微積分課件8.7二重積分

1、1求柱體的體積采用的方法: 分割 近似求和取極限求柱體的體積采用的方法: 分割 近似求和取極限求柱體的體積采用的方法: 分割 近似求和取極限求柱體的體積采用的方法: 分割 近似求和取極限求柱體的體積采用的方法: 分割 近似求和取極限8.7 二重積分一、二重積分的概念與性質(zhì) 柱體的體積柱體體積=底面積高柱體柱體的體積=？z f (x, y)D2積分和式面積元素積分變量被積函數(shù)被積表達(dá)式二重積分號(hào)積分區(qū)域關(guān)于面積元素的說明y在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域D.D則面積元素 d dxdy,ox故二重積分可寫為: f ( x, y)d f ( x, y)dxdy.DD例1 利用二重積分的定

2、義,計(jì)算二重積分 kd ,D其中D是xoy平面上的有界閉區(qū)域 , 且面積為 A.nn解: kd lim f (i ,i ) i lim k iD 0 i 1 0 i 1n k lim i 0 i 1D( , ) k lim Ai i 0 kA. i相關(guān)術(shù)語：n f ( x, y)d lim f (i ,i ) i D 0 i 12、二重積分的定義設(shè)z f ( x, y)在閉區(qū)域D上有界,將D任意分成n個(gè)小區(qū)域 1, 2 ,L, n ,其中 i也表示第i個(gè)子小區(qū)域的面積 , di為其直徑，記 maxdi , 在 i上任取一點(diǎn)(i ,1 i n若無論對(duì)D如何劃分,點(diǎn)(i ,i )如何選取,n極限

3、lim f (i ,i ) i均存在且為同一個(gè)數(shù) , 0 i 1則稱此極限為f ( x, y)在D上的二重積分, 記作 f ( x, y)d .D柱體計(jì)算柱體體積的步驟：nzz f ( x, y)分割: V Vi .i 1近似:Vi f (i ,i ) i .oy求和:xD(i ,i )V V f ( , ) .innii iii 1i 1n(4) 取極限: V lim f (i ,i ) i . V f ( x, y)d . 0 i 1D求柱體的體積采用的方法: 分割 近似求和取極限3性質(zhì)9 (對(duì)稱性)yDD1(1) 若 D關(guān)于y 軸對(duì)稱，則ox0，f (x, y) f (x, y) f (

4、x, y)d D 2 f (x, y)d, f (x, y) f (x, y)D1其中 D1 ( x, y) ( x, y) D, x 0性質(zhì)8(二重積分中值定理)若f ( x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 表示閉區(qū)域D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)( , ),使得: f ( x, y)d f ( , ) .D2 2例2 設(shè)D : x2 y2 r 2, 求 lim ex y cos( x y)dxdyr 0 D解: 原式 lim e 2 2 cos( ) r 2 e0 cos(0) 0r 0 0性質(zhì)6 若 為D的面積， 則 1 d d .DD性質(zhì)7設(shè)M和m分別是f ( x, y)在閉區(qū)域D上的最

5、大、最小值,表示閉區(qū)域D的面積, 則有:m f ( x, y)d M .D性質(zhì) 對(duì)積分區(qū)域具有可加性 ( D D1 D2 ) f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .DD1D2性質(zhì)4 若在D上 f ( x, y) g( x, y),則有 f ( x, y)d g( x, y)d .DD性質(zhì)5 f ( x, y)d f ( x, y) d .DD3、二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分有類似的性質(zhì):性質(zhì) 當(dāng)k為常數(shù)時(shí)， kf ( x, y)d k f ( x, y)d .DD性質(zhì) f ( x, y) g( x, y)dD f ( x, y)d g( x, y)d .DD二重

6、積分的存在性若被積函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)或分片連續(xù)，則二重積分必存在.二重積分的幾何意義:(1)被積函數(shù)大于零時(shí),二重積分表示柱體的體積. (2)被積函數(shù)小于零時(shí),二重積分表示 柱體體積的負(fù)值4yY 型區(qū)域dD : c y dx=h1(y)yx=h2(y)h1( y) x h2 ( y)Dcox特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).同理 f (x, y)dxdy d dy h2 ( y) f ( x, y)dxch ( y)D1二重積分的計(jì)算公式： f (x, y)dxdy bdx2 ( x) f ( x, y)dya ( x)D1上式右端稱為先對(duì) y 積分后對(duì) x 積分的

