中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)聚焦棗莊專題五函數(shù)壓軸題試題

1、專題五函數(shù)壓軸題類型一 動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題匕類問題一般是通過分析動(dòng)點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動(dòng)情況，確定出有關(guān)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情 口況.分析此類問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中引起了哪個(gè)量的變化，然后求出在運(yùn)動(dòng)過程 中對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化.硒 （2016 濟(jì)南）如圖，在四邊形 ABCD, AB/ CD / B= 90 , AB= AD- 5, BC= 4, M N, E分別是 AB, AQ CB上的點(diǎn)，AM= CE= 1, AhN= 3.點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線 MB- BE向點(diǎn) E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)，以相同的速度沿折線 ND

2、 DC- CE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)后，另一 個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè) APQ的面積為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s,則S與t之間的函數(shù)關(guān)系白大致圖象為（）【分析】由點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)，沿折線 ND- DC- CE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，確定出點(diǎn) Q分別在ND DQ CE運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的t的取值范圍，再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式確定對(duì) 應(yīng)的函數(shù)圖象.（2017 白銀）如圖1,在邊長(zhǎng)為4 cm的正方形ABCM,點(diǎn)P以每秒2 cm的速度從點(diǎn) A出發(fā)，沿AABC 的路徑運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn) C停止.過點(diǎn) P作PQ/ Bq PQ與邊AD（或邊CD）交于點(diǎn)Q PQ的長(zhǎng)度y（cm）與點(diǎn)P的運(yùn) 動(dòng)時(shí)間x（s

3、）的函數(shù)圖象如圖2所示.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2.5 s時(shí)，PQ的長(zhǎng)是（ ）圖1圖2A. 2也 cmB. 3g cmC. 4也 cmD. 5鎰 cm（2017 葫蘆島）如圖，菱形ABCD勺邊長(zhǎng)為2, /A= 60 ,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)C出發(fā)，沿射線 BC向右運(yùn)動(dòng)，且速度相同，過點(diǎn)Q作rQHLBR垂足為H,連接PH.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為x（0 x2） , BPH的面積為S,則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（）類型二二次函數(shù)綜合題二次函數(shù)的綜合題是中考數(shù)學(xué)的必考問題，一般作為壓軸題出現(xiàn)，常與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等相結(jié)合，難度較大，是考生失分的重災(zāi)區(qū).1 .二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題例2 （ 2017 濱州）如

4、圖，直線y=kx+b（k, b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（-4, 0）, B（0 , 3）, 拋物線y = -x2+2x+1與y軸交于點(diǎn)C.（1）求直線y = kx+b的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P（x, y）是拋物線y=- x2+2x+1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P到直線AB的距離為d,求d關(guān)于x的函 數(shù)表達(dá)式，并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若點(diǎn)E在拋物線y=- x2+2x+1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn) F在直線AB上移動(dòng)，求C曰EF的最小值.【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線表達(dá)式 ；（2）過P作PHLAB于點(diǎn)H過H作HQLx軸，過P作PQLy 3軸，兩垂線交于點(diǎn) Q則可證明 PH。ABA（O設(shè) H

5、（m, 401+ 3）,利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時(shí)的 P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,由對(duì)稱的T生質(zhì)確定出 C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用（2）中所求函數(shù)表達(dá)式求得 d的值，即可求得CE + EF的最小值.解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或 拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行 計(jì)算.（2017 荷澤）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+ 1交y軸于點(diǎn)A交x軸正半軸于點(diǎn)B（4, 50）,與過A點(diǎn)的直線相交

6、于另一點(diǎn) D（3, 2）,過點(diǎn)D作DCLx軸，垂足為 C.（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P在線段OC（不與點(diǎn)O, C重合），過P作PNLx軸，交直線 AD于M交拋物線于點(diǎn) N,連接CM求 PCM面積的最大值；(3)若P是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè) OP的長(zhǎng)為t,是否存在t,使以點(diǎn)M, C, D, N為頂點(diǎn)的四邊形是平 行四邊形？若存在，求出 t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2.二次函數(shù)存在點(diǎn)問題例W ( 2017-蘇州)如圖，二次函數(shù) y = x2+ bx+c的圖象與x軸交于A, B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C, OB= OC.點(diǎn)D在函數(shù)圖象上，CD/x軸，且CD= 2,直線l是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物

