試題.試卷--數(shù)值分析考試題目匯編全套

1、 Ch1、引論1、數(shù)值分析及其特點(diǎn)1、數(shù)值分析及其主要內(nèi)容數(shù)值分析也稱計(jì)算方法，主要研究用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及理論，內(nèi)容主要包括：數(shù)值逼近一插值與擬合、多項(xiàng)式逼近、有理逼近等(Ch2Ch3)；數(shù)值積分與微分(Ch4)；數(shù)值代數(shù)一求解方程(組)以及特征問題的數(shù)值方法 (Ch6Ch9)；(4)常微分方程的數(shù)值解法(Ch5)。2、數(shù)值分析的特點(diǎn)首先要有可靠的理論分析，以確保算法在理論上的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；其次要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差估計(jì)，以確定其是否滿足精度；(見例3)還要考慮算法的運(yùn)行效率，即算法的計(jì)算量與存儲(chǔ)量。例如 Cooley 和 Tukey1965 年提出 FFT, N2 2N l

2、ogN，N=32K，1000 倍。例1、分析用Cramer法則解一個(gè)n階線性方程組的計(jì)算量。解：計(jì)算機(jī)的計(jì)算量主要取決于乘除法的次數(shù)。用Cramer法則解一個(gè)n階線性方程組需計(jì)算 n T個(gè)n階行列式，而用定義計(jì)算n階行列式需n! n-1次乘法，故總計(jì)共需n，1 n! n1二n V ! n1。此外，還需n次除法。當(dāng)n =20時(shí)，計(jì)算量約為n V ! n-1 = 9.7 1020次乘法。即使用每秒百億次乘法的計(jì)算機(jī)，也需計(jì)算 3000多年才能完成。可見，Cramer法則僅僅是理論上的，不是面向計(jì)算機(jī)的。2、數(shù)值分析中的誤差1、誤差的類型與來源(1)模型誤差；(2)觀測(cè)誤差；截?cái)嗾`差(方法誤差)一模

3、型的準(zhǔn)確解與數(shù)值方法準(zhǔn)確解之間的誤差；舍入誤差一實(shí)數(shù)形式的原始數(shù)據(jù)與有限字長(zhǎng)的計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)之間的誤差。 數(shù)值分析主要研究截?cái)嗾`差與舍入誤差。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 2n HYPERLINK l bookmark497 o Current Document Xxa例2、根據(jù)Taylor展式ex =1亠xRn(x)計(jì)算e_ (誤差小于0.01)。 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2!n!解:e1 (-1)丄2!34.(-1). (-1)3!4!、1 - 1 丄

4、（截?cái)嗾`差）:0.3667 （舍入誤差）。6241 202、誤差的基本概念（1）誤差與誤差限設(shè)x為某量的精確值，x為x的一個(gè)近似值，則稱 e = x-x為x的（絕對(duì)）誤差， e； = x-xj x為x*的相對(duì)誤差。用某種方法確定的誤差的某個(gè)上界；稱為x；的誤差限，顯然x-x；|蘭/，即X； - e蘭x蘭X； + z，= E；/ X；稱為x；的相對(duì)誤差限。誤差限取決于測(cè)量工具和計(jì)算方法。(2)函數(shù)值的計(jì)算誤差設(shè)A二f(XX2,，Xn)，XXn,，人為X1 , X?,，X.的近似值，則* * * * *e A A -A = f(X1,Xn, ,Xn)-f(X1,X2, ,Xn)lj=-*rTayl

5、or 展式):f(X1 JXn) XXkR1(x1,x2, Xn)(多元函數(shù)一階lj=-*J(X1 , X2, Xn)xk-Xk )記為 f ek，n(A；)八kT*1 / ；、 名（Xk ）。 少k 一3、算法的數(shù)值穩(wěn)定性與病態(tài)問題1、算法的數(shù)值穩(wěn)定性例3、計(jì)算Indx（n =0,1,2,6），并做誤差分析。5xn -5xn 廠1 _dx =-51心-10 x 5nX1 O-1 dx0 x 5=In:0.1823 F0i； =0.1823算法1:1，結(jié)果見下表。卩；一5鳥+ n又X X ,- In -, I -0.02619 =1；。x 556(n 1)5(n 1)2 6 75 7算法2:i

6、 ； =0.026191 n -In結(jié)果見下表。n算法1算法2準(zhǔn)確值00.18230.18230.182310.08850.08840.088420.05750.05800.058030.04580.04310.043140.02080.03440.034350.09580.02810.02856-0.31250.02620.02435誤差分析算法1:*(1廠，1UI *1u I| *.n . *=n - 丨 n=.-51 n1-一 5I n4 = 5 I njL - I n=5 I 0 _ I 05丿W丿En=5n Eo，即在計(jì)算過程中誤差放大了 5n倍。算法2：*II1 n - 1 11

7、n-l；1I廣_ 1 |I 0 I 055-5I；打-_5n|Eo即誤差縮小了 5n倍。定義1：若某算法受初始誤差或計(jì)算過程中產(chǎn)生的舍入誤差的影響較小，則稱之是數(shù)值穩(wěn)定 的，反之稱為不穩(wěn)定算法。2、病態(tài)問題例 4、將方程 p(x) =(x-1)(x-2) (x-20) = 0，即 x20 -210 x19200改為攝動(dòng)方程 x20(210；)x19 丁20! = 0，即 p(x) - x19 二 0 ,其中；=23 10。Wilk in son用精密方法計(jì)算出其根為：1.0000, , 6.0000, 6.9997,8.0073, 8.9173,10.0953 _0.6435i, 19.502

8、4 _1.9403i,20.8469。令 p(x, ；) =x20 -(210；)x1920!,其根為 x(), i = 1,2, 20 ,則當(dāng) 0時(shí)，人(乞)一 i。顯然dN (呂)反映了初始數(shù)據(jù)的微小攝動(dòng)對(duì)Xj(E)的影響程度即問題的條件數(shù)。dx (&)因p(Xi(,三0，故且丄d名名i19Xi2011(kd-j)二(i - j)14 14 1810-10*101104101920106 109107（壞條件問題）定義2:若初始數(shù)據(jù)的微小誤差都會(huì)對(duì)最終的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生極大的影響，則稱這種問題為病 態(tài)問題（壞條件問題），反之稱其為良態(tài)問題。例5、分別將線性方程組10787 勺2、乍7565X2

