人教A版選擇性必修第三冊 第七章 第1課時 超幾何分布 學(xué)案

1、7.4.2超幾何分布第1課時超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解超幾何分布的概念及特征.2.會用超幾何分布解決一些簡單的實(shí)際問題導(dǎo)語為促進(jìn)各學(xué)校的共同發(fā)展，學(xué)校之間派部分老師相互交流已知一學(xué)校派出16名一級教師，4名高級教師組成一隊(duì)伍去相互交流學(xué)習(xí)，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去甲學(xué)校，設(shè)X表示其中高級教師的人數(shù)則X的可能取值有哪些，你能求出當(dāng)X2時對應(yīng)的概率嗎？這里的X的概率分布有怎樣的規(guī)律？一、超幾何分布問題已知在10件產(chǎn)品中有4件次品，分別采取有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取3件，設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，試寫出X的分布列提示若采用有放回抽樣時X服從二項(xiàng)分布，即XB(3,0.4)，其分布列為P

2、(Xk)Ceq oal(k,3)(0.4)k(10.4)3k.若采用不放回抽樣，“Xk”，k0,1,2,3表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有k件次品”，這意味著，從4件次品中取出k件，再從104件正品中取出3k件，共有Ceq oal(k,4)Ceq oal(3k,104)種取法，故X的分布列為P(Xk)eq f(Coal(k,4)Coal(3k,104),Coal(3,10)，k0,1,2,3.知識梳理超幾何分布：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(Xk)eq f(Coal(k,M)Coal(nk,NM)

3、,Coal(n,N)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布注意點(diǎn)：(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n件”(2)超幾何分布的特點(diǎn)：不放回抽樣；考察對象分兩類；實(shí)質(zhì)是古典概型例1下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為X，求X的分布列；(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只

4、，任取3只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為X，求X的分布列；(4)某班級有男生25人，女生20人選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列；(5)現(xiàn)有100臺平板電腦未經(jīng)檢測，抽取10臺送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個數(shù)記為X，求X的分布列解(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布(5)中沒有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無法計(jì)算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問題反思感悟判斷一個隨機(jī)變量是否服從超幾何分布(1)總體是否可分為兩類明確的對

5、象(2)是否為不放回抽樣(3)隨機(jī)變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù)跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是()A將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為XC某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù)答案ACD解析由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選ACD.(2)一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個球

6、，有如下幾種變量：X表示取出的最大號碼；X表示取出的最小號碼；取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分；X表示取出的黑球個數(shù)這四種變量中服從超幾何分布的是()ABCD答案B解析由超幾何分布的概念知符合，故選B.二、超幾何分布的概率例2現(xiàn)有來自甲、乙兩班學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率為eq f(1,7).(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；(2)設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為，求1的概率解(1)設(shè)甲班的學(xué)生人數(shù)為M，則eq f(Coal(2,M),Coal(2,7)eq f(MM1,42)eq f(1,7)，即M2M60，解得M3或M2(舍去)7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共

7、有3人(2)由題意可知，服從超幾何分布P(1)P(1)P(2)eq f(Coal(1,3)Coal(1,4),Coal(2,7)eq f(Coal(2,3)Coal(0,4),Coal(2,7)eq f(4,7)eq f(1,7)eq f(5,7).反思感悟超幾何分布的概率計(jì)算公式給出了求解這類問題的方法，可以直接運(yùn)用公式求解，但是不能機(jī)械地記憶公式，要在理解公式意義的前提下進(jìn)行記憶跟蹤訓(xùn)練2某校高三年級某班的數(shù)學(xué)課外活動小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)求至少有2名男生參加數(shù)學(xué)競賽的概率解依題意，得隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且N10，M6，n4，

8、P(Xm)eq f(Coal(m,6)Coal(4m,4),Coal(4,10)(m0,1,2,3,4)P(X0)eq f(Coal(0,6)Coal(4,4),Coal(4,10)eq f(1,210)，P(X1)eq f(Coal(1,6)Coal(3,4),Coal(4,10)eq f(4,35)，P(X2)eq f(Coal(2,6)Coal(2,4),Coal(4,10)eq f(3,7)，P(X3)eq f(Coal(3,6)Coal(1,4),Coal(4,10)eq f(8,21)，P(X4)eq f(Coal(4,6)Coal(0,4),Coal(4,10)eq f(1,14

9、)，方法一(直接法)P(X2)P(X2)P(X3)P(X4)eq f(3,7)eq f(8,21)eq f(1,14)eq f(37,42).方法二(間接法)由分布列的性質(zhì)，得P(X2)1P(X6)P(X7)P(X8)eq f(12,35)eq f(1,35)eq f(13,35).反思感悟求超幾何分布的分布列的步驟跟蹤訓(xùn)練3在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和

10、4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列解(1)設(shè)“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”為事件M，則P(M)eq f(Coal(4,8),Coal(5,10)eq f(5,18).(2)由題意知，X的可能取值為0,1,2,3,4，則P(X0)eq f(Coal(5,6),Coal(5,10)eq f(1,42)，P(X1)eq f(Coal(4,6)Coal(1,4),Coal(5,10)eq f(5,21)，P

11、(X2)eq f(Coal(3,6)Coal(2,4),Coal(5,10)eq f(10,21)，P(X3)eq f(Coal(2,6)Coal(3,4),Coal(5,10)eq f(5,21)，P(X4)eq f(Coal(1,6)Coal(4,4),Coal(5,10)eq f(1,42).因此X的分布列為X01234Peq f(1,42)eq f(5,21)eq f(10,21)eq f(5,21)eq f(1,42)1知識清單：(1)超幾何分布的概念及特征(2)超幾何分布的概率及分布列2方法歸納：公式法3常見誤區(qū)：判斷隨機(jī)變量是不是超幾何分布1(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布

12、的有()A在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為XB從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)C一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的個數(shù)為隨機(jī)變量XD從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數(shù)記為X答案ABD解析依據(jù)超幾何分布模型定義可知，ABD中隨機(jī)變量X服從超幾何分布而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布2盒中有4個白球，5個紅球，從中任取3個球，則恰好取出2個紅球的概率是()A.eq f(37,42)B.eq f(17,42)C.eq f(10,21)D

13、.eq f(17,21)答案C解析設(shè)取出紅球的個數(shù)為X，易知X服從超幾何分布P(X2)eq f(Coal(2,5)Coal(1,4),Coal(3,9)eq f(10,21).3從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張是A的概率為()A.eq f(Coal(3,4)Coal(2,48),Coal(5,52)B.eq f(Coal(3,48)Coal(2,4),Coal(5,52)C1eq f(Coal(1,48)Coal(4,4),Coal(5,52)D.eq f(Coal(3,4)Coal(2,48)Coal(4,4)Coal(1,48),Coal(5,52)答案D解析設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)