7、線的頂點(diǎn).(1)求b, c的值；(2)如圖，連接 BE,線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)如圖，動(dòng)點(diǎn) P在線段OB上，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與 BC交于點(diǎn)M與拋物線交于點(diǎn) N.試問： 拋物線上是否存在點(diǎn) Q使彳PQN與4APM的面積相等，且線段 NQ的長(zhǎng)度最??？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.【分析】(1)由條件可求得拋物線對(duì)稱軸，則可求得 b的值；由OB= OC可用c表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入 拋物線表達(dá)式可求得 c的值；(2)可設(shè)F(0, m),則可表示出F的坐標(biāo)，由B, E的坐標(biāo)可求得直線 BE的 表達(dá)式，把F坐標(biāo)代入直線 BE表達(dá)式可得

8、到關(guān)于 m的方程，可求得 F點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(n, 0),可表示出PA PB, PN的長(zhǎng)，作QFRL PN垂足為R,則可求得QR的長(zhǎng)，用n可表示出 Q R, N的坐標(biāo)， 在RtQRN中，由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時(shí)n的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo).司表息姑*,解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn) 的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出 等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在.(2016-日照

9、)如圖1,拋物線y = - 3(x 2) 2+n與x軸交于點(diǎn) A(m- 2, 0)和B(2m+ 3, 0)(點(diǎn)A在點(diǎn) 5B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.求m, n的值；(2)如圖2,點(diǎn)M, P分別為線段BC和線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，連接 PM PG是否存在這樣的點(diǎn) P,使4PCM為 等腰三角形、 PMB為直角三角形同時(shí)成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.3.二次函數(shù)相似問題例.下(2017棗莊)如圖，拋物線y= 2x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B坐標(biāo)為(6, 0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0, 6),點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn) D作x軸的垂線，垂足為 E,連接BD.(

10、1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn) D的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/ FBA= /BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MM x軸與拋物線交于點(diǎn) N點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MNK;對(duì)角線作正方形 MPNQ請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).備用圖【分析】(1)由B, C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式，再求其頂點(diǎn)D即可；(2)過F作FGx軸于點(diǎn)G,可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用 FB6 ABDtE由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；(3),由M N兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可知點(diǎn)P為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn) Q在對(duì)稱軸上，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出M的坐標(biāo)

11、，代入拋物線表達(dá)式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo).二次函數(shù)相似問題常與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)相結(jié)合，利用動(dòng)點(diǎn)或存在點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與相似三角形有關(guān)的線 段長(zhǎng)，要注意邊的對(duì)應(yīng)有多種可能，對(duì)每一種情況都要具體分析討論，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比 例列出方程，通過解方程求得結(jié)果，還要考慮求出的結(jié)果是否符合題意及實(shí)際情況.(2016 濟(jì)南)如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a W0)與x軸交于點(diǎn) A(4 , 0),與y軸交于點(diǎn)B.在x 軸上有一動(dòng)點(diǎn) E(m, 0)(0m4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn) 巳過點(diǎn)P作PML AB 于點(diǎn)M.(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；C 6(2)設(shè)4P

12、MN的周長(zhǎng)為C, 4AEN的周長(zhǎng)為 Q,若方=.求m的值；C2 5如圖2在(2)的條件下，將線段。透點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 OE ,旋轉(zhuǎn)角為“(0 “90 ),連接E A,E B,求E A+手：B的最小值.參考答案【聚焦棗莊】【例1】D 如圖，過點(diǎn) D作DFLAB于點(diǎn)F,過點(diǎn)Q作QGLAB于點(diǎn)G當(dāng)0t2時(shí)，點(diǎn)Q在線段ND上.AB/ CD /B= 90 ,，四邊形 BCD亂矩形,DF= BC= 4, .AF= AE2- DF=3,DG= BF= 2,.AQ= AN+ NQ= 3+t, AP AM+ MF 1+t.QG AQ而一ABQG/ DF, .AQ氏AADF TOC o 1-5 h z 口uQG