7、累次積分.注：若去掉條件 f ( x, y) 0 ,上式仍然成立.應(yīng)用“平行截面面積為已知的求體積”的方法.y 2 ( x) ( x)A( x) 2f ( x, y)dy1( x)zz f (x, y)V b A( x )dxayA( x) b2 ( x) f ( x, y)dydxxxa ( x)ab 1 ( x)Dy 1( x)記作 bdx 2f ( x, y)dya1( x)柱體的體積的計(jì)算方法：設(shè)f ( x, y) 0 ,V f (x, y)dxdyD以D 為底，以z f ( x, y) 為頂?shù)闹w的體積zz f (x, y)yDy 2( x)axbxy 1( x)二、 二重積分的計(jì)算

8、1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 f ( x, y)dD如果積分區(qū)域?yàn)? a x b, 1( x) y 2( x).yX 型區(qū)域y=2(x)特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且D平行于y軸的直線與y=1(x)區(qū)域邊界相交不多于oaxb x兩個(gè)交點(diǎn).(2) 若 D關(guān)于x 軸對(duì)稱，則0，f (x, y) f (x, y) f (x, y)d 2 f (x, y)d, f (x, y) f (x, y)D D1其中 D1 ( x, y ) ( x , y ) D, y 0DyD1ox5例2 計(jì)算 ( x 2 y )dxdy , 其中D是由拋物線 y x 2和Dx y 2所圍成的平面閉區(qū)域 .解 D : 0 x 1, x2

9、 y x(1, 1)x y2原式 1 dx x ( x2 y)dyy x20 x2 1 21 2 x 10) 2 y 2 dxx 12 ) 1 ( x x4) dx 33 .02140例1 求 xyd ，D其中 D由y x , x a , y 0所圍成 .解 D : 0 x a ,0 y xy xxa xyd adx xydy00D a xdxx ydy a1 x2 xdx000 20ax 1 a4 .8(3)積分換序公式：D ( x, y) | a x b, 1( x) y 2 ( x) ( x, y) | c y d , h1( y) x h2 ( y) f (x, y)dxdy bdx2

10、 ( x) f ( x, y)dya ( x)D1 d dy h2 ( y) f ( x, y)dxch1( y)若進(jìn)一步有 f ( x, y) g( x) h( y), 則 f ( x, y)dxdy g( x)h( y)dxdyDD b ddxg( x )h( y)dyac bd g( x ) h( y)dydxac bg( x )dxd h( y)dyac(2) 設(shè) D ( x, y) a x b, c y d , 則 f ( x, y)dxdyyD bdx d f ( x, y)dyac d dy b f ( x, y )dxcadco axb三點(diǎn)說明：(1) D既不是X型區(qū)域，也不是

11、Y型區(qū)域需要將積分區(qū)域D分割成幾部分，每部分分別為X-型區(qū)域或Y-型區(qū)域.例如將D分割為D1，D2，D3和D4，則D D1 D2 D3 D462、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 f ( x, y)dDD： , 2( ),1( ) 2( ), 1( )DOAD : 0 y a, y2221 x a a y2aD2 : 0 y a,a a2 y2 x 2aD : a y 2a ,y23 x 2a2aady a a2 y2 f ( x, y)dx原式= 0 y22aady2a f ( x, y)dx 2a dy2a f ( x, y)dx.0a a2 y2ay22aY 型區(qū)域D : 0 y a, y2221

12、 x a a y2aD2 : 0 y a,y 2axa a2 y2 x 2aD3 : a y 2a ,y2 x 2a2ay 2ax x22 aD3aD1D20a2 a例5改變積分次序2a dx 2ax 2 f ( x, y)dy (a 0)02ax xy 2ax解X 型區(qū)域D : 0 x 2a,2ax x2 y 2axy 2ax x22 aD3aD1D20a2 a例4改變積分1dx 1 x f ( x, y)dy的次序.00解 積分區(qū)域?yàn)椋?X 型0 x 1, 0 y 1 x,1y 1 xY 型0 y 1, 0 x 1 y,1x11 y原式0 dy 0 f ( x, y)dx2例3 x2e y

