因式分解的應(yīng)用與探究(含答案)

1、因式分解的應(yīng)用與探究【溫馨提示】分解因式一章中，我們主要學(xué)習(xí)了分解因式的概念、會(huì)用兩種方法分解因式，即 提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公式不超過兩次)進(jìn)行因式分解(指數(shù) 是正整數(shù))。具體要求有：1、經(jīng)歷探索分解因式方法的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的整體(整式乘法與因式分解) 聯(lián)系。2、了解因式分解的意義，會(huì)用提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公 式不超過兩次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù))。3、通過乘法公式：(a+b) (ab) = a2b2, (a b) 2= a2 2ab+b2的逆向變形，進(jìn) 一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理思考及語言表達(dá)能力。在中考中，除

2、了考查對(duì)一個(gè)整式進(jìn)行分解因式等常規(guī)題型外，因式分解作為一種重要 的解題方法和工具，經(jīng)常出現(xiàn)于各種題型中，以下幾種就值得引起注意。范例精講 TOC o 1-5 h z 212例11構(gòu)造求值型】【山西04已知x+ y=1,那么x2 xy y2的值為: HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 2分析：通過已知條件，不能分別求出x、y的值，所以要考慮把所求式進(jìn)行變形，構(gòu)造出 x+ y 的整體形式，即 x2 xy y2 = (x2+ 2xy+ y2) = (x+ y) 2=.在此過 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document

3、 22222 1、 ，一，一一，,，一一程中，我們先提取公因式 1,再用完全平方公式對(duì)原式進(jìn)行因式分解，產(chǎn)生x+ y的整體2形式，最后將x+ y= 1代入求出最終結(jié)果.例21構(gòu)造求值型】已知 x2+2x+y2+6y+10= 0,求xy的值.答：xy=3例31構(gòu)造求值型】已知： a= 10000, b=9999,求a2+b22ab6a + 6b+ 9的值。解：a2+b2-2ab-6a+6b+ 9= ( ab) 22X (ab) x 3+32= (ab3) 2= 4例41構(gòu)造求值型】【廣西桂林04】計(jì)算：2 22 23218 219 220 :分析：為了便于觀察，我們將原式“倒過來”，即原式=22

4、021921823 222= 219(2 1)2182322 2_ 2192傷2322=218(2 1)2322=2182322=22+2=4 + 2=6此題的解題過程中，巧妙地用到了提公因式法進(jìn)行分解因式，使結(jié)構(gòu)特點(diǎn)明朗化，規(guī) 律凸現(xiàn)出來。此題解法很多，比如，我們還可以采用整體思想，把原式看作一個(gè)整體，利用方程與提公因式法分解因式相結(jié)合的方法解答此題。218 HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 設(shè) M= 2 2223 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document -M= 2 22 23218M 2(1 2

5、22218 219)21 ( M 4-2 219 220) 2M例5【探索規(guī)律型】觀察下列各式:219220,則21922021 (2 22218 219)6 ,即 M 2M - 6 ,解得 M = 6.12 + ( 1X 2 ) 2 + 22 = 9 = 32 , 22+ (2 X 3 ) 2 + 32 = 49 = 72 , 32+ (3 X 4 ) 2 + 42= 169= 132,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)用含有n (n為正整數(shù))的等式表示出來，并說明其中的道理。例6【探索規(guī)律型】閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1 + x+X (1+X)+x (1 + X)2= (1+X)1+x

6、+X (1 + X)=(1 + X)2 ( 1 + X)=(1 + X)3上述分解因式的方法是 ,共應(yīng)用了 次；若分解 1+x + x(1 + x)+x(1 + x) 2+x(1 + x) 2004,則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是;分解因式：1+x+ x(1 + x) + x(1+x) 2+x (1 + x) n (n 為正整數(shù)).例71開放創(chuàng)新型】【四川03】多項(xiàng)式9x2 + 1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為一個(gè)整 式的完全平方，那么加上的單項(xiàng)式可以是(填上一個(gè)你認(rèn)為正確的即可)； 分析：根據(jù)完全平方公式 a22ab+b2= (a土 b) 2的特點(diǎn)，若9x2+ 1表示了 a2+b2 的話，則有a=

