HN_24,22在RUNMK中，MK_JMN2-NK2_$252242_7,HM_HK+MK_8薦+7【點睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、平行線的性質、勾股定理、等邊三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)等知識添加常用輔助線構造全等三角形或直角三角形解題的關鍵.4不用圓規(guī)、三角板只用沒有刻度的直尺用連線的方法在圖1、2中分別過圓外一點A作出直徑BC所在射線的垂線【答案】畫圖見解析.【解析】【分析】根據(jù)直角所對的圓周角是直角，構造直角三角形，利用直角三角形性質可畫出垂線；或結合圓的軸對稱性質也可以求出垂線.【詳解】解：畫圖如下：【點睛】本題考核知識點：作垂線解題關鍵點：結合圓的性質和直

9、角三角形性質求出垂線.5.如圖，已知OO的半徑為1,PQ是OO的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個A1B1C1的頂點A1與點P重合，第二個A2B2C2的頂點A2是B1C1與PQ的交點，,最后一個厶AnBnCn的頂點Bn、Cn在圓上.如圖1,當n=1時，正三角形的邊長a1=；如圖2,當n=2時，正三角形的邊長a2=；如圖3,P8常：亍4/313、13n2【解析】分析：（1）設PQ與BC交于點D,連接BO，得出OD=A1D-OA,用含&的代數(shù)式表示OD,在厶OBD中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長q；(2)設PQ與B2C2交于點E,連接B2O,得出OE=

10、E-OA,用含a2的代數(shù)式表示OE,在厶OB2E中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長a；(3)設PQ與BC交于點F,連接BO,得出OF=AF-2nnn1O*，用含an的代數(shù)式表示OF,在厶OBF中，根據(jù)勾股定理求出正三角形的邊長an.1n本題解析：易知A1B1C1的高為2，則邊長為J3,二S=：3.設厶A1B1C1的高為力，則A2O=1-h,連結B2O,設B2C2與PQ交于點F,則有OF=2h-1.b2O2=OF2+B2F2,(11=(2h1)2+a212丿十#a2,.1=K-3a2-1)2+4噸,解得a2=同，連結B0,設BnCn與PQ交于點F,則有BO2=OF2+BF2,(1即1=(nh1)

11、2+al2n丿h2a，解得an=4j3n3n2+16.如圖，ABC內接于OO,弦AD丄BC垂足為H,ZABC=2ZCAD.如圖1,求證：AB=BC；如圖2,過點B作BM丄CD垂足為M,BM交OO于E,連接AE、HM,求證：AEIIHM;如圖3,在(2)的條件下，連接BD交AE于N,AE與BC交于點F,若NH=2空5,AD=11，求線段AB的長.1M畫）氣附【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AB的長為10.【解析】分析：（1）根據(jù)題意，設/CAD=a,然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余的關系，推導出zBAC=ZACB，再根據(jù)等角對等邊得證結論；（2）延長AD、BM交于點N,連接ED.

12、根據(jù)圓周角定理得出ZN=ZDEN=ZBAN，進而根據(jù)等角對等邊，得到DE=DN,BA=BN,再根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質，求得MHIIAE；（3）連接CE，根據(jù)（2）的結論，由三角形全等的判定與性質證得HF=HC,然后結合勾股定理求出AC2-AH2=CD2-DH2，解得CD=5,CH=4,AH=8，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質得到AB.詳解：（1）證明：設ZCAD=a,則ZABC=2a,ZC=90-a,ZBAD=90-2a,ZBAC=90-2a+a=90-aZBAC=ZACB.AB=BC（2）證明：延長AD、BM交于點N,連接ED.TZDEN=ZDAB,ZN=ZBCD,ZBCD=ZBANK