9、231=X =86 109X333175910;宀丿I1丿的右端向量和系數(shù)矩陣中數(shù)據(jù)做一個(gè)微小變化，具體數(shù)據(jù)如下:10 787勺2.1 9.2、7565X222.9-12.6=X =86109X333.14.575910 丿.30.91 一1j,z1078.17.2f 、X1勺2,z-817.085.0465X223X =13785.989.899X333-34Q.994.9999.98 丿g22丿然后用精確方法求解，發(fā)現(xiàn)其解與原方程解相比發(fā)生了很大的變化。這表明此方程組為病態(tài)方程組。4、算法的實(shí)現(xiàn)與常用的數(shù)學(xué)軟件用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析中的算法通常有兩種途徑：（1）用Fortran、C、VB、V

10、C等自編程序；（2）借助于現(xiàn)成的數(shù)學(xué)工具軟件。目前常用的數(shù)學(xué)軟件約 30余個(gè)，可分為通用與專用兩大類。專用系統(tǒng)主要是為解決數(shù)學(xué)中某個(gè)分支的特殊問題而設(shè)計(jì)的。1、SAS和SPSS （統(tǒng)計(jì)分析）；2、Lin do、Lingo和CPLEX （運(yùn)籌與優(yōu)化計(jì)算）；3、Cayley和GAP （群論研究）；4、PARI （數(shù)論研究）； 5、 Origin （科技繪圖與數(shù)據(jù)分析）;6、DELiA （微分方程分析）等。通用系統(tǒng)中又可分為數(shù)值計(jì)算型與解析計(jì)算型。數(shù)值計(jì)算型： Matlab、Xmath、Gauss、MLAB 和 Origin 等。解析計(jì)算型： Maple、Mathematica、Macsyma、Ax

11、iom 和 Reduce 等。其中Matlab、Mathematica、Maple與另一個(gè)面向大眾的普及型數(shù)學(xué)軟件Mathcad并稱數(shù)學(xué)軟件中的“四大天王”。Matlab意思為“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，是美國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)家Cleve Moler在70年代末開發(fā)出的以矩陣數(shù)值計(jì)算為主的數(shù)學(xué)軟件，如今已發(fā)展成為融科技計(jì)算、圖形可視化與程序語(yǔ)言為一體的功能強(qiáng)大的通用數(shù)學(xué)軟件。Matlab最突出的特點(diǎn)是其帶有一系列的“工具包”，可廣泛應(yīng)用于自動(dòng)控制、信號(hào)處理、數(shù)據(jù)分析、通訊系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)仿真等領(lǐng)域。高版本的Matlab也可進(jìn)行符號(hào)計(jì)算，不過它的代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)是從Maple移植過來的。Mathematica是美國(guó)物理學(xué)家

12、Stephen Wolfram開發(fā)出的第一個(gè)將符號(hào)計(jì)算、數(shù)值計(jì)算和圖形顯示很好地結(jié)合在一起 的數(shù)學(xué)軟件，在國(guó)內(nèi)較為流行，擁有廣泛的用戶。Mathcad是MathSoft公司在80年代開發(fā)的一個(gè)交互式數(shù)學(xué)文字軟件，與Matlab和Mathematica不同的是，該軟件的市場(chǎng)定位是：向廣大教師、學(xué)生、工程技術(shù)人員提供一個(gè)兼?zhèn)湮淖帧?shù)學(xué)和圖形處理能力的集成工作環(huán)境， 而并不致力于復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算與符號(hào)計(jì)算問題，具有面向大眾普及的特點(diǎn)。不過，新版Mathcad的計(jì)算能力已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了其早期的設(shè)計(jì)目標(biāo)。Maple是加拿大 Waterloo大學(xué)符號(hào)計(jì)算研究小組于80年代初開始研發(fā)，1985年才面世的計(jì)算機(jī)代數(shù)

13、軟件，起初并不為人們所注意，但Maple V release 2于1992年面世后，人們發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)功能強(qiáng)大、界面友好的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)。隨著版本的不斷更新，Maple已日益得到廣泛的承認(rèn)和歡迎，用戶越來越多，聲譽(yù)越來越高，從1995年以后，Maple 直在IEEE的數(shù)學(xué)軟件評(píng)比中居符號(hào)計(jì)算軟件的第一名。目前，Maple的最高版本為 Maple V release 11。第一章上機(jī)實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1、熟悉Maple中的定義函數(shù)、解方程、積分、循環(huán)語(yǔ)句和列表等命令;2、通過具體問題的計(jì)算，加深對(duì)數(shù)值穩(wěn)定性和病態(tài)問題的理解。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:1、設(shè) ln = xnex4dx, n= 0,1,，由 I。= 1e

14、茫0.6321, ln=1 nln_4得算法In-0.6321nx-4n-x e x ,1 1I n，取丨9、0.06839，從而e(n 1)n 1又得算法二：:0683；。分別用上述兩種算法計(jì)算I 0,I1，丨9 ,根據(jù)計(jì)算結(jié)果判定Jn=（1Tn） n其數(shù)值穩(wěn)定性，并給予證明。2、將方程 p(x) =(x -1)(x-2) (x -20) = 0,即卩 X20 -210 x20!= 0 改為攝動(dòng)方程x20 -(210 ；)x1 20! =0，對(duì)不同的；求解此方程，觀察；對(duì)解的影響程度， 判定此方程是否為病態(tài)方程。0 ： c，且測(cè)量a,b,c的誤差分別215、已知三角形面積 S二丄absi n