7、3x, b=1,所以，缺少的一項(xiàng)為 2ab=2,3x 1 = 6x,此時(shí)，9x2 + 1 6x= ( 3x 1) 2;如果認(rèn)為 9x2+ 1 表示了 2ab+b2 的話，則有 a = 4. 5x2, b=1,所以， 缺少的一項(xiàng)為 a2= ( 4.5x) 2= 20.25x4,此時(shí)，20. 25x4+ 9x2+ 1 = ( 4. 5x2+ 1) 2.從另外一個(gè)角度考慮，“一個(gè)整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的 多項(xiàng)式，也可以是單項(xiàng)式.注意到9x2= (3x) 2, 1 =仔，所以，保留二項(xiàng)式 9x2+1中的任 何一項(xiàng)，都是“一個(gè)整式的完全平方”，故所加單項(xiàng)式還可以是 1或者9x

8、2,此時(shí)有9x2+ 11 = 9x2= ( 3x) 2,或者 9x2+ 1 9x2= 12.綜上分析，可知所加上的單項(xiàng)式可以是土6x、20.25x4、 1或者9x2.例81開放創(chuàng)新型】【福建南平03】請(qǐng)你寫出一個(gè)三項(xiàng)式，使它能先提公因式，再運(yùn) 用公式來分解.分析：利用整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式,寫出一個(gè)等式，在它的兩邊都乘一個(gè)因式，比如：2m (m+n) 2 = 2m (m2+2mn+n2) = 2m3+4m2n+2mn2;3a (2x 5y) 2 = 3a (4x220 xy+25y2) = 12ax2 60axy + 75ay2,等等.于是編寫的三項(xiàng)式

9、可以是2m3+4m2n +2mn2,分解因式的結(jié)果是 2m (m + n) 2;或者編寫的三項(xiàng)式可以是12ax2 60axy+75ay2,分解因式的結(jié)果是 3a ( 2x 5y) 2,等等.例91數(shù)形結(jié)合型】【陜西02,橋西0203如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為 b 的小正方形(ab),把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形，通過計(jì)算兩個(gè)圖形(陰影部分)的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是(22222(A) a b (a b)(a b) (B) (a b) a 2ab b(C) (a b)2 a2 2ab b2(D) (a 2b)(a b)例101數(shù)形結(jié)合型】【福建福州05】如圖，在邊長為a的正

10、方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形(ab),把剩下的部分拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的 面積，驗(yàn)證了公式 a2b2= ( a+ b) (a b) ;例111數(shù)形結(jié)合型】【濟(jì)南02】請(qǐng)你觀察右下方圖形， 依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個(gè) 你非常熟悉的公式，這個(gè)公式是(x+ y) (xy)=個(gè)一y2或 x2 y2= (x+y) (xy) 或(x y) 2=x22xy+y2 .a2 ab 2b2y表中所列四種方案能拼成邊長為( a + b)的正方形的是(A )X方案7量(張),(A)112(B)111(C)121(D)211分析：此題的本意就是判斷哪些卡片的面積之和是(

11、a+b) 2例121數(shù)形結(jié)合型】【山西03】有若干張如圖所示的正 方形和長方形卡片，則因?yàn)閍2+2ab+b2= (a+b) 2,對(duì)照如圖所示的正方形和長方形卡片，可知三種卡片的面積分別為a2、b2和ab,它們分別需要1張、1張、2張，由此可選出正確答案為(A)例131數(shù)形結(jié)合型】【山西太原03如圖是用四張全等的矩形紙片 拼成的圖形，請(qǐng)利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個(gè)關(guān)于a、b 的恒等式(a+b) 24ab= ( ab) 2babb為4ab,中間的空白部分的面積為（a- b） 2.于是，可以列出等式（a+ b)2 4ab= (a b） 2.對(duì)于它的正確性，可以用因式分解的方法證明:(

12、a+b) 2 4ab = a2 + 2ab+ b2 4ab = a2 2ab + b2 = ( ab) 2.例141數(shù)形結(jié)合型】給你若干個(gè)長方形和正方形的卡片，如圖所示，請(qǐng)你運(yùn)用拼圖的方法， 下載相應(yīng)的種類和數(shù)量的卡片，拼成一個(gè)矩形，使它的面積等于a2 + 5ab + 4b2,并根據(jù)你拼成的圖形分解多項(xiàng)式a2 +5ab+ 4b2.解：由a2+5ab+4b2知，可用1張大正方形，5張長方形，4張小正方形,拼成的矩形如下圖所示，根據(jù)圖形的面積可得a2 + 5ab+4b2= (a+b) ( a+ 4b)分析：外框圍成的大正方形面積為（a+b） 2, 4個(gè)矩形的面積之和優(yōu)化訓(xùn)練選擇題:101100 一