13、ZN=ZDEN=ZBANDE=DN,BA=BN又:BH丄AN,DMIENEM=NM,HN=HA,.MHIIAE（3）連接CE.ZBDA=ZBCA,ZBDM=ZBAC，由（1）知ZBCA=ZBACZBDA=ZBDM,.BDM竺BDH,DH=MH,ZMBD=ZHBD,.BD丄MH又TMHIIAE,.BD丄EF,.FNB竺ENB,同理可證厶AFH竺ACH,.HF=HC又:FN=NENHIIEC,EC=2NH,又:NH=2島八EC=4、f5ZEAC=2ZAEC=2a=ZABC，可證弧人。=弧EC,.AC=EC=4、込設HD=x,AH=11-x,TZADC=2ZCAD，翻折CHD至、CHG，可證CG=C

14、D=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又:AC2-AH2=CD2-DH2,.(4*5)2-(11-X)2=(11-2x)2-X227.X=3,x2=-(舍去).CD=5,CH=4,AH=8.AHCH小j,又:二二tan2a，:.BH=6AB=BM2+AH2=62+82=10BHDH點睛：此題主要考查了圓的綜合，結合圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質，解直角三角形的性質，綜合性比較強，靈活添加輔助線，構造方程求解是解題關鍵7.如圖，在RtAABC中，ZABC=90,AB=CB，以AB為直徑的OO交AC于點D,點E是AB邊上一點(點E不與點A、B重合)，DE

15、的延長線交OO于點G，DF丄DG，且交BC于點F.求證：AE=BF；連接EF,求證：ZFEB=ZGDA；連接GF若AE=2，EB=4，求AGFD的面積.【答案】(1)(2)見解析；(3)9【解析】分析：（1）連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形，求出ZA與ZC的度數(shù)，根據(jù)AB為圓的直徑，利用圓周角定理得到/ADB為直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊1上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BD=2AC,進而確定出ZA=ZFBD,再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用全等三角形對應邊相等即可得證；（2）連接EF,BG,由三角形AED與三

16、角形BFD全等，得到ED=FD，進而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質和同弧所對的圓周角相等，即可得出結論；（3）由全等三角形對應邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長，利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的長，由GE+ED求出GD的長，根據(jù)三角形的面積公式計算即可詳解：（1）連接BD.在RtAABC中，ZABC=90,AB=BC,二ZA=ZC=45.1TAB為圓0的直徑，ZADB

17、=90,即BDAC,AAD=DC=BD=AC,ZCBD=ZC=45,AZA=ZFBD.:DF丄DG,AZFDG=90,AZFDB+ZBDG=90.ZA=ZFBDTZEDA+ZBDG=90,AZEDA=ZFDB-在厶AED和厶BFD中，十AD=BDZEDA=ZFDBAAEDBFD(ASA),AAE=BF；(2)連接EF，BG.TAED竺BFD,ADE=DF.TZEDF=90,AEDF是等腰直角三角形，AZDEF=45.TZG=ZA=45,AZG=ZDEF,AGBIIEF,AZFEB=ZGBA.TZGBA=ZGDA，AZFEB=ZGDA；(3)TAE=BF,AE=2,ABF=2.在RtAEBF中，

18、ZEBF=90,A根據(jù)勾股定理得:EF2=EB2+BF2.TEB=4,BF=2,AEF=g+=25.DETDEF為等腰直角三角形，ZEDF=90,AcosZDEF=EFTEF=2打，ADE=代洱云.GEEBTZG=ZA，ZGEB=ZAED，A只AED，AIE=ED，即GEED=AEEB帀GE=8，即GE=手，則GD=GE+ED=ii9:10iS二GDDdfX一GDDDEX2二亍rx2二9.點睛：本題屬于圓綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，圓周角定理，以及平行線的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解答本題的關鍵.&解決問題：（1）如圖，半徑為4的GO外

19、有一點P,且PO=7，點A在OO上，則PA的最大值和最小值分別是和.（2）如圖，扇形AOB的半徑為4，ZAOB=45，P為弧AB上一點，分別在OA邊找點E,在OB邊上找一點F,使得aPEF周長的最小，請在圖中確定點E、F的位置并直接寫出aPEF周長的最小值；拓展應用（3）如圖，正方形ABCD的邊長為4邁；E是CD上一點（不與D、C重合），CF丄BE于F，P在BE上，且PF=CF，M、N分別是AB、AC上動點，求PM周長的最小值.S團【答案】（1）11，3；（2）圖見解析，zPEF周長最小值為4；2；（3）4;104、J2.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最遠是和最

