2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題匯編

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)試題匯編概率部分1（全國1）甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束，假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立。已知前2局中，甲、乙各勝1局。（1）求甲獲得這次比賽勝利的概率；（2）設(shè) 表示從第3局開始到比賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望。解：（1）記表示事件：第局甲獲勝，；表示事件：第局甲獲勝，表示事件：甲獲勝，因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲獲勝2局，從而，由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故（2）的取值可以為2，3，由于各局比賽結(jié)

2、果相互獨(dú)立，故所以隨機(jī)變量的分布列為 2 3 P 0.52 0.48 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2（全國2/20）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核。（I）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)； （II）求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 0 1 2 3 P 所以的數(shù)學(xué)期望3（山東11）在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù),的值介于0到之間的概率為 （A） (B) (C) (D) 【解析】:在區(qū)間-1，1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,即時(shí),

3、要使的值介于0到之間,需使或或，區(qū)間長度為，由幾何概型知的值介于0到之間的概率為.故選A.答案:A【命題立意】:本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題,由自變量x的取值范圍,得到函數(shù)值的范圍,再由長度型幾何概型求得.4（山東19）在某學(xué)校組織的一次藍(lán)球定點(diǎn)投藍(lán)訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投三次。某同學(xué)在A處的命中率為0.25，在B處的命中率為.該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 求的值；求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期量； 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分

4、與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。解:（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=0.25, P(B)= q,.根據(jù)分布列知: =0時(shí)=0.03,所以，q=0.8.（2）當(dāng)=2時(shí), P1= =0.75 q( )2=1.5 q( )=0.24當(dāng)=3時(shí), P2 =0.01,當(dāng)=4時(shí), P3=0.48,當(dāng)=5時(shí), P4=0.24所以隨機(jī)變量的分布列為 0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（3）該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為;該同學(xué)選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+

5、0.24=0.72.由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.【命題立意】:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望,以及運(yùn)用概率知識解決問題的能力.5（北京17）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min。（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率； （）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望?！窘馕觥勘绢}主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率知識、考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力.（）設(shè)這名學(xué)

6、生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，因?yàn)槭录嗀等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為.（）由題意，可得可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）. 事件“”等價(jià)于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈”（0，1，2，3，4）， 即的分布列是02468的期望是.6（湖北3）投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)（m+ni）(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為A、 B、C、 D、【答案】C【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)所以故則可以取1、26，共6種可能，所以7（湖北16）一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2，3，4，5；另一個(gè)盒子

7、也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6?，F(xiàn)從一個(gè)盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再從另一盒子里任取一張卡片，其上面的數(shù)記為y，記隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析：依題意，可分別取、6、11取，則有的分布列為567891011 8（福建16）從集合的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)。（1）記性質(zhì)r：集合中的所有元素之和為10，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)r的概率；（2）記所取出的非空子集的元素個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E解：本小題主要考查排列組合、概率與統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識，考察數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力。，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分13分。解：（1）記：“

8、所取出的非空子集滿足性質(zhì)r”為事件A，基本事件總數(shù)事件A包含的基本事件是1，4，5，2，3，5，1，2，3，4；事件A包含的基本事件數(shù)，（2）依題意，的所有可能取值為1，2，3，4，5又，12345。故的分布列為從而9（江蘇5）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為 .解析 考查等可能事件的概率知識。從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的可能的事件總數(shù)為10，它們的長度恰好相差0.3m的事件數(shù)為2，分別是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率為0.2。10（浙江19）在1，2，3，9，這9個(gè)

9、自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù).（）求這3個(gè)數(shù)中，恰有一個(gè)是偶數(shù)的概率； （）記為這三個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，（例如：若取出的數(shù)1、2、3，則有兩組相鄰的數(shù)1、2和2、3，此時(shí)的值是2）。求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望E.解析：（I）記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，則；（II）隨機(jī)變量的取值為的分布列為012P所以的數(shù)學(xué)期望為11（安徽17）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)，B肯定是受A感染的。對于C,因?yàn)殡y以判定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2.同樣也假設(shè)D受A、B和C感染的概率都是1/3.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感

10、染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量。寫出X的分布列（不要求寫出計(jì)算過程），并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）。解：本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算，考查取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實(shí)生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值。本小題滿分12分。隨機(jī)變量X的分布列是X123PX的均值為附：X的分布列的一種求法共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：ABCDABCDABCDABDCACDB在情形和之下，A直接感染了一個(gè)人；在情形、之下，A直接感染了兩個(gè)人；在情形之下，A直接感染了三個(gè)人。12（重慶6）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)

11、，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為（ ）A B C D答案：C 13（遼寧19）某人向一目射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為。該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6。擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比。（）設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列；（）若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求P（A） 解：（）依題意X的分列為（）設(shè)A1表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2.依題意知P

12、（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，,所求的概率為 14（陜西19）0123p0.10.32aa 某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示，椐統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量的概率分布如下：（1）求a的值和的數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率解析:（1）由概率分布可知：0.1+0.3+2a_a=1,解得a=0.2的概率分布為：0123p0.10.30.40.2（2）設(shè)事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”，事件A1表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次，另一個(gè)月被投訴0次”，事件A2表示“兩個(gè)月內(nèi)每個(gè)月被投訴1次”， 則有

13、時(shí)間的獨(dú)立性可知故，該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率是0.0715（天津18）在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：（I） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （II） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。本小題主要考查古典概型及計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、互斥事件等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。（）解：由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)= ,k=0

14、,1,2,3.所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123PX的數(shù)學(xué)期望EX=（）解：設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1“恰好取出2件一等品“為事件A2，”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= +=16（四川18）為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國內(nèi)發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡稱金卡），向省內(nèi)人士

15、發(fā)行的是熊貓銀卡（簡稱銀卡）。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。（ = 1 * ROMAN I）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；（ = 2 * ROMAN II）在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算，考察運(yùn)用概率只是解決實(shí)際問題的能力。 解：（）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3

16、人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”， 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”， 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。 所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是。（）的可能取值為0，1，2，3 , ， 所以的分布列為0123 所以， 17（海南18）某工廠有工人1000名， 其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）。（I）求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A

17、類工人，乙為B類工人； （II）從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽插結(jié)果分別如下表1和表2.（i）先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更??？（不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論） （ii）分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）解：（）類工人中和類工人中分別抽查25名和75名。 4分（）()由，得， ，得。 頻率分布直方圖如下 從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更小。 （ii） ， ， A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.1.18(江西，10)為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了種不同的精美卡片，每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，集齊種卡片