15、c，其中c為弧度,2AS滿足-a+Ab+Ac。，s|ac為：a ：b ：c，證明面積的誤差證：根據(jù)零階多元 Taylor公式：S =才 a ：a b ：b sin c：c -absinc中:：S111 lc bsinc -a asinc =babcos 3 lc2 2 2 3S a :b cos c r ：c c，S a b sin csi nxcos x n x-x，則 f x 二cos 二 xcos2 x u 12得 COS = X cos x n X ，因 ”.X Ux, 0 ： j ：1，從而 0 ： x : x n x ：2即 f x ，0。又 f 0 = 0，故 f x ，f 0

16、= 0，即 cos x :丄sin x x鬥+愕卜迴蘭紹羽鉗+Ch2、插值法、插值問題引例：礦井中某處的瓦斯?jié)舛?y與該處距地面的距離 x有關(guān)，現(xiàn)用儀器測(cè)得從地面到井下500米每隔50米的瓦斯?jié)舛葦?shù)據(jù)(x, yj(i =0,1,2,川,10)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)完成下列工作：(1) 尋找一個(gè)函數(shù)，要求從此函數(shù)中可近似求得從地面到井下500米之間任意一點(diǎn)處的瓦斯?jié)舛龋?2)估計(jì)井下600米處的瓦斯?jié)舛取５谝粋€(gè)問題可歸結(jié)為已知函數(shù)在x0 , x1 , xn處的值，求函數(shù)在區(qū)間X0,Xn】?jī)?nèi)其它點(diǎn)處的值”，這種問題適宜用插值方法解決。但對(duì)第二個(gè)問題不宜用插值方法，因?yàn)?00米已超出所給數(shù)據(jù)范圍，用插值函數(shù)

17、外推插值區(qū)間外的數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。解決第二個(gè)問題的常用方法是，根據(jù)地面到井下500處的數(shù)據(jù)求出瓦斯?jié)舛扰c地面到井下距離之間的函數(shù)關(guān)系f(x)，由f(x)求井下600米處的瓦斯?jié)舛取６x：設(shè)目二f (x)在a, b 1中n 1個(gè)點(diǎn)X0 : Xi Xn處的值射=f (xj為已知，現(xiàn)根 據(jù)上述數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)，使p(xj二yj，這種問題稱為插值問題。f (x), p(x),xi, p(xj二yj分別稱為被插值函數(shù)、插值函數(shù)、插值節(jié)點(diǎn)和插值條件。若p(x)為多項(xiàng)式，則此問題稱為多項(xiàng)式插值或代數(shù)插值。定理1：在插值節(jié)點(diǎn)x,xi，,Xn處，取給定值y,yi,yn，且次數(shù)不高于n的插值多項(xiàng)式

18、是存在且唯一的。證：令 p(x) =a0 yx爲(wèi)*anxn，p(x0)= a。+aix + +anp(Xi) =a。+aiXi 十.+anX；f(Xn) =a +aixn + +anX：則根據(jù)插值條件 p(xj二yj有下列等式=y=yi(關(guān)于aj的n i階線性方程組)=yn其系數(shù)行列式是范德蒙(Va ndermo nde)行列式X0XinX0nXi=Xi -Xj = 0。 n_i JnXni Xn根據(jù)克萊姆法則，此方程組存在唯一解a0,ai，an，即p(x)存在且唯一。2、Lagrange 插值1、線性插值與拋物插值線性插值XXXX記為L(zhǎng)i(x)-y0-y yi(x) yih(x)，X。_Xi

19、Xi_X其中l(wèi)0(x),li (x)稱為線性插值的基函數(shù)。拋物插值設(shè) L2(x)二 A(x -xj(x - x2) B(x x0)(x- x2) C(x - x()(x - xj，分別令x = x0,x ,x2，即得X0.50.60.7f(x)-0.693147-0.510826-0.356675x 為x 0.6x x0 x0.5l(x) =-10 x +6,h(x)二0 =10 x5， x10.5 0.6xi x00.6 0.5解:例1、已知函數(shù)In x的數(shù)據(jù)如下，分別用線性插值和二次插值求In(0.54)的近似值。y。yiy2A,B,C ,，(x0 1)()x2)(x1 x0)(x1 x2

20、 )(x2 x0)( x2 x1 )故L2(X)訃旦込2力 UX2)(x0 x1 )(x0 x2)(x1 冷)(x1 - x2)(x x )(x x )記為y2、1、= yl(x) y1h(x)yzUx)，(x2 - x0 )(x2 _ x1 )其中I。(x),li (x)2 (x)稱為拋物插值的基函數(shù)。2、Lagrange插值多項(xiàng)式定義：對(duì)n 1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0,x1，xn，令lk(x)= HgxJx-XkJgXn) , k=0,1, n， (Xk X。)(Xk Xk)(Xk XkG (Xk Xn)則顯然I k (xi) = *1 k = in0 k 知。此時(shí)，Ln(X)戀 yklk(x)滿足

21、(H ,n)稱k=0之為L(zhǎng)angrange插值多項(xiàng)式,lo(x), h(X),ln (x)稱為L(zhǎng)agrange插值的基函數(shù)。1 n/XX Xjn1 i于Xj -Xi 丿yj。Jn編程時(shí)宜用Ln(x)=vj=03、插值公式的余項(xiàng)定理2:設(shè)f(n)(x)a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則以插值多項(xiàng)式Ln(x)逼近f (x)的截?cái)嗾`差(即余項(xiàng))f (n北化)R(X)二 f(X)- -(X)二 丿n(n 1)止八)，5)。L1(xy0l0(x) y1l1(x) =1.823210 x-1.604752ln(0.54)：丄(0.54) = 0.62021860ln (0.54)0.6161861396

22、二06 七0750 x2 _65x 210.5 - 0.6 0.5 - 0.7li(x)二(x -x)(x -X2)(xi x0)(xi x2)100 x2 120X-35l2(x)= (X-X0)(X-Xi)(X2 Xo)(X2 Xi)x-0.5 x-0.60.7-0.5 0.7-0.6-50 x2-55x I50.6-0.5 0.6-0.7L2(x)二 y0l0(x) yili(x) y2l2(x)二-i.408500 x2 3.37256CX - 2.027302In(0.54)：丄2(0.54) = -0.6I6838200ln(0.54) - -0.6I6I86I396、逐次線性插值