20、近的點是過圓心和該點的直線與圓的交點，容易求出最大值與最小值分別為11和3；（2）作點P關于直線OA的對稱點q,作點P關于直線0B的對稱點P2，連接樣、P2，與OA、0B分別交于點E、F,點E、F即為所求，此時PEF周長最小，然后根據(jù)等腰直角三角形求解即可；（3）類似（2）題作對稱點，aMN周長最小=pp2，然后由三角形相似和勾股定理求解.【詳解】解：（1）如圖，：圓外一點P到這個圓上所有點的距離中，最大距離是和最小距離都在過圓心的直線OP上,此直線與圓有兩個交點,圓外一點與這兩個交點的距離個分別最大距離和最小距離PA的最大值=PA=P0+OA=7+4=11,22PA的最小值=PA=P0-0A

21、=7-4=3,故答案為11和3；（2）如圖，以0為圓心，0A為半徑，畫弧AB和弧BD,作點P關于直線0A的對稱點P，作點P關于直線0B的對稱點P2，連接化、P2，與0A、0B分別交于點E、F,點E、F即為所求連接0P、0P、0P、PE、PF，由對稱知識可知，ZA0P=ZA0P，ZB0P=ZB0P，PE=PE，PF=PF1212ZA0P+ZB0P=ZA0P+ZB0P=ZA0B=45，12ZP0P=45+45=90，12P10P2為等腰直角三角形，PP=J20P=4邁，121PEF周長二PE+PF+EF=PE+PF+EF=PP4邁，此時PEF周長最小.1212故答案為4邁；（3）作點P關于直線AB

22、的對稱P，連接A、BP；，作點P關于直線AC的對稱匚，連接P、P,，與AB、AC分別交于點M、N.如圖由對稱知識可知，PM=PM，PN=PN，aPMN周長12=PM+PN+MN=PM+PN+MN=PP，1212此時，PMN周長最小=PP2由對稱性可知，ZBAP=ZBAP，ZEAP=ZEAP，AP=AP=AP，1212ZBAP+ZEAP=ZBAP+ZEAP=ZBAC=4512ZPAP=45+45=90，12樣A%為等腰直角三角形，PMN周長最小值PP=J2AP，當AP最短時，周長最小.12連接DF.CF丄BE，且PF=CF,PC片/.ZPCF=45,2CF.ZACD=45,/ZPCF=ZACD,

23、ZPCA=ZFCD,ACCD2,ACPC在aAPC與aDFC中，二，ZPCA=ZFCDCDCFAPC7DFC,-AP=竺仝,DFCDAP=2DF.ZBFC=90，取AB中點O.點F在以BC為直徑的圓上運動，當D、F、O二點在同一直線上時，DF最短.DF=DO-FOOC2+CD2-OC*(2、迂)2+(4加-2邁=2麗-2邁,AP最小值為AP=2DF此時，aPM周長最小值PPP邁DF二遠-12圖【點睛】本題考查圓以及正方形的性質，運用圓的對稱性和正方形的對稱性是解答本題的關鍵.在平面直角坐標系中，已知點A(2,0),點B(0,負)，點0(0,0).AOB繞著0順時針旋轉，得AOB，點A、B旋轉后

24、的對應點為A,B,記旋轉角為a.（I）如圖1,AB恰好經(jīng)過點A時，求此時旋轉角a的度數(shù)，并求出點B的坐標；（口）如圖2,若0VaV90,設直線AA和直線BB交于點P,求證：AA丄BB；（皿）若0VaV360。，求（口）中的點P縱坐標的最小值（直接寫出結果即可）.【答案】（I）a=60,B（3,;）；（n）見解析；（皿）點P縱坐標的最小值為-2.【解析】【分析】（I）作輔助線，先根據(jù)點A（2,0），點B（0A/），確定ZABO=30,證明AOA是等邊三角形，得旋轉角a=60,證明COB是30的直角三角形，可得B的坐標；（口）依據(jù)旋轉的性質可得ZBOB=ZAOA=a,OB=OB,OA=OA,即可得

