矢量旋轉(zhuǎn)變換

1、向量的旋轉(zhuǎn)變換1基礎(chǔ)的2-D繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)在2-D的迪卡爾坐標(biāo)系中，一個(gè)位置向量的旋轉(zhuǎn)公式可以由三角函數(shù)的幾何意義推出。比如上圖所示是位置向量R逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度B前后的情況。在左圖中，我們有關(guān)系：x0=|R|*cosAy0=|R|*sinA2=cosA=x0/|R| sinA=y0/|R|下圖中，x1=|R|*cos（A+B） y1=|R|*sin（A+B）其中（x1，y1）就是（x0，y0）旋轉(zhuǎn)角B后得到的點(diǎn)，也就是位置向量R最后指向的點(diǎn)。 3x1=|R|*cos（A+B） y1=|R|*sin（A+B）我們展開cos（A+B）和sin（A+B），得到x1=|R|*（cosAcosB-sinAsi

2、nB）y1=|R|*（sinAcosB+cosAsinB）現(xiàn)在把 cosA = x0/|R| sinA = y0/|R|代入上面的式子，得到x1 = |R|*（x0*cosB/|R|-y0*sinB/|R|）y1 = |R|*（y0*cosB/|R|+x0*sinB/|R|）= x1 = x0 * cosB - y0 * sinB y1 = x0 * sinB + y0 * cosB現(xiàn)在我要把這個(gè)旋轉(zhuǎn)公式寫成矩陣的形式即：2-D旋轉(zhuǎn)變換矩陣：4平面旋轉(zhuǎn)矩陣56平移部分平移不是線性的，不能表示為與22矩陣相乘的形式。例如要從點(diǎn)(2, 1)開始，將其旋轉(zhuǎn) 90度，在x方向?qū)⑵淦揭?個(gè)單位，在y方向

3、將其平移4個(gè)單位?？赏ㄟ^先使用矩陣乘法再使用矩陣加法來完成此操作。7iP1B110 xyPiBi8補(bǔ)充部分9平移部分平移不是線性的，不能表示為與22矩陣相乘的形式。例如要從點(diǎn)(2, 1)開始，將其旋轉(zhuǎn) 90度，在x方向?qū)⑵淦揭?個(gè)單位，在y方向?qū)⑵淦揭?個(gè)單位?？赏ㄟ^先使用矩陣乘法再使用矩陣加法來完成此操作。10后面跟一平移（與 12 矩陣相加）的線性變換（與 22 矩陣相乘）稱為仿射變換。放射變換（先乘后加）可以通過乘以一個(gè)3*3的矩陣來實(shí)現(xiàn)，若要使其起作用，平面上的點(diǎn)必須存儲(chǔ)于具有虛擬第三坐標(biāo)的 13 矩陣中。通常的方法是使所有的第三坐標(biāo)等于 1。例如，矩陣 2 1 1 代表點(diǎn) (2, 1

4、)。例如與單個(gè) 33 矩陣相乘的仿射變換（旋轉(zhuǎn) 90 度；在 x 方向上平移 3 個(gè)單位，在 y 方向上平移 4 個(gè)單位）：11在前面的示例中，點(diǎn)(2,1)映射到了點(diǎn)(2, 6)。其中33 矩陣的第三列包含數(shù)字0，0，1。對于仿射變換的33 矩陣都是這樣的。重要的數(shù)字是列 1 和列 2 中的 6 個(gè)數(shù)字。矩陣左上角的 22 部分表示變換的線性部分，第 3 行中的前兩項(xiàng)表示平移。12在使用3*3的矩陣做仿射變換時(shí)候，表示點(diǎn)的矩陣變成了一個(gè)1*3矩陣，這個(gè)矩陣中的最后一個(gè)值必須設(shè)置成1。對于3*3矩陣，其最后一列的值是多少是沒有關(guān)系的，因?yàn)樗麄儾粫?huì)影響結(jié)果中的前兩列。不過如上，經(jīng)常將他們設(shè)置為0，

5、0，1。這一列對于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的結(jié)果并沒有任何影響，但是他們是必須的，因?yàn)榫仃囅喑吮仨殱M足 “相乘的兩個(gè)矩陣第一個(gè)矩陣的列數(shù)必須與第二個(gè)矩陣的行數(shù)相同”。13平面或空間里的每個(gè)線性變換（這里就是旋轉(zhuǎn)變換）都對應(yīng)一個(gè)矩陣，叫做變換矩陣。對一個(gè)點(diǎn)實(shí)施線性變換就是通過乘上該線性變換的矩陣完成的。 把頂點(diǎn)和矩陣相乘，就會(huì)發(fā)現(xiàn)矩陣的某些項(xiàng)，扮演著為頂點(diǎn)變換（平移、旋轉(zhuǎn)、縮放）提供參數(shù)的作用。（前人總結(jié)出來，填哪些那些項(xiàng)能得到平移矩陣/縮放矩陣/旋轉(zhuǎn)矩陣）比如平移矩陣，你自己拿一個(gè)頂點(diǎn)和它相乘，算一遍，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它化簡到最后一步時(shí)的算式，和頂點(diǎn)平移算式是一樣的。旋轉(zhuǎn)、縮放也是如此。14那么為什么還要和矩陣相乘？直接用平移算式、旋轉(zhuǎn)算式、縮放算式不就行了？不行 因?yàn)榭烤仃噥碛?jì)算可以減少計(jì)算量。一個(gè)頂點(diǎn)要進(jìn)行多次變換，比如平移后旋轉(zhuǎn)再平移之后再縮放，用簡單算式得算4遍，矩陣只要算一遍。原理就是公式：（頂點(diǎn)矩陣A）矩陣B = 頂點(diǎn)（矩陣A矩陣B），即矩陣接合律的推廣。（矩陣一般不遵守分配律，所以頂點(diǎn)變換有先后順序，一個(gè)頂點(diǎn)平移再旋轉(zhuǎn)，和旋轉(zhuǎn)再平移，得到的位置不同）即：很容易地進(jìn)行組合變換以及逆變換。 機(jī)器人中可能很多關(guān)節(jié)都進(jìn)行同一套