23、法對(duì)插值節(jié)點(diǎn)xo,xi,及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y,yi,yn，用ik,k=0,i,2表示個(gè)非負(fù)整數(shù)序列，將k i個(gè)節(jié)點(diǎn)，xik所確定的不高于k次的插值多項(xiàng)式記為Po，ii； ,ik（x），則R ii (X) p i，i (x)icii ,ik_2,iki0,i1, k Pih(X)= Rc J (X)X-Xj，X10 二 P(x)Xi11 = P (x)10.7143 譏(x)X212 二 P2(x)10.6819 二10.7228 二 P0i2(x)Xik Xik例2、根據(jù)下表近似計(jì)算1 kCik-1k -1k =0k =1k =2k = 3Xyo = R (x)Xiyi 二 Pi (x)P0i(

24、x)X2y2 二 P2（x）P02 ( X)P012 (x)X3y3 =P3(x)P03 ( X)P013(X)P0123(X)即k次插值多項(xiàng)式可以用兩個(gè) k -1次插值多項(xiàng)式通過線性插值獲得一逐次線性插值。Aitken 算法：y二f （x）在x =115處的值。X3 13 二 P3 (x)10.6522 二 P03 (x)10.7221 二卩陰(x)10.7223 二 Po (x)F0i(x) =P(x).R(x)-P(x)X1 x0X -xo =1011-10121-100115-100 =10.7143同理可得 P2(x), P03 (x)。P2(x) - F01(x)10.6819-1

25、0.7143 “F012(x)二 P)1 (x)- 一 x-X1 =10.7143115-121 = 10.7228x2 捲144 121類似可得P013(x)。P013 (x) P012 (x)P3123 (X) = P12(x)亠 竺 x - X2 =10.7236,X3 X2故、115 =10.7238。4、均差與牛頓插值公式1均差(差商)及其性質(zhì)定義：f X,X1丨=f-X0稱為f (X)關(guān)于X0, X1的一階均差;X0 X1f X,X1,X2 1 =f X0, X11- f &1,X2X0 _X2稱為f (x)關(guān)于X0 , X1, X2的二階均差;類似地可定義n階均差X?八n0,X1

26、，XnfX0 _Xn定理:殳0,為,，Xn 心。，即n階均差可表i=0 (Xi X0 T (Xi Xi_j (Xi Xi41(Xi Xn )示為f(xj的線性組合，從而 n階均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)。證：當(dāng) n=1 時(shí)，右=f(x0)-心)=很0必=左X。X1 X1 -X0X0 X1不妨假設(shè)n -1成立，則0,為，Xn,X1 , Xn 4X0fL f “1,X2,Xn 12,1X0 Xnf (Xi)Xi -XXinXn f (Xi)(Xi X1 廠(Xi Xn ) 1iiXoXnf (Xo) *f (Xi) Xn)i=1 (Xi Xo 廠(Xi Xn(Xi Xi 廣(Xi Xn )f (Xn)

27、Xn - Xi XnXn)?f(Xo)Xo Xn1X。-Xnn Az偽X。廣(Xi XnJ(Xi Xnf(X ) X - Xn丫f(Xi)(XiXo)乙(人Xo % Xi廣(人Xnf(Xo)Xn - Xo .：.Xn - Xi ! I Xn Xn Jni =9f (Xi)Xi XoX XiX Xi 1 X Xn2、牛頓插值公式設(shè)插值節(jié)點(diǎn)Xo，N，Xn上的插值多項(xiàng)式為p(x) =aoai(x-Xo)a2(x - Xo)(xXi)an(x-Xo)(x - xn)。分別令X =Xo,Xi,Xn，則有P(xo) = 0) = f (xo)；p(Xi) =aai(Xi - Xo) = f (Xi)；:-

28、 ;從而 af(xo), ai(Xi)-f(Xo) = fxo,Xi 1，Xi -Xoa2 八 二 fXo,Xi,X2 an = f Xo,Xi,，Xn 1, 故 p(x)二 f Xo 1 f o,Xi !x Xo f Xo,Xi,X2 -Xo XXi 亠 亠 f Xo,Xi/ ,Xn -Xo X-Xi X-Xn4 牛頓插值公式。例 3、P34K=oK=iK=2K=3K=4K=5o.4oo.4io75o.55o.578i5i.ii6ooo.650.69675i.i86ooo.28oooo.8oo.888iii.27573o.35893o.i9733o.9oi.o2652i.384ioo.433

29、48o.2i3ooo.o3i34i.o5i.25382i.5i533o.52493o.22863o.o3i26-o oooi2fX,x3%4黑罕 “60。,x0 x1f Xo,Xi,Xf-X0 , X1LflxiQ 1.116 - 1.18628ooo。0.40 - 0.65N4(x) =0.41075 1.116(x 一 0.4) 0.28(x 0.4)(x 一 0.55)0.19733(x -0.4)(x-0.55)(x -0.65)0.03134(x -0.4)(x -0.55)(x -0.65)(x -0.8)f (0.596) ： N4(0.596) =0.63195。、差分與等距節(jié)

30、點(diǎn)插值公式1差分及其性質(zhì)二 Xo kh, (k 二 0,1,n)，記 fk = f (xj。向前差分：fk向后差分：5中心差分：fk二階差分：2fkn階差分：Tfk不變算子I與移,由fk二fk 1 -k(1)差分類似于微分的性質(zhì)定義：對(duì)等距節(jié)點(diǎn)xkkd ；二 f (Xk) - f (Xk) = fk .1k:f2 - 2 f k 1 fk ； nJ k 1 一E，即IfkEfkfk 二 Efk - Ifk= (E-I)fk，:fk gk = fk Qk gk 1 %d f g = fdg gdfn 4、fk9k = fngn 一 fog。v gk ,fkk =0k =0(2)函數(shù)值與差分可相互