25、出/OBB=ZOAA1=（180-a）,再根據(jù)ZBOA=90+a,四邊形OBPA的內角和為360,即可得到ZBPA=90,即AABB;1（皿）作AB的中點M（1八：），連接MP,依據(jù)點P的軌跡為以點M為圓心，以MP=AB=2為半徑的圓，即可得到當PMIIy軸時，點P縱坐標的最小值為-2.【詳解】解：（I）如圖1,過B作BC丄x軸于C,冒1TOA=2,OB=2、.zAOB=90,ZABO=30,ZBAO=60,由旋轉得：OA=OA,ZA=ZBAO=60,.OAA是等邊三角形，.a=ZAOA=60,OB=OB=2i：ZCOB=90-60=30,1BC=.QB，=OC3,BQ、；),(口)證明：如圖

26、2,vzBOB=ZAOA=a,OB=OB,OA=OA,1ZOBB=ZOAA(180-a),ZBOA=90+a，四邊形OBPA的內角和為360,ZBPA=360-(180-a)-(90+a)=90,即AABB;汽、OVXA1圖2（皿）點P縱坐標的最小值為-2.理由是:點P的軌跡為以點M為圓心，以MP=AB=2為半徑的圓,除去點（2,2），.當PM丄x軸時，點P縱坐標的最小值為-2.【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，含30角的直角三角形的性質，四邊形內角和以及圓周角定理的綜合運用，解決問題的關鍵是判斷點P的軌跡為以點M為圓心，以MP為半徑的圓.如圖，AB是圓0的直徑，0為圓心，

27、AD、BD是半圓的弦，且/PDA=ZPBD.延長PD交圓的切線BE于點E判斷直線PD是否為O0的切線，并說明理由；(2)如果上BED=60,PD=J3，求PA的長；B將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF，點F正好在圓0上，如圖2,求證：四邊形DFBE為菱形.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】連接OD,由AB是圓0的直徑可得/ADB=90，進而求得/ADO+ZPDA=90，即可得出直線PD為O0的切線；根據(jù)BE是OO的切線，則ZEBA=90，即可求得ZP=30，再由PD為O0的切線，得ZPDO=90，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA；(3)根據(jù)題意可

28、證得ZADF=ZPDA=ZPBD=ZABF，由AB是圓0的直徑，得ZADB=90,設ZPBD=x,則可表示出ZDAF=ZPAD=90+x,ZDBF=2x，由圓內接四邊形的性質得出x的值，可得出ABDE是等邊三角形.進而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為O0的切線，理由如下：如圖1,連接0D,TAB是圓0的直徑,ZADB=90,ZADO+ZBDO=90,又：DO=BO,.ZBDO=ZPBD,IZPDA=ZPBD,.ZBDO=ZPDA,ZADO+ZPDA=90,即卩PD丄OD,T點D在OO上，.直線PD為OO的切線；TBE是OO的切線，.ZEBA=90,TZBED=60,.ZP=3

29、0,TPD為OO的切線，.ZPDO=90,在RtAPDO中，ZP=30,PD=p3,.tan300二，解得OD=1,PD.PO=、PD2+OD2=2,PA=PO-AO=2-1=1；如圖2,依題意得：ZADF=ZPDA,ZPAD=ZDAF,TZPDA=ZPBDZADF=ZABF,.ZADF=ZPDA=ZPBD=ZABF,TAB是圓O的直徑，.ZADB=90,設ZPBD=x，則ZDAF=ZPAD=90+x,ZDBF=2x,T四邊形AFBD內接于OO,.ZDAF+ZDBF=180,即90+x+2x=180，解得x=30,.ZADF=ZPDA=ZPBD=ZABF=30,TBE、ED是OO的切線，.DE