13、 3+t4即寸二-，QG= 5(3 +t).S= 1AP- QG= 1X(1+t) X4(3+t) =|t2 + 8t+6,且當(dāng) t=2 時(shí)，點(diǎn) Q 恰好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D, S= 6; 225555當(dāng)2vtW4時(shí)，點(diǎn)Q在線段DC上， 11.S= 2AP- BC= 2*(1 +t) X4= 2t +2;當(dāng)45X(12 2t) =5t + 30,且當(dāng)t=5時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E后停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí) S= 5.綜上所述,1t2+/+6, 0t2, 5552t +2, 2t4,5t + 30, 4t5,.S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為D.變式訓(xùn)練1. B 2.A【例 2】(1) .4= kx+b 經(jīng)過 A( 4

14、, 0), B(0, 3),-4k + b=0, b= 3,解得b = 3,3直線的函數(shù)表達(dá)式為y=4x+3.(2)如圖，過點(diǎn)P作PHLAB于點(diǎn)H,過點(diǎn)H作x軸的平行線 MN分別過點(diǎn) A P作MN勺垂線段，垂足分別 為 M, N.“3設(shè) H(m, 4m+ 3)w3，則 M(4, T 3),N(x, -m+ 3), P(x , x2+2x+1). 4,. PHL AR / PHNF /AHMk 90 . AML MN Z MAH- / AH M= 90 , ./ MAH= / PHN./AMH= /PNH= 90 , .AM柞 HNP. MA/y 軸，.MAWAOBA.OBA NHPNH PN

15、PHT= Z= 5, TOC o 1-5 h z (了 m+ 3) ( x2+2x+1).x m4d, ， ，1, 3 r45整理得 d = -x2 x+55當(dāng)*=，時(shí)，d最小，即P(1,曹). 8864如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線x= 1的對(duì)稱點(diǎn)C,過點(diǎn)C彳CFLAB于F,交拋物線的對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)E,此時(shí)CE+ CF的值最小.根據(jù)對(duì)稱性，易知點(diǎn) C (2, 1).點(diǎn)C在拋物線上，.由(2)得 C F=4X 222 + 8 = 1，555即CE+ EF的最小值為y.變式訓(xùn)練52,3.解：把點(diǎn) B(4, 0),點(diǎn) D(3, 2)代入 y=ax + bx+1 中,316a + 4b+1 = 0,a= 一

16、一，4得5 解得9a+3b+1 _2，b=一b 4 ，拋物線的表達(dá)式為 y = - 4x2 + -4-x+ 1.(2)設(shè)直線 AD的表達(dá)式為 y=kx+b, 5. A(0, 1), D(3, 2),b=1,L 1k=5解得 23k+b=5，b=1,1直線AD的表達(dá)式為y=2x+ 1.設(shè) P(t , 0),則 M(t, 2t +1), PP2 1t + 1. CDLx 軸，PC= 3-t ,1 PCM -PC-21PMk 濟(jì)3 -t)(12t + 1)-1t2 一【+ 4t+2=一在 一2)2十25.PCM面積的最大值是2516.OP= t, .點(diǎn)M N的橫坐標(biāo)為t,“13 2 11設(shè) M(t,

17、 2t + 1), N(t,不 +t + 1), MNk 3 2114t +7+1 1 2t5 cd)= 2.以點(diǎn)M, C, D, N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，MNk CD 即/+* =|，整理得一3t2+9t -10=0. _ 2A= 9 4X3X10= 39,.方程無實(shí)數(shù)根，不存在t,使以點(diǎn)M, C, D, N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.【例 3】(1) .CD/ x 軸，CD= 2,，拋物線對(duì)稱軸為直線l: x=1,b 2= 1, b= 2. OB- OC C(0, c) , .B 點(diǎn)的坐標(biāo)為(一c, 0),0= c2+2c+q 解得 c= 3或c= 0(舍去), c= - 3.(2)

