em2015-chapter75位函數(shù)方程的求解

1、1時(shí)域電磁位函數(shù)滿足如下方程22 AA t2 Jc2 2 vt2 A 0t上述方程為非波動(dòng)方程。先求解時(shí)域標(biāo)量位波動(dòng)方程，然后，根據(jù)類比的方法得到時(shí)域矢量位的表達(dá)式。求解時(shí)域標(biāo)量位波動(dòng)方程時(shí)，先求解標(biāo)量位波動(dòng)方程，然后，根據(jù)靜態(tài)場的結(jié)果，采用類比的方法得到標(biāo)量波動(dòng)方程的解。時(shí)域電磁位函數(shù)方程的求解本科生課程“電磁場理論”講義EELC2021Electromagnetic Field Theory電磁場理論主講人：西安交通大學(xué)電子與信息第7章 時(shí)變電磁場（5）7-5 位函數(shù)方程的求解22 (r ) 1 2 (r ) r2v2t200r如果令 t rv則有2 2 d 2 1 d 22 2 d 2

2、d 2r2r2 d 2v2 d 2t2t2 d 2d 2因此，如下形式的函數(shù)滿足上述波動(dòng)方程f ( ) f (t r )v由此上述波動(dòng)方程的通解為r f (t r ) f (t r )1v2v先求解時(shí)變點(diǎn)電荷的標(biāo)量位，再利用線性疊加原理導(dǎo)出分布的時(shí)變體電荷的標(biāo)量位。 ( r , t)當(dāng)時(shí)變點(diǎn)電荷位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，其場分布與和 無關(guān)。那么，在除坐標(biāo)原點(diǎn)以外整個(gè)無源空間，標(biāo)量位函數(shù) 滿足的方程式為1 2 1 2r2 r (r r ) v2 t2 00 r v 12 21 22 (r ) 2r r r2 v2 t2 0r2r ( r r ) 2 rr r22 (r ) 1 2 (r ) r2v2t20

3、3位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷產(chǎn)生的標(biāo)量位為 (t r )d ( r , t) v dV ( r , t)v4 r位于體積 V 中的體電荷在 r 處產(chǎn)生的標(biāo)量位為 ( r , t R ) ( r , t) 1 vv dV R r r 4 V RR r r 下面采用類比的方法，根據(jù)時(shí)域標(biāo)量位的結(jié)果推導(dǎo)出時(shí)域矢量位的表達(dá)式。r f (t r ) f (t r )1v2v上式中的第二項(xiàng)不符合實(shí)際的物理?xiàng)l件，應(yīng)該舍去。因此，求得位于原點(diǎn)的時(shí)變點(diǎn)電荷產(chǎn)生的標(biāo)量位為f (t r )1 ( r , t) v r已知位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q vdV 產(chǎn)生的電位為 ( r ) v ( r )dV4 r由此函數(shù) f1 的具體形

4、式為 (t r )f (t r ) vv dV1v44時(shí)域電磁位函數(shù)與場源的關(guān)系為R Jc ( r , t )A( r , t) v dV 4 V R ( r , t R ) ( r , t) 1 vv dV 4 V R上式表明，場點(diǎn)在 t 時(shí)刻的電磁位是由 t R/v 時(shí)刻的場源產(chǎn)生的，或者，場源產(chǎn)生的電磁場需要經(jīng)過時(shí)間差 =R/v 才能到場點(diǎn)，v 即為電磁波的速度。電磁波從場源到場點(diǎn)所需時(shí)間稱為推遲時(shí)間，或者，滯后時(shí)間，定義為 R v由于場點(diǎn)電磁位隨時(shí)間的變化總是于場源隨時(shí)間的變化，因此，電磁位通常又稱為推遲位，或者，滯后位。在直角坐標(biāo)系中，矢量位函數(shù)方程分解為如下三個(gè)標(biāo)量方程2 2 A

5、Axx Jcxt22 A2 A y Jyt2cy2 2 A Azz Jczt2與標(biāo)量位函數(shù)滿足的方程進(jìn)行對(duì)比，即到矢量位三個(gè)分量的表達(dá)式，再把三個(gè)分量表達(dá)式，矢量位如下R Jc ( r , t )A( r , t) v dV 4 V R5對(duì)于面分布和線分布的時(shí)變場源，電磁位函數(shù)的表達(dá)式如下RR Js ( r , t ) 1 s ( r , t )A( r , t) v dS ( r , t) v dS 4 S R4 S R I ( r , t R ) ( r , t R )A( r , t) v d l ( r , t) 1 v dl l4 C R4 C R注意，上述公式僅可用于均勻、線性、各