30、=BE,ZEBA=90,.ZDBE=60,.BDE是等邊三角形,.BD=DE=BE,又TZFDB=ZADB-ZADF=90-30=60ZDBF=2x=60,.BDF是等邊三角形,.BD=DF=BF,.DE=BE=DF=BF,.四邊形DFBE為菱形.【點睛】本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質，圓周角定理和菱形的性質，是中檔題，難度較大.11.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上一點，點F在射線CM上/AEF=90,AE=EF,過點F作射線BC的垂線，垂足為H,連接AC.試判斷BE與FH的數(shù)量關系，并說明理由；求證：ZACF=90；MH圖2B連接AF,過A，E，F(xiàn)三點作圓，如

31、圖2.若EC=4，ZCEF=15，求；的長.【答案】（1）BE=FH；理由見解析（2）證明見解析（3）凡:=2n【解析】試題分析：（1）由厶ABE竺EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB，從而可知FHC是等腰直角三角形，ZFCH為45,而ZACB也為45,從而可證明（3）由已知可知ZEAC=30,AF是直徑，設圓心為0,連接EO,過點E作EN丄AC于點N,則可得ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長，進而可得AE的長，得到半徑，得到；所對圓心角的度數(shù)，從而求得弧長試題解析：（1）BE=FH.理由如下：T四邊形ABCD是正方形二ZB=90,TF

32、H丄BCZFHE=90又:ZAEF=90ZAEB+ZHEF=90且ZBAE+ZAEB=90ZHEF=ZBAEAZAEB=ZEFH又:AE=EFABE竺EHF(SAS)BE=FHTABE竺EHFBC=EH,BE=FH又:BE+EC=EC+CH.BE=CHCH=FHZFCH=45,ZFCM=45TAC是正方形對角線，.ZACD=45ZACF=ZFCM+ZACD=90(3)TAE=EF,AEF是等腰直角三角形AEF外接圓的圓心在斜邊AF的中點上.設該中點為0.連結EO得ZAOE=90過E作EN丄AC于點NRtAENC中，EC=4，ZECA=45，.EN=NC=：TRtAENA中，EN=上又:ZEAF

33、=45ZCAF=ZCEF=15(等弧對等角).ZEAC=30.ae=7TRtAAFE中，AE=T3=EF，.AF=8AE所在的圓0半徑為4,其所對的圓心角為ZAOE=90導-=2n4(90m360)=2n考點：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數(shù)12.如圖，已知ABC，AB=p2，BC3，zB=45，點D在邊BC上，聯(lián)結AD，以點A為圓心，AD為半徑畫圓，與邊AC交于點E,點F在圓A上，且AF丄AD.設BD為x,點D、F之間的距離為y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；如果E是df的中點，求BD:CD的值；聯(lián)結CF,如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長.【答案】y=

34、v4-4x+2x2(0 x3);5；BD的長是1或1+/52【解析】【分析】過點A作AH丄BC,垂足為點H.構造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的長度.聯(lián)結DF,點D、F之間的距離y即為DF的長度，在RtAADF中，利用銳角三角形函數(shù)的定義求得DF的長度，易得函數(shù)關系式.由勾股定理求得：AAH2+DH2.設DF與AE相交于點Q，通過解RtADCQ和DQ_1RtAAHC推知CQ=-故設DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以再次利用勾股定理推知DC的長度，結合圖形求得線段BD的長度，易得答案.(3)如果四邊形ADCF是梯形，則需要分類討論：當AFIIDC、當ADIIFC.根據(jù)相似

35、三角形的判定與性質，結合圖形解答.【詳解】zB=45,AB二込，.BH=AH=AB-cosB=1.BD為x，DH=|x-1.在RtAADH中，ZAHD=90。，AD=、AH2+DH2=2-2x+x2.聯(lián)結DF,點D、F之間的距離y即為DF的長度.點F在圓A上，且AFAD，AD二AF，ZADF=45。.AD1在RtAADF中，ZDAF=90。，DF=-4x+2x2.cosZADFy=p44x+2x2.(0 x-3foA【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】【分析】作輔助線，連接OD,由DF為OO的切線，可得OD丄DF,又BF丄DF,ACIIBF,所以ODIIAC,ZODB=ZC,由OB=OD得/ABD=ZODB，從而可證/ABC=ZC；連接OG,OD,AD,由BFIIOD,GD=60，可求證BG=GD=AD=60，由平行線的性質及三角形的內角和定理可求