18、設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0 , m).對(duì)稱軸為直線l：x=1,，點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2, m).直線 BE經(jīng)過點(diǎn) B(3, 0), E(1 , 4),直線BE的表達(dá)式為y=2x6.點(diǎn)F在BE上,.m= 2X2 6=2,即點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(0 , 2).(3)存在點(diǎn)Q滿足題意.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(n , 0),則 PA= n + 1, pb= PM= 3-n, PNh - n2+2n+ 3.如圖，作QFRLPN,垂足為R,S APQNJ= SaAPM， 2(n +1)(3 -n) =1( -n2+2n + 3) - QR.QFR= 1.點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(n - 1, n2-

19、4n) , R點(diǎn)的坐標(biāo)為(n , n2- 4n), N點(diǎn)的坐標(biāo)為(n , n - 2n - 3).在 RtQRN中，NQ= 1 + (2n -3)2 TOC o 1-5 h z 3 . .，n=2時(shí)，NQ取最小值1.此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）.點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+11, n24）.同理，nQ= 1 + （2n 1）2,，一，n=2時(shí)，NQ取最小值1.此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（,，）.115315綜上所述，滿足題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2,彳）或（2,彳）.變式訓(xùn)練4.解：（1）二拋物線的對(duì)稱軸是x = 2,，nn- 2+2m+ 3=4,解得 nn= 1. .A（ 1, 0）, B（5

20、, 0）.把A（ 1, 0）代入拋物線表達(dá)式，_3-得一 Z（9 + n） = 0,解得 n= - 9.5 . nn= 1, n= 9.(2)假設(shè)點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn) P(x, 0)(0 x 05), 當(dāng)點(diǎn)P為APMB的直角頂點(diǎn)時(shí)，CM= MP.MP。“名器CM器Xo.3J34-9x0=-5 TOC o 1-5 h z .MP= 3(5x), CM= *4 55334.則(5 x0)=七一x0,解得 55，P(*, 0), 5當(dāng)點(diǎn)M為4PMB的直角頂點(diǎn)時(shí)，則 CM= MP.PM BM PB COT OF BC .PM=3而5x。)5 BM=Xo),.CM=弧9+5xo標(biāo)(5X0)=而.39 + 5x

21、 o3則=(5x0)=斛得 xo = -.34,3443，p(4, 0).綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（對(duì)34二9, 0）或（3, 0）.54【例4】（1）將點(diǎn)B（6,0)一1 2C(0, 6)代入 y = 2x + bx + c,18 + 6b + c = 0, c= 6,解得b=2,c= 6,，拋物線的表達(dá)式為 y = - 2X2 + 2x + 6.- y=- 2x2 + r2x + 6=-1(x-2)2+8,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2 , 8).(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，過點(diǎn) F作FGLx軸于G 連接BF. 設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, -2x2+ 2x + 6),/FB- /BDE /FG樂

22、/BED= 90 , FG BE.FBKB DE,bg= de點(diǎn) B(6, 0)，點(diǎn) D(2, 8),點(diǎn) E(2 , 0), BE= 4, DE= 8, OB= 6,-1x2+ 2x+6 TOC o 1-5 h z _24-6x = 8，解得 Xi= - 1, x2= 6(舍去)，.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(一1, 2).當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)， 9同理可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(一3,余.一 ，7 ,9綜上可知，滿足條件的點(diǎn)F有兩個(gè)：Fi(-1, 2)或F2(-3, ,)(3)設(shè)對(duì)角線MN PQ交于點(diǎn)O ,如圖.點(diǎn)M, N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPN成正方形，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與 x軸的交點(diǎn)，點(diǎn) Q在拋物線對(duì)稱軸上.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2 , 2n),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2 -n, n).點(diǎn)M在