13、 dxdy, D : (0,0),(1,1),(0,1)為頂點(diǎn)的三角形.D解 D : 0 y 1, 0 x yx y1原式 1 dy yx2e y2 dx0032 1e y2 y dy 1e y2 y dy201x0306 1et t dt 1 (1 2).066e7(3) 極點(diǎn)O在D的y ( )0 2,0 ( ).ox f ( cos , sin ) dd D2 ( )0 d 0f ( cos , sin ) d .極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積 A = d d .D(2) 極點(diǎn)O在D的邊界上y ( ) ,D0 ( ).ox f ( cos , sin ) dd D ( )df ( cos , sin

14、 ) d .0化為二次積分的方法(1) 極點(diǎn)O在D的外部y 2( ) ,D1( ) 2( ).o 1( )x f ( cos , sin ) dd D2( ) d ( ) f ( cos , sin ) d .1極坐標(biāo)系下二重積分的變換公式若令 x cos , y sin f ( x, y)d f ( cos , sin )dd .DD 1 ( )2 1 2 1 (2 ) 222 1 ( )2 2d d d DoA面積元素的求解用一組射線( 常數(shù))和一組同心圓( 常數(shù))將區(qū)域D任意分成很多小區(qū)域 , oA8例5| x2 y2 4 | d , 其中D : x2 y2 16D解：yD1原式 | 2

15、 4 | ddDo 24 x (4 2 ) dd ( 2 4) ddD1D2D2 2 d 2(4 3 )d 2 d 4( 3 4 )d 80 .0002sin( x2 y2 )例4 計(jì)算dxdy, D : 1 x2 y2 4.Dx2 y2解D : 0 2 , 1 2y原式 sin( ) d dDo1 2 sin( ) d dD 2 d 2 sin( ) d 4012 2例3計(jì)算 e x y dxdy,其中D : x2 y2 R2 , R 0,Dx 0, y 0.解 e x2 y2 dxdy e 2 d dyDD R 2o2 de dR x00 1 2 R R22 2 e 4 (1 e).0說明

16、當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A或圓的一部分時(shí),被積函數(shù)是f ( x2 y2 ), f x f y . ， y x 優(yōu)先考慮利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分.例2 利用極坐標(biāo),計(jì)算二重積分 ( x2 y2 )5dxdy,D其中D ( x, y) | x2 y2 R2.解 ( x2 y2 )5dxdy 10 d d 11 d dDDD 2 d R 11 dy00 1 R12 2 R12.oRx126例1 求心形線 a(1 cos )所圍成的區(qū)域的面積 S.解S d dD 2 d a(1 cos )a d002a 2 1 a2(1 cos )2 d02 3 a2. 29 (1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1

17、e2R2 ) 404當(dāng)R 時(shí), I , I ,1424故當(dāng)R 時(shí), I , 即 ( e x2 dx)2 404 e x2 dx 02e x 2 dx 2 2222I e x y dxdy R e x dx R e y dy ( R e x dx)2000SI x 2 y2 R 2 R21edxdy 2 ded (1 e)004D1I x 2 y 22R 22 R22 edxdy 2 d ed 4 (1 e)00D2Q I1 I I2 , (1 e R2 ) (R e x2 dx)2 (1 e 2R2 ); 404例2 證明廣義積分 e x 2 dx存在，并求其值.0解 D1 ( x, y) | x 2 y2 R2 , x 0, y 0D2 ( x, y) | x 2 y 2 2R2 , x 0, y 0S ( x, y) | 0 x R,0 y R顯然有 D1 S D22 22 2 ex y dxdy e x y dxdyD1S e x 2 y 2 dxdy.R 2RD2D2SD1即 f ( x, y)d lim f ( x, y)d ，DD D D例1 計(jì)算 e( x y)dxdy , 其中D ( x,