13、.計(jì)算(2)( 2)結(jié)果為()(A) 2100(B) -2(C) 0(D) -21002 TOC o 1-5 h z .已知4x x m是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則 m的值為()(A) 4(B) 4(C) (D) 1616.已知4x2 1 mx是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則 m的值為()(A) 4(B) 4(C) 16(D) 44.設(shè) m= 2002+2001X 2002+2001X 20022+ . + 2001 X 20022000, n= 20022001,則正確的關(guān)系是()(A) m=nx 2001(B) m = n (C) m=n+2002(D) m=n+2002二、 填空題：已知x、

14、y為正整數(shù)，且 x2=y2+37,則x=;方程x2y2= 29的整數(shù)解為 ;有若干個(gè)大小相同的小球一個(gè)挨一個(gè)擺放，剛好擺成一個(gè)等邊三角形(如圖1)；將這些小球換一種擺法，仍一個(gè)挨一個(gè)擺放，又剛好擺成一個(gè)正方形(如圖2),則這種小球最少有 個(gè)；三、解答題：圖1圖220023 2 20022 2000計(jì)算： 32；20023 20022 20039 求 x2 4xy 5y2 2y 2004 的最小值.觀察：1 X 2X 3X 4+ 1 = 52, 2X 3X 4X5+ 1 = 112, 3X 4X 5X 6+ 1 = 192,請(qǐng)寫出一個(gè)具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；根據(jù)，計(jì)算 2000X 2001

15、X 2002X2003+ 1的結(jié)果（用一個(gè)最簡式子表示）.一個(gè)自然數(shù)a恰等于另一個(gè)自然數(shù) b的平方，則稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)，如64=82,64就是一個(gè)完全平方數(shù).若a=20022+20022X 20032+20032,求證：a是一個(gè)完全平方數(shù)，并寫出 a 的平方根12公園長椅上坐著兩位白發(fā)蒼蒼的老人，旁邊站著兩個(gè)年輕人，他們?cè)诮徽?，老人說：“我們倆的年齡的平方差是195”不等老人說完，青年人就說：“真巧，我們倆年齡的平方差也是195?！边@時(shí)一對(duì)中年夫婦也湊過來說： “真是巧極了，我們倆年齡的平方差也是 195?！?現(xiàn)在請(qǐng)你想一想， 這三對(duì)人的年齡各是多少？其實(shí)符合年齡平方差為 195 的應(yīng)有

16、4 對(duì)，如果你有余興，不妨把第 4 對(duì)人的年齡也找出來。a1 = 12 + 12X 22+ 22= 32= ( 1 X 2+ 1) 2答案2）,則這種小球最少有 36 個(gè);選擇題:.101100 一.【橋西0102】計(jì)算(2)( 2)結(jié)果為(D )(A) 2100(B) 2(C) 0(D) 21002.已知4x x m是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則 m的值為(C )(A) 4(B) 4(C) (D) 1616.已知4x2 1 mx是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則 m的值為(D )(A) 4(B) 4(C) 16( D) 4.【重慶 02 競賽】設(shè) m=2002+2001 X2002+ 2001X 2

17、0022 + + 2001 X 20022000, n = 20022001,則正確的關(guān)系是（ B ）(A) m=nx 2001(B) m=n (C) m=n + 2002( D) m=n+2002二、 填空題：5.【橋西0203已知x、y為正整數(shù)，且x2= y2+37,則x= 19 TOC o 1-5 h z x 15x 156.方程x2- y2= 29的整數(shù)解為_；y 14y 147.有若干個(gè)大小相同的小球一個(gè)挨一個(gè)擺放，剛好擺成一個(gè)等邊三角形（如圖1）;將這 些小球換一種擺法，仍一個(gè)挨一個(gè)擺放，又剛好擺成一個(gè)正方形（如圖三、解答題： TOC o 1-5 h z 32、20022 2002