31、線性表示Tfk = E -1 n fk 八(-1CnEn4fk 八(T)cn fn kJb-gdfai =0i =0nfn -k 二 E“ fk 二 | 亠| fk = 7 C： J fk(3)差分與均差的關(guān)系1 1f I.Xk,Xk iJI|,Xk mm mfk，m=1,2,川 n。m! h證：m = 1時(shí),fkh_ f (xk 1 ) - f (xk )xk+ _xk假設(shè)m -1時(shí)成立，則f Xk,Xk .1,Xk，m|f Xk 1 ,Xk .m 1 - f Xk ,Xk1Xk m Xk11.mJ11. m J fm fk 1mfk(m1)! h(m1)! h兀 m 一 xk1 1(m-1

32、)! hmJ匕心(兀)mhm!hm m rfk2、等距節(jié)點(diǎn)插值公式令 x = x0th，則 x - x0 = th， x - = x -(x0 h) = (t - 1)h,，x - xk a = x - X0 (k -1) h I - t -(k -1) h。代入牛頓插值公式得nf(x)二 f x,X1, , Xk ,Xo XX1 XXkk=aJ fokk=o k!ht(t-1) t-(k-1)hk，)二 fo t ：fok =ok!t(t - 0. 2 f 一 一一 t(t _) (t _ n 0. n2! on!、Runge現(xiàn)象與高次插值的討論1、Runge 現(xiàn)象12i例4、 f(x)2,

33、 -1乞x1，節(jié)點(diǎn)Xj二1,i=o,1，1o，求插值多項(xiàng)式1+25x1oP(x)。n #n 解：p(x)二 f(Xi)lj(x)10次 Langrange 插值多項(xiàng)式結(jié)果如下：10-5 98-8-5 7-220.9417439 x -.12 10 x 1.000000000 494.9095054 x -.20 10 x .22 10 x-16.85520363 x2 -381.4338247 x6 .11 10-6x3 -.7 10-6x5 123.3597288 x42、討論節(jié)點(diǎn)的增多固然能使插值函數(shù) p(x)在更多的地方與f(x)相等，但在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間 p(x) 不一定能很好地逼近 f(

34、X)，有時(shí)差異很大，所以在實(shí)際中，高次插值( 7次以上)很少使 用；可將a,b 1分成若干小區(qū)間，在小區(qū)間內(nèi)用低次(二次，三次)插值，即分段低次插值， 如樣條函數(shù)插值。7、三次樣條插值分段低次插值：(1)分段線性插值(連續(xù))；(2)分段Hermite插值(導(dǎo)數(shù)連續(xù))；三次樣條插值(二階導(dǎo)數(shù)連續(xù))。1三次樣條插值函數(shù)能夠逐段表示成三次多項(xiàng)式且二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)(具有二階光滑度)的函數(shù)。定義：設(shè)s(x) C2 a,b】，且在xxii =0,1,n-1上為三次多項(xiàng)式，其中 = x0 :捲：Xn = b，則稱s(x)為a, b 1上的三次樣條函數(shù)。若對(duì)給定的yi = f(xj (i =0,1,n)， s(x

35、)滿足s(xj = %，則稱s(x)為三次樣條插 值函數(shù)。邊界條件: 第一種邊界條件：S(Xo) = f(Xo), S(Xn)二f (Xn)固支梁條件;第二種邊界條件：S (Xo) = f (Xo), S g 二f (Xn)簡(jiǎn)支梁條件。 特別地，S (Xo)= f (Xn)=0時(shí)的樣條稱為自然樣條。2、三彎距方程與三次樣條的計(jì)算記s (Xj)rMj (i =0,1, n)彎距，因s(x)在Xi, Xi 1 1上為三次多項(xiàng)式，故 S(X)為一次多項(xiàng)式，可令X丄一XX XS(X)= M i M j 彳Lagrange 線性插值。Xi 卑 一XiXi* Xi對(duì)S(X)積分兩次并代入s(Xi) =yi

36、, S(Xi 1)1，得如MT MM i hi2 fx“ 一 XMi訥八y _Q 6丿hi%卅一a6丿(xXi 3 丄i1-6hTx-xhi其中h =Xj卅一人 i =0,1，n 1。對(duì)s(x)求導(dǎo)得S (x), x Xi, Xi 1，從而可得hihiyi 1 - yis (Xi 0) M i M i TOC o 1-5 h z 6hi HYPERLINK l bookmark233 o Current Document 類似可得 s(Xi -0)=hklMiJ hkMi叢63hj _i HYPERLINK l bookmark235 o Current Document 利用 s (xi -

37、 0) = s (xi0)得UMi2Mi 皿彳 7 (i =1,2, n-1)，hihi 4hi, d6fX,XiJ-fXi-,Xilh 4 hihid hi對(duì)第二種邊界條件，M。二f,Mn二fn，則關(guān)于彎距 Mi(i =0,1，n)的矩陣方程_2 九 1M。11厶八0IVI 0u0氣2M1d12+ +*m2=d22n X厶M n 4dnx-An2 一1Mn 一1 1dn 一其中，o = 0, do =2fo , Jn - 0, dn =2fn。上述方程稱為三彎距方程， 其系數(shù)矩陣為三對(duì)角， 可用追趕法求解。求出M i代入s(x)即可得每個(gè)lxi, xi勺1上的s(x)表達(dá)式。例5、求 6例中

38、的三次樣條插值函數(shù) s(x)(自然樣條)。解：s(x)表達(dá)式如下： TOC o 1-5 h z .46831329311.113272173x1.025130627x2.3417102091x3x： -.8.75070624172.172245728x2.348847570 x2.8932589351x3x: -.6 HYPERLINK l bookmark607 o Current Document 23.73842152052.110822123x2.246474895x.8363852265xx: -.41.5430214278.145321403x17.33272309x213.408

39、25872x3x: -.2-8231. +.3 10 x -23.39388391 x -54.46941962 xxc08231.十.3 10- x -23.39388391 x +54.46941952 xxc .21.543021424 -8.145321358 x 17.33272289 x2 -13.40825849 x3x： .4.7384215449 -2.110822260 x 2.246475147 x2 -.8363853770 x3x： .6 HYPERLINK l bookmark803 o Current Document 23.7507062252 -2.17224