6、向同性的介質(zhì)。根據(jù)電磁波速度的表達(dá)式v 1可知，電磁波的速度與介質(zhì)的特性有關(guān)。對(duì)于空間，則有v 1 c 3 108m s0 0空間中的光速回過頭來，再波動(dòng)方程的另一個(gè)解f2 (t R v)上式意味著，場點(diǎn)電磁位隨時(shí)間的變化提前于場源隨時(shí)間的變化，也就說，先有結(jié)果，后有原因，違背了先有源后有場的因果關(guān)系，因此，應(yīng)該舍棄。上式可改寫成如下形式f2 (t R v) f2 t ( R v)這樣，上式又可理解為向負(fù) r 方向的波，也就是來自無限遠(yuǎn)處的反射波。對(duì)于點(diǎn)電荷所在的無限大空間，這種反射波不可能存在。后面將會(huì)看到，對(duì)于無源空間電磁波的，在介質(zhì)不連續(xù)處會(huì)出現(xiàn)反射波。若某一時(shí)刻場源已，只要前一時(shí)刻場源

7、還存在，它們?cè)瓉懋a(chǎn)生的空間電磁場仍然存在，這就表明場源已將電磁能量到空間，這種現(xiàn)象稱為電磁輻射。電荷或恒定電流一旦，它們產(chǎn)生的場也隨之失去，因而靜態(tài)場稱為場，沒有輻射作用。6令Rtr t v ( r , t) 1 v ( r , tr ) dV 4 V RA( r , t) Jc ( r , tr ) dV 4 V RE AtB A電磁位函數(shù)與場源之間的關(guān)系場源滿足電流連續(xù)性方程（電荷守恒原理） J v 0ct電磁位滿足位函數(shù)連續(xù)性方程（規(guī)范） A 0t二者之間的關(guān)系 ( r , t R )2 ( r , t) 1 vv dV 2 v 4Rt2V R2 2 A Jc ( r , t )At2J

8、cA( r , t) v dV 4 V R柯方程7 ( r, t) 1 1 v ( r , tr ) 1 ( r , t ) 1 RdV 4vtRvr R2V A( r , t) 1 Jc ( r , tr ) dV t4 V RtE At上式稱為庫侖定律的時(shí)變推廣。v 1E( r , t) 1 ( r , t ) R v ( r , tr ) R Jc ( r , tr ) 1 dV 4vr R2tvRtv2RV ( r , t) 1 v ( r , tr ) dV t t R4RrR r r V v ( r , t) 1 1 ( r , t ) ( r , t )( 1 )dV 4Rvrv

9、rRV ( r , t ) v t 1 v Rvrtrv tR ( x x )2 ( y y )2 (z z )2 x y z xyz通過簡單運(yùn)算，例題1-4-5R R( 1 ) R 1RR28B( r , t) 1 J ( r , t ) J ( r , t ) ( 1 )dV 4RcrcrRV J ( r , t ) 1 Jc Rcrvt( 1 ) R 1RR2上式稱為-薩伐定律的時(shí)變推廣。v 1B( r , t) J ( r , t ) 1 1 Jc ( r , tr ) RdV 4cr R2vRtV A( r , t) Jc ( r , tr ) dV t t RR r r 4RrvV

10、 B( r , t) A( r , t) 1 J ( r , t ) J ( r , t ) ( 1 )dV 4RcrcrRV J ( r , t ) Jcz Jcy cr xyzJcz Jcz tr 1 Jcz Ryt yv t y J ( r , t ) 1 Jcz R Jcy R 1 Jc (R)cr xvt yt zvtx J ( r , t ) 1 Jc (R) 1 Jc RR Rcrvtvt9對(duì)時(shí)變電磁場因果關(guān)系的理解1981（1E），1989（2E）取自格利菲斯（Griffiths ）的教科書法拉第電磁感應(yīng)定律 E( r , t) B( r , t)t符合因果關(guān)系的表述不符合因果

11、關(guān)系的表述1999（3E），2013（4E）由于磁場分布在整個(gè)空間，其時(shí)間變化率并不是一個(gè)獨(dú)立的場源，而是電磁信 息的攜帶者。一個(gè)變化的磁場產(chǎn)生出一個(gè)電場。A changing magnetic field produan electric field.一個(gè)變化的磁場感應(yīng)出一個(gè)電場。A changing magnetic field induan electric field.柯方程（ Jefimenko Equation ）E( r, t) 1 ( r , t ) R v ( r , tr ) R Jc ( r , tr ) 1 dV 4vr R2tvRtv2RV B( r , t) J (

12、 r , t ) 1 1 Jc ( r , tr ) RdV 4cr R2vRtV 柯方程可看成是方程組的解，方程左邊為 t 時(shí)刻的電場強(qiáng)度和磁通密度，方程右邊為 t R/v 時(shí)刻的場源及其時(shí)間變化率的積分，反映了由場源產(chǎn)生電磁場的因果關(guān)系。對(duì)方程組的傳統(tǒng)解釋是，時(shí)變電場與時(shí)變磁場相互產(chǎn)生，但是，并沒有指明電場與磁場之間的因果關(guān)系。柯方程表明，實(shí)際情況并不是這樣，時(shí)變電磁場是一個(gè)對(duì)偶實(shí)體，是由含時(shí)電荷分布和含時(shí)電流分布共同同時(shí)產(chǎn)生的電場和磁場。柯方程中，場源只有實(shí)際的電荷密度和電流密度，并沒有位移電流。10頻域電磁位函數(shù)滿足如下方程2 A 2 A Jc2 2 v A j 0Jc ( r , t