18、2000. 計(jì)算： 32；2002200220033222002 2 2002 200020022000 2000解：原式= =20022002200320022003 2003一 一 一2一_ 2000(20022 1)2000T _ _ 2T 2003(20021)2003. 求 x24xy+5y22y+2004 的最小值.解：原式=(x- 2y) 2+ (y 1) 2+2003,當(dāng)x=2, y=1時(shí)，原式取得最小值 2003.【黃岡02競賽，橋東0304】觀察：1X 2X 3X4+ 1 = 52, 2X 3X 4X 5+ 1 = 112, 3X4X 5X 6+1= 192,請(qǐng)寫出一個(gè)具有

19、普遍性的結(jié)論，并給出證明；根據(jù)，計(jì)算 2000X 2001X 2002X2003+ 1的結(jié)果(用一個(gè)最簡式子表示).解：結(jié)論：n (n+1) (n+2) (n+3) +1= (n2+3n+1) 2,證明：n (n+1) (n+2) (n+3) + 1=(n2+3n) (n2+3n+2) +1=(n2+3n) 2 + 2 (n2+3n) +1=(n2+ 3n+ 1) 2;2000X 2001 X 2002X 2003+ 1= ( 20002+3X 2000+ 1) 2=40060012;.一個(gè)自然數(shù)a恰等于另一個(gè)自然數(shù) b的平方，則稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)，如64=82, 64就是一個(gè)完全平方數(shù).

20、若a = 20 022 + 20 022 X 20 0 3 2 + 20 032,求證：a是一個(gè)完全平方數(shù)，并寫出a的平方根.解：先從較小的數(shù)字探索：a2 = 22 + 22X 32+ 32= 72= ( 2X 3+ 1) 2,a3 = 32 + 32X 42+42= 132= ( 3X 4+ 1 ) 2,a4 = 42 + 42 X 52+ 52= 212= (4X5+1) 2,于是猜想：a = 20022 + 20022X 20032+ 20032= ( 2002X 2003+1) 2= ( 4010007) 2,證明采用配方法(略) 推廣到一般，若 n 是正整數(shù)，則a= n2+ n2 (

21、 n+ 1) 2+ ( n+ 1) 2 是一個(gè)完全平方數(shù)n (n+ 1) + 1 2.解題策略 ： 猜想是數(shù)學(xué)中重要的思想和方法之一。 較大的數(shù)字問題可仿較小數(shù)字問題來處理， 實(shí)現(xiàn)了以簡馭繁的策略。 在解題時(shí)， 如果你不能解決所提出的問題， 可先解決 “一個(gè)與此有關(guān)的問題” 。你能不能想出一個(gè)更容易著手的問題？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？你能否解決這個(gè)問題的一部分？這就是數(shù)學(xué)家解題時(shí)的“絕招” 。12公園長椅上坐著兩位白發(fā)蒼蒼的老人，旁邊站著兩個(gè)年輕人，他們?cè)诮徽?，老人說：“我們倆的年齡的平方差是195”不等老人說完，青年人就說：“真巧，我們倆年齡的平方差也是195?！边@時(shí)一對(duì)中年夫婦

22、也湊過來說： “真是巧極了，我們倆年齡的平方差也是 195。 ”現(xiàn)在請(qǐng)你想一想，這三對(duì)人的年齡各是多少？其實(shí)符合年齡平方差為 195的應(yīng)有 4 對(duì)，如果你有余興，不妨把第 4 對(duì)人的年齡也找出來。解：由 x2-y2= 195= 3X5X13,可得x+y=195x+y = 65x+y=39x+y=15xy=1，x y = 3，xy=5，xy=13，A” 曰x= 98x= 34x= 22x= 14解得,y = 97, y=31, y=17, y=19) an 2 18an 81an 210 ) (x y 2z)2 (x 2y 3z)29) an 2 18an 81an 210 ) (x y 2z)2 (x 2y 3z)2初一因式分解競賽(2006-11-21)班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)2 4n2322 31) x y 12) 5x y 15x y 20 x y22八x y 5xy 242_2x 6xy 16y5) 2x4 17x2 96)7)4x2_ 2_ 3_28) 8x y 2x 8xy,22、22 211) (x y ) 4x y12_ 2 2_2_ 22_ 412 ) -(x22y2)22(x22y )y2y43214 ) x x x x2. 2222, 213) (a b c ) 4ab、2 , , 215) x4 xy 4 4 y3216 ) x 3x 3x 917) x4 3x