40、5660 x +2.348847480 x -.8932588956 xx c .8.4683133011 -1.113272197 x +1.025130651 x2 -.3417102171 x3 otherwise3、三次樣條插值的存在唯一性定理：三彎矩方程中的系數(shù)矩陣A是可逆的，即三次樣條插值存在、唯一。X0 證：設(shè)x: 為Ax = b的解，r滿足xr = max Xj ，i br 蘭2xr - Pr xrJl -九r xr申2xr即 max Xj max b 。若A不可逆，則Ax=O有非零解x，由前所證，應(yīng)有 maxxj 0，即 | f |，s(x)二階導(dǎo)數(shù) s“(x)的范數(shù)最小。第

41、二章上機(jī)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、熟悉Maple中的一般插值、樣條插值和序列等命令；4、通過對(duì)具體數(shù)據(jù)做高次插值、樣條插值，加深對(duì)龍格現(xiàn)象以及樣條插值優(yōu)越性的理解與 認(rèn)識(shí)。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：對(duì)數(shù)據(jù)X125678101317f(x)3.0 3.7 3.94.25.76.67.16.74.54、將p(x)與f(X)、S(X)與f(X)分別做圖對(duì)照，觀察高次插值的危害性以及樣條插值的優(yōu)越性。1矩形區(qū)域二元函數(shù)的分片線性插值已知平面上一矩形域內(nèi)四個(gè)頂點(diǎn)頂點(diǎn)(xi,yj, (x2,yj, (x2, y2),(xy2)處的函數(shù)值分別為 f1 , f2, f3, f4。分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：第一片(下三角形區(qū)域)：(x,y)

42、滿足y乞1 一兒(x-xj 比，插值函數(shù)為：Xi* Xf(X, y)二f1( f2-fl)(x -xi )( f3-f2)( y yj)。第二片(上三角形區(qū)域)：(x,y)滿足y . yj/| yj (x xj yj，插值函數(shù)為：Xi*xif(x,y)二 t 代 一 fj(y 詔)億 - f4)(x -xj o2 矩形區(qū)域二元函數(shù)的雙線性插值雙線性插值函數(shù)的形式如下：f (x, y) =(ax b)(cy d)，它是分片空間二次曲面。禾U用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)(插值節(jié)點(diǎn))的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，可以確定四個(gè)待定系數(shù)。雙線性插值函數(shù)可按下方法計(jì)算。已知平面上一矩形域內(nèi)四個(gè)頂點(diǎn)頂點(diǎn)(石，),

43、(為，y2), (x2,y1), (x2, y2)處的函數(shù)值分別為彳，乙2, Z21, Z22，求函數(shù)P(x, y)二ax by cxy d，使其滿足條件：P(xi,yj =Zn, P(xi,y2)=乙2, P(X2, yj =Z2i, P(X2,y2)=Z22。人x 一咅y % 口士X2 - Xiy2 - yiP(x,y)討i(1-u)(1-v) Z2iU(1-v) 2(1-u)vZ22UV oCh3、函數(shù)逼近與計(jì)算、引言1引例某氣象儀器廠要在某儀器中設(shè)計(jì)一種專用計(jì)算芯片，以便于計(jì)算觀測(cè)中經(jīng)常遇到的三 角函數(shù)以及其它初等函數(shù)。設(shè)計(jì)要求x在區(qū)間a,b 中變化時(shí)，近似函數(shù)在每一點(diǎn)的誤差都要小于某

44、一指定的正數(shù)；o由于插值法的特點(diǎn)是在區(qū)間a,b中的n 1個(gè)節(jié)點(diǎn)處，插值函數(shù)Pn(x)與被插值函數(shù)f(x)無(wú)誤差，而在其它點(diǎn)處Pn(x) ：、f (x)。對(duì)于X = Xi , Pn (x)逼近f (x)的效果可能很好，也可能很差。在本問題中要求 Pn(x)在區(qū)間a,b 1中的每一點(diǎn)都要“很好”地逼近f (x)，應(yīng)用一般的插值方法顯然是不可行的， 龍格現(xiàn)象就是典型的例證。 采用樣條插值固然可以在 區(qū)間的每一點(diǎn)上滿足誤差要求。但由于樣條插值的計(jì)算比較復(fù)雜， 需要求解一個(gè)大型的三對(duì) 角方程組，在芯片中固化這些計(jì)算過程較為復(fù)雜?？梢圆捎锰├照故浇鉀Q本冋題。將f(x)在特殊點(diǎn)X。處做泰勒展開f (x) =

45、 f (Xo) f (Xo)(X - X。)n!4(x(n 1)!取其前n1項(xiàng)作為f (x)的近似，即,f (n)(X0)nPn(X)= f(X。)* f (X)(X -X。)(X-X。)： f (X)n!但泰勒展式僅對(duì)xo附近的點(diǎn)效果較好，為了使得遠(yuǎn)離X。的點(diǎn)的誤差也小于；，只好將項(xiàng)數(shù)n取得相當(dāng)大，這大大增加了計(jì)算量，降低了計(jì)算速度。因此，從數(shù)值計(jì)算的角度來說，用 泰勒展式做函數(shù)在區(qū)間上的近似計(jì)算是不合適的。引例提出了一個(gè)新的問題，即能否找到一個(gè)近似函數(shù) Pn(x)，比如說，它仍然是一個(gè)n次多項(xiàng)式，Pn(x)不一定要在某些點(diǎn)處與f (X)相等，但Pn(x)卻在區(qū)間a,b】中的每一點(diǎn)處都能“很

46、好”地、“均勻”地逼近f (x)。2、逼近問題對(duì)f (x) Ca,b，求一個(gè)多項(xiàng)式 p(x)，使f(x)_ p(x)在某種衡量標(biāo)準(zhǔn)下最小。一致逼近(均勻逼近)無(wú)窮范數(shù)：| f (x) p(x) = max f(x)_ p(x)最小00 a童査)平方逼近(均方逼近)歐氏范數(shù)：| f (x) - P(x)|2 = f(x) 一 P(x)Fdx 最小。3、維爾斯特拉斯定理定理：設(shè)f (x) Ca,b,則對(duì)任意；0 ,有多項(xiàng)式p(x)，使f (x) - p(x)：；在a,b】上 一致成立。本定理的證法很多，伯恩斯坦在1921年引入了一個(gè)多項(xiàng)式Bn(f,X)J f k C：Xk(1-X)2k=o _n

47、/他證明了 lim Bn(f,x)二 f (x)(。乞 x1)。n :伯恩斯坦多項(xiàng)式在自由外形設(shè)計(jì)中有較好的應(yīng)用。但它有一個(gè)致命的缺點(diǎn)，就是收斂 太慢。要提高逼近精度，只好增加多項(xiàng)式的次數(shù)，這在實(shí)際中是很不合算的。切比雪夫從另一個(gè)角度去研究逼近問題。 他不讓多項(xiàng)式的次數(shù) n趨于無(wú)窮，而是先把n 固定。對(duì)于f (x) Ca,b，他提出在n次多項(xiàng)式集合中，尋找一個(gè)多項(xiàng)式Pn(x)，使Pn(x) 在a,b上“最佳地逼近” f (x)。2、正交多項(xiàng)式一、正交多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)定義1設(shè)區(qū)間(a,b)上非負(fù)函數(shù)r(x)滿足nbx P(x)dx (n = 0,1,2)存在；(2)對(duì)非負(fù)連續(xù)函數(shù) f(x),若

48、f(x)P(x)dx = 0，貝yua在(a,b)上f (x)三0,則稱r(x)為區(qū)間(a,b)上的權(quán)函數(shù)。定義2：設(shè)f(x),g(x) Ca,b，：、(x)為b,b 上的權(quán)函數(shù)，則積分f,g 二f (x)g(x) r(x)dx 稱為 f (x)與 g(x)在 a,b上的內(nèi)積。La定義3 :設(shè)fn(x)為a,b 上的n次多項(xiàng)式，若 1fn(x)l n=0,1,2， 滿足fj(x),fj(x)=P(x)fj (x) f j (x)dx =、j，則稱fn(x)為la,b】上關(guān)于權(quán)函數(shù)P(x)的正交多右Aj項(xiàng)式系。定理：a,b 1上的正交多項(xiàng)式fn(x)在a,b內(nèi)有n個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn)。二、Legend

49、re 多項(xiàng)式R(X)=11 dnPng ! :dnl.2 n! dxx2-1nx I-1,11, 稱為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式。2、性質(zhì) TOC o 1-5 h z 0n m HYPERLINK l bookmark301 o Current Document (1)正交性：J；Pn(X)Pm(X)dX = :-)，即Tn(x)最高項(xiàng)系數(shù)為2n。3、最佳平方逼近1問題對(duì)f（x） ca,b丨，在。，匚亠生成的子集 G二span：0,1中求一函數(shù)(x)=遲 ai(x)，使 | f (x) -s (x) 2 最小。2、求解* 2F(a,ai, a.) = f (x) -s*(x) 22bn=a P(x

50、) f(x)瓦 ai(x) dx，-7=0, k = 0,1，n， a得 2 P(xf(x)送 ai(x) Lk(x)dx = 0，n打 a r(x)k(x) l(x)dx a： = a Ux)f(x)k(x)dx，n即v , ：i a f, , k =0,1，n，也可改寫為下列矩陣形式i =0_(%0(叩0他理nja。（f,0$（仁叫）ai法方程。n,0；：n, I-n,nL（f，Z02(2k+1)3、用正交多項(xiàng)式做最佳平方逼近若取-spaJpR,，巳，因（Pk,R A*(f R ) 2k +1 iPk,Pk由法方程可得 ak一二一-,4 f (x)Pk (x)dx, k=0,1,2，n從而

51、s* (x)二akPk(x)即為s(x)的最佳平方逼近多項(xiàng)式。k=0Sk Hi若取門二 spa n：T,Ti,，Tn因 Tk,二二 k=i=0,: 2k=i = 0f T i1111由法方程可得 a00f (x)dxf (cost)dt(T0,T。)兀JJ1x2H0akf ,Tk2Tk ,TkJ(x)Tk(x) dx 二JInro f (cost)cosktdt, k1,2，n從而s* (x) =： aJk(x)即為s(x)的最佳平方逼近多項(xiàng)式。k 3例1、用正交多項(xiàng)式求 f (x) =ex在1-1,11上的三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：用Chebyshev多項(xiàng)式，1：；, costa。ecos

52、tdt =1.2660，兀02 讓 costak(k =1,2,3) =0 ecost cosktdt =1.1303, 0.2715, 0.0443， 0故 ex =1.2660T0(x) 1.1303T；(x) 0.2715T2(x) 0.0443T3(x)= 0.1772x30.5430X20.9974x 0.9945。用Legendre多項(xiàng)式1 2k +1ak(k =0,1,2,3) = *Pk(x)exdx =1.1752,1.1036, 0.3578, 0.07053故ex 八 akPk(x) =0.9963+0.9980 x+0.5367x2 +0.1761x3。k=0a t說定

53、義：. v akTk(x)稱為切比雪夫級(jí)數(shù)或廣義傅立葉級(jí)數(shù),2心其中ak根據(jù)切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)，切比雪夫級(jí)數(shù)的部分和Sn(X)二n+ Z akTk(x)可作為f (x)的近似最佳一致逼近多項(xiàng)式。2k生a0T0例2、將f (x)=arcsi nx在丨-1,11上展成切比雪夫級(jí)數(shù)。解:因f (x)為奇函數(shù)，從而一f(x)T2k(x)也為奇函數(shù)，故77a2k弓;黑乎0a2k = 2 o arcsin(cos)cos(2k 1尸 d-,7171 -日 icos(2k +1)日 d日=4212k 1 24 一從而 arcsinx (x)壯L皿.9.T2k1(X)(2 k 1)2,x 1-1,1注：f

54、(x) = arcsi nx的泰勒展式為arcsinx八：咅型心(2k)!1(2k 1)x2k1bo2k 1八 b2kMk=0ix ix 11 -x2arcsinx 二a2k 1b2k 14(2k)!二(2k 1)!4 廣(sinx)2k*dxT 0八(亠1)心-k 1) _x2, (2k-1)!x2kk!7 (2k)!dx j：(2k-1)!1 2k 1x 一1X2y (2k)! 2k 1n為奇n為偶(n 1)!兀2 . nn!sin xdx = 1(n 1)! n如對(duì)arcsinx要達(dá)到10位有效數(shù)字,n!2即切比雪夫展式可用較小的項(xiàng)數(shù)達(dá)到泰勒展式的精度,泰勒展式要25項(xiàng)，而切比雪夫展式僅

55、要 10項(xiàng)。5、離散數(shù)據(jù)的擬合與最小二乘法1離散數(shù)據(jù)的擬合問題引例1：礦井中某處的瓦斯?jié)舛葃與該處距地面的距離 x有關(guān)，現(xiàn)用儀器測(cè)得從地面到井下500米每隔50米的瓦斯?jié)舛葦?shù)據(jù)(xi, yj(i =0,1,2,川,10)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)完成下列工作：(1) 尋找一個(gè)函數(shù)，要求從此函數(shù)中可近似求得從地面到井下500米之間任意一點(diǎn)處的瓦斯?jié)舛龋?2)估計(jì)井下600米處的瓦斯?jié)舛?。根?jù)所學(xué)內(nèi)容，分別給出解決上述問題的方法，并說明理由。對(duì)于第一個(gè)問題，可根據(jù)已有瓦斯?jié)舛葦?shù)據(jù)(Xj,yJ(i =0,1,2,| ,10)，求出其樣條插值函數(shù)p(x)，由p(x)即可較為準(zhǔn)確地求得從地面到井下500米之間任意一

56、點(diǎn)處的瓦斯?jié)舛?。但?duì)第二個(gè)問題不宜用插值方法，因?yàn)?00米已超出所給數(shù)據(jù)范圍，用插值函數(shù)外推插值區(qū)間外的數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。解決第二個(gè)問題的常用方法是，根據(jù)地面到井下500米處的數(shù)據(jù)求出瓦斯?jié)舛扰c地面到井下距離之間的函數(shù)關(guān)系f(x)，由f(x)求井下600米處的瓦斯?jié)舛?。引?：在某化學(xué)反應(yīng)中，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得生成物濃度y與時(shí)間x的關(guān)系如下表，求濃度 y與時(shí)間x的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系y = f (x)，并據(jù)此求出反應(yīng)速度曲線。時(shí)間x12345678910濃度y4.006.408.008.809.229.509.709.8610.0010.2011121314151610.3210.4210.5010.5

57、510.5810.60 顯然，從理論上講y=f(x)是客觀存在的，但在實(shí)際中僅由離散數(shù)據(jù)(x，yj (i =1,2,1山n)是不可能得出y二f (x)的精確表達(dá)式的，只能尋找y = f (x)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng) = X)，這種問題稱為離散數(shù)據(jù)的曲線擬合問題。曲線擬合需解決如下兩個(gè)問題: (1) ：(x)線型的選擇；(2) (X)中參數(shù)的計(jì)算。2、線型的選擇通常主要根據(jù)專業(yè)知識(shí)和散點(diǎn)圖確定(x)的線型，常見的線型有:(1)線性函數(shù)：y = a bx ；可化為線性函數(shù)的非線性函數(shù)，如y =ae(a, b 0)bxy =ae(a, b 0)2 口 .-yi 最小,y =a b/x (a,b 0)(3

58、)非線性函數(shù)。3、計(jì)算線性擬合的最小二乘法做數(shù)據(jù)x , y (i =1,2/ n)的散點(diǎn)圖，若近似為直線，則可用線性函數(shù) y = (x) = a bx擬合。對(duì)于本問題通常采用最小二乘法，即所求參數(shù)a,b使得(x)在xi處的值二(xi)與yi之差的平方和2送(Xi) yi )=送(a +bxi m將上式視為關(guān)于a,b的二元函數(shù)F(a,b)，對(duì)F(a,b)分別關(guān)于a,b求偏導(dǎo)并令其為零解:F*=2送(a+bx % )=0:a ij一，即n穿先（a+byJO解上方程組得nnan b，片=、yinb Xii 4a Xiynnnn2、Xi yi -、 X,Xiyii 4 i4i -1i -4-.a =亍

59、，b工n2 Xi2i 4n2i 4nl2n-zi 4nX, yii 4on Xi2 -jyi 42i時(shí)間t00.91.93.03.95.0距離s010305080110例1、觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)，求運(yùn)動(dòng)方程。100-込60：40;加61n :亠ii#i金D：a ：n 6 n7廠空 xy#= 280, 謂 i壬3 *2n遲Xii呈卜20：6、Xi2 =53.63,S.8556 . xi y 仝 1078i =1所求運(yùn)動(dòng)方程為 *t）22 254t. .7.855可用相關(guān)系數(shù) PXY=EX 二 E(X)_Y 二 E(Y)、D(X) ., D(Y)量數(shù)據(jù)線性化程度，本例中相關(guān)系數(shù)xy =

60、0.98818，這表明數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性較好。擬合運(yùn)動(dòng)方程與數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)照?qǐng)D4、可線性化的非線性擬合 擬合運(yùn)動(dòng)方程與數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)照?qǐng)D4、可線性化的非線性擬合 例2、根據(jù)本節(jié)引例中的數(shù)據(jù)擬合出生成物濃度解：y與時(shí)間x的近似表達(dá)式。1O-6-511111 I r 111O 12141 呂數(shù)據(jù)(x, yj的散點(diǎn)圖用雙曲線型1. y =a bt擬合令1 y = y1,1-x= x，貝U y1 = a bx為線性函數(shù)。0.08066X 0.01617經(jīng)計(jì)算 a =0.08066, b =0.01617，從而 y =(2)用指數(shù)線型y = ae X擬合 b兩邊取對(duì)數(shù)In y = In a - ，令y2 = In y