13、) ReJc ( r )ejtv ( r , t) Rev ( r )e ( r , t) Re( r )e jt jt直接利用時(shí)域電磁位函數(shù)的表達(dá)式，僅需進(jìn)行簡單處理，即到頻域電磁位函數(shù)的表達(dá)式。頻域電磁位函數(shù)方程的求解位移電流 H ( r , t) J ( r , t) D( r , t)ct符合因果關(guān)系的表述不符合因果關(guān)系的表述v ( r , tr ), Jc ( r , tr ) ( r , t), A( r , t)E( r , t), H ( r , t)場源位函數(shù)（時(shí)間滯后）場量（時(shí)間滯后）由于電場分布在整個(gè)空間，其時(shí)間變化率并不是一個(gè)獨(dú)立的場源，而是電磁信 息的攜帶者。一個(gè)變化

14、的電場產(chǎn)生出一個(gè)磁場。A changing electric field produa magnetic field.一個(gè)變化的電場感應(yīng)出一個(gè)磁場。A changing electric field indua magnetic field.11頻域電磁位函數(shù)的表達(dá)式為J ( r )e jR vA ( r ) c dV 4 V R1 ( r )e jR v( r ) v dV 4 V R對(duì)于正弦電磁場，與滯后時(shí)間對(duì)應(yīng)的滯后相位為 R v令k v電磁波的常數(shù)，波數(shù)，或者，的大小則滯后相位可寫成R kR k r r vRR Jc ( r , t ) 1 v ( r , t )A( r , t) v

15、 dV ( r , t) v dV 4 V R4 V RJc ( r , t R v) ReJc ( r )eejR v jtv ( r , t R v) Rev ( r )eejR v jtJ ( r )e jR vjtA( r , t) Re c dV e 4 V RjR v ( r , t) Re 1 v ( r )edV e jt 4 V R12頻域電場強(qiáng)度和頻域磁通密度的計(jì)算E j A B AJ ( r )e jkRA ( r ) c dV 4 V R1 ( r )e jkR) v dV 4 V RjkR 1 ( r )( e)dV 4vRV jkR jkR jkR e d ( e)

16、R (1 jkR)eRRdRRR2對(duì)于面分布和線分布的時(shí)變場源，頻域電磁位函數(shù)的表達(dá)式如下J ( r )e jkRA ( r ) s dS 4 S R1 ( r )e jkR( r ) s dS 4 S RI( r )e jkRA( r ) dl 4 C R1 ( r )e jkR( r ) l dl 4 C R13J e jkRB A ( c)dV 4 V R J e jkR e jkR e jkR c()Jc ( J c )RRR J e jkR e jkR (1 jkR)e jkR c()Jc (Jc R)RRR2jkR jkR e (1 jkR)eRRR2B( r , t) J ( r

17、 , t ) 1 1 Jc ( r , tr ) RdV 4cr R2vRtj jkvV (1 jkR)e jkRB (Jc R)2)dV 4 V RjkR jkR e (1 jkR)eRRR2考慮到R RjkR 1 ( r ) (1 jkR)eR dV 4vR2V E( r, t) 1 ( r , t ) R v ( r , tr ) R Jc ( r , tr ) 1 dV 4vr R2tvRtv2RV j jkv Jc ( r )e1(1 jkR)ejkR jkRE jdV v ( r )2RdV 4 V R4 V R14正弦電磁場的近場近似條件為波長與頻率之間滿足如下關(guān)系kR 2 R

18、1 f vk v 2 f v 2 上式表明，對(duì)于近場近似，場點(diǎn)到場源的距離遠(yuǎn)小于電磁波的波長。根據(jù)ex 1x 1e jkR 1kR 1A ( r ) Jc ( r ) dV ( r ) 1 v ( r ) dV 4R4 V RV E j Jc ( r ) dV 1 v ( r ) RdV 4R4R2V V B Jc ( r ) R dV 與準(zhǔn)靜態(tài)電磁場的結(jié)果一致。4R2V J ( r )e jkRA ( r ) c dV 4 V R1 ( r )e jkR) v dV 4 V RE j Jc ( r )e1 (1 jkR)ejkR jkR4RdV 4v ( r )R2RdV V V (1 jkR)e jkRB Jc ( r ) R2)dV 4 V R近場近似意味著，滯后時(shí)間或者滯后相位可忽略不計(jì)。頻域電磁位函數(shù)的近場近似1560 Hz, 100 kHz, 1 GHz60 Hz, 100 kHz100 kHz, 1 GHz1 GHz f c 3 108m s3 108m f Hz思考題7-5-1 設(shè) 空間中導(dǎo)線環(huán)的半徑為 30 cm ，其中載有隨時(shí)間正弦變化的時(shí) 變電流，電流大小沿圓環(huán)的變化很顯著。下列各種頻率中，有可能屬于該電流的頻率是在時(shí)變?cè)吹母浇瑴髸r(shí)間很小，電場和磁場隨時(shí)間的變化基